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出版者:American Mathematical Society

作者:Philip S. Hirschhorn

出品人:

頁數:457

译者:

出版時間:2003

價格:USD 110

裝幀:

isbn號碼:9780821832790

叢書系列:

圖書標籤:

Mathematics
模型範疇
同倫代數
範疇論
局部化
數學
抽象代數
高等代數
拓撲
代數拓撲
同調代數

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具體描述

The aim of this book is to explain modern homotopy theory in a manner accessible to graduate students yet structured so that experts can skip over numerous linear developments to quickly reach the topics of their interest. Homotopy theory arises from choosing a class of maps, called weak equivalences, and then passing to the homotopy category by localizing with respect to the weak equivalences, i.e., by creating a new category in which the weak equivalences are isomorphisms. Quillen defined a model category to be a category together with a class of weak equivalences and additional structure useful for describing the homotopy category in terms of the original category. This allows you to make constructions analogous to those used to study the homotopy theory of topological spaces.

A model category has a class of maps called weak equivalences plus two other classes of maps, called cofibrations and fibrations. Quillen's axioms ensure that the homotopy category exists and that the cofibrations and fibrations have extension and lifting properties similar to those of cofibration and fibration maps of topological spaces. During the past several decades the language of model categories has become standard in many areas of algebraic topology, and it is increasingly being used in other fields where homotopy theoretic ideas are becoming important, including modern algebraic K-theory and algebraic geometry.

All these subjects and more are discussed in the book, beginning with the basic definitions and giving complete arguments in order to make the motivations and proofs accessible to the novice. The book is intended for graduate students and research mathematicians working in homotopy theory and related areas.

《模型範疇及其本地化研究：一個跨學科的理論框架構建》本書簡介本書深入探討瞭“模型範疇”（Model Categories）這一數學結構在不同應用領域中錶現齣的“本地化”（Localizations）現象，並試圖構建一個統一的理論框架來理解這些現象背後的深層數學結構與其實際意義。這不是一本關於特定模型集閤或具體應用案例的匯編，而是一部專注於抽象理論基礎、範疇論應用以及概念遷移的學術專著。第一部分：範疇論基礎與模型結構的重構本書開篇詳盡迴顧瞭現代範疇論在代數拓撲、代數幾何以及理論物理學中的基礎性作用。我們首先建立瞭一套嚴謹的術語體係，重點闡述瞭由代數拓撲學中提齣的“模型範疇”概念的本質——一個允許我們進行“弱等價”而非嚴格等價的上下文結構。這裏的核心議題是理解如何利用這些結構來“修正”或“平滑”那些因缺乏完備性或存在非良態結構而難以處理的數學對象。我們花瞭大量篇幅討論瞭不同類型的模型結構，例如著名的霍莫托皮範疇（Homotopy Categories）所依賴的模型結構，以及它們如何提供一個處理同倫等價關係的有效工具。書中強調，模型範疇的關鍵不在於其內部元素的性質，而在於其定義瞭如何分解任意態射為一個可逆、一個縴維化和一個局部化（即cofibration、fibration和weak equivalence）的標準序列。這種分解能力是後續所有本地化操作的基礎。第二部分：本地化的數學本質與抽象化 “本地化”是本書的核心概念，其意義在於將一個範疇 $C$ 轉化為另一個範疇 $C[W^{-1}]$，其中 $W$ 是一組特定的態射（通常是模型結構中的弱等價）。本書超越瞭標準的範疇局部化理論（如Rhomology Categories），進入到更深層次的結構保持性研究。我們探討瞭本地化如何“殺死”或“忽略”特定的一組態射，從而使得範疇的結構在新的視角下變得更“好”或更具解釋力。例如，在代數拓撲中，本地化導齣瞭K-理論和群上同調理論的構造基礎。本書將這些具體例子提升到抽象層麵，研究滿足特定泛性質的本地化構造，並引入瞭“內嵌子範疇”和“正規子範疇”的概念，以區分不同層次的本地化操作。一個重要的理論貢獻是引入瞭“層論視角下的本地化”——即如何將模型範疇視為某一拓撲空間上的某個函子範疇的局部化。這使得我們可以利用層論中關於預層（Pre-sheaves）和層（Sheaves）的工具來分析模型結構本身的性質，尤其是在處理非交換幾何和高階範疇論的應用時。第三部分：理論框架的跨學科移植與檢驗本書的價值不僅在於理論的抽象性，更在於展示瞭這種統一框架在看似不相關的領域中的適用性。我們並未深入講解任何一個特定領域（如具體的物理模型或特定的代數係統）的細節，而是專注於展示“模型範疇”和“本地化”這一結構如何作為一種通用的“語言”被移植。 A. 拓撲場論與路徑積分的結構重塑：在理論物理學中，路徑積分的定義往往涉及對無窮維空間上測度的積分，這在嚴格的數學上是睏難的。本書分析瞭如何將這些積分問題視為在某種“規範不變性”模型範疇上的本地化過程。本地化在這裏的作用是“過濾掉”那些不穩定的、高頻的振蕩部分，從而使得可計算的、低能的有效場論得以浮現。我們討論瞭如何形式化“光滑化”操作，即如何找到一個恰當的弱等價關係，使得路徑積分的積分核在新的局部化範疇中具有良好的性質。 B. 代數幾何中的“局部”與“全局”：在代數幾何中，局部性質（如在點上的性質）如何提升為全局性質是一個核心問題。本書將模型範疇的理論應用於研究“準凝聚層”（Quasi-coherent Sheaves）的某些範疇。我們探討瞭局部上具有特定性質的範疇，在經過適當的本地化後，如何精確地等價於某個全局範疇（例如，對某些奇異空間，其結構在特定的本地化後會變得光滑）。這種分析依賴於對“étale同倫論”中模型結構的抽象理解，而非對具體模空間的計算。 C. 非交換幾何與張量範疇的關聯：現代數學前沿研究錶明，許多物理係統可以用非交換的張量範疇來描述。本書考察瞭如何利用模型範疇來對這些張量範疇進行結構上的“解耦”或“分解”。本地化在這裏充當瞭“正交投影”的角色，將復雜的、高階的相互作用分解為若乾個更易處理的、在特定意義上相互獨立的子結構。我們討論瞭如何定義一個“張量積兼容的本地化”的泛性質。總結：超越案例的理論宣言本書的論述始終保持在抽象的理論高度，旨在為研究者提供一個理解“如何將復雜結構簡化而不丟失關鍵信息”的統一數學工具箱。它不提供任何現成的應用模型或具體數據的分析，而是緻力於建立一個堅實的理論基礎，解釋為何在不同學科中，處理“弱等價”和“局部信息”時，總會不約而同地訴諸於模型範疇的結構。它鼓勵讀者從範疇論的視角齣發，重新審視和組織各自領域中關於“近似”、“平滑”和“視角轉換”的既有方法。最終，本書的目標是證明模型範疇與本地化理論不僅僅是代數拓撲的工具，而是一種普適的數學語言，用以描述和比較不同數學結構在特定信息過濾機製下的錶現。

作者簡介

Philip S. Hirschhorn is a mathematician at Wellesley College.

目錄資訊

Contents 6
Introduction 10
Model categories and their homotopy categories 10
Localizing model category structures 12
Acknowledgments 16
Part 1. Localization of Model Category Structures 18
Summary of Part 1 20
Chapter 1. Local Spaces and Localization 22
1.1. Definitions of spaces and mapping spaces 22
1.2. Local spaces and localization 25
1.3. Constructing an f-localization functor 33
1.4. Concise description of the f-localization 37
1.5. Postnikov approximations 39
1.6. Topological spaces and simplicial sets 41
1.7. A continuous localization functor 46
1.8. Pointed and unpointed localization 48
Chapter 2. The Localization Model Category for Spaces 52
2.1. The Bousfield localization model category structure 52
2.2. Subcomplexes of relative ∧{f}-cell complexes 54
2.3. The Bousfield-Smith cardinality argument 59
Chapter 3. Localization of Model Categories 64
3.1. Left localization and right localization 64
3.2. C-local objects and C-local equivalences 68
3.3. Bousfield localization 74
3.4. Bousfield localization and properness 82
3.5. Detecting equivalences 85
Chapter 4. Existence of Left Bousfield Localizations 88
4.1. Existence of left Bousfield localizations 88
4.2. Horns on S and S-local equivalences 90
4.3. A functorial localization 91
4.4. Localization of subcomplexes 93
4.5. The Bousfield-Smith cardinality argument 95
4.6. Proof of the main theorem 98
Chapter 5. Existence of Right Bousfield Localizations 100
5.1. Right Bousfield localization: Cellularization 100
5.2. Horns on K and K-colocal equivalences 102
5.3. K-colocal cofibrations 104
5.4. Proof of the main theorem 106
5.5. K-colocal objects and K-cellular objects 107
Chapter 6. Fiberwise Localization 110
6.1. Fiberwise localization 110
6.2. The fiberwise local model category structure 112
6.3. Localizing the fiber 112
6.4. Uniqueness of the fiberwise localization 115
Part 2. Homotopy Theory in Model Categories 118
Summary of Part 2 120
Chapter 7. Model Categories 124
7.1. Model categories 125
7.2. Lifting and the retract argument 127
7.3. Homotopy 132
7.4. Homotopy as an equivalence relation 136
7.5. The classical homotopy category 139
7.6. Relative homotopy and fiberwise homotopy 142
7.7. Weak equivalences 146
7.8. Homotopy equivalence 147
7.9. The equivalence relation generated by "weak equivalence'' 150
7.10. Topological spaces and simplicial sets 151
Chapter 8. Fibrant and Cofibrant Approximations 154
8.1. Fibrant and cofibrant approximations 155
8.2. Approximations and homotopic maps 161
8.3. The homotopy category of a model category 164
8.4. Derived functors 168
8.5. Quillen functors and total derived functors 170
Chapter 9. Simplicial Model Categories 176
9.1. Simplicial model categories 176
9.2. Colimits and limits 180
9.3. Weak equivalences of function complexes 181
9.4. Homotopy lifting 184
9.5. Simplicial homotopy 187
9.6. Uniqueness of lifts 192
9.7. Detecting weak equivalences 194
9.8. Simplicial functors 196
Chapter 10. Ordinals, Cardinals, and Transfinite Composition 202
10.1. Ordinals and cardinals 203
10.2. Transfinite composition 205
10.3. Transfinite composition and lifting in model categories 210
10.4. Small objects 211
10.5. The small object argument 213
10.6. Subcomplexes of relative I-cell complexes 218
10.7. Cell complexes of topological spaces 221
10.8. Compactness 223
10.9. Effective monomorphisms 225
Chapter 11. Cofibrantly Generated Model Categories 226
11.1. Cofibrantly generated model categories 227
11.2. Cofibrations in a cofibrantly generated model category 228
11.3. Recognizing cofibrantly generated model categories 230
11.4. Compactness 232
11.5. Free cell complexes 234
11.6. Diagrams in a cofibrantly generated model category 241
11.7. Diagrams in a simplicial model category 242
11.8. Overcategories and undercategories 243
11.9. Extending diagrams 245
Chapter 12. Cellular Model Categories 248
12.1. Cellular model categories 248
12.2. Subcomplexes in cellular model categories 249
12.3. Compactness in cellular model categories 251
12.4. Smallness in cellular model categories 252
12.5. Bounding the size of cell complexes 253
Chapter 13. Proper Model Categories 256
13.1. Properness 256
13.2. Properness and lifting 260
13.3. Homotopy pullbacks and homotopy fiber squares 261
13.4. Homotopy fibers 266
13.5. Homotopy pushouts and homotopy cofiber squares 267
Chapter 14. The Classifying Space of a Small Category 270
14.1. The classifying space of a small category 271
14.2. Cofinal functors 273
14.3. Contractible classifying spaces 275
14.4. Uniqueness of weak equivalences 277
14.5. Categories of functors 280
14.6. Cofibrant approximations and fibrant approximations 283
14.7. Diagrams of undercategories and overcategories 285
14.8. Free cell complexes of simplicial sets 288
Chapter 15. The Reedy Model Category Structure 294
15.1. Reedy categories 295
15.2. Diagrams indexed by a Reedy category 298
15.3. The Reedy model category structure 305
15.4. Quillen functors 311
15.5. Products of Reedy categories 311
15.6. Reedy diagrams in a cofibrantly generated model category 313
15.7. Reedy diagrams in a cellular model category 319
15.8. Bisimplicial sets 320
15.9. Cosimplicial simplicial sets 322
15.10. Cofibrant constants and fibrant constants 325
15.11. The realization of a bisimplicial set 329
Chapter 16. Cosimplicial and Simplicial Resolutions 334
16.1. Resolutions 335
16.2. Quillen functors and resolutions 340
16.3. Realizations 341
16.4. Adjointness 343
16.5. Homotopy lifting extension theorems 348
16.6. Frames 354
16.7. Reedy frames 359
Chapter 17. Homotopy Function Complexes 364
17.1. Left homotopy function complexes 366
17.2. Right homotopy function complexes 367
17.3. Two-sided homotopy function complexes 369
17.4. Homotopy function complexes 371
17.5. Functorial homotopy function complexes 374
17.6. Homotopic maps of homotopy function complexes 379
17.7. Homotopy classes of maps 382
17.8. Homotopy orthogonal maps 384
17.9. Sequential colimits 393
Chapter 18. Homotopy Limits in Simplicial Model Categories 396
18.1. Homotopy colimits and homotopy limits 397
18.2. The homotopy limit of a diagram of spaces 400
18.3. Coends and ends 402
18.4. Consequences of adjoint ness 406
18.5. Homotopy invariance 411
18.6. Simplicial objects and cosimplicial objects 412
18.7. The Bousfield-Kan map 413
18.8. Diagrams of pointed or unpointed spaces 415
18.9. Diagrams of simplicial sets 417
Chapter 19. Homotopy Limits in General Model Categories 422
19.1. Homotopy colimits and homotopy limits 422
19.2. Coends and ends 424
19.3. Consequences of adjoint ness 428
19.4. Homotopy invariance 431
19.5. Homotopy pullbacks and homotopy pushouts 433
19.6. Homotopy cofinal functors 435
19.7. The Reedy diagram homotopy lifting extension theorem 440
19.8. Realizations and total objects 443
19.9. Reedy cofibrant diagrams and Reedy fibrant diagrams 444
Index 446
Bibliography 472
· · · · · · (收起)

讀後感

評分☆☆☆☆☆

用戶評價

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，封麵采用瞭那種略帶磨砂質感的紙張，觸感溫潤而厚重，立刻營造齣一種嚴肅而專業的氛圍。我尤其欣賞封麵上那副抽象的幾何圖形，色彩搭配沉穩而不失活力，似乎在暗示著內容將是嚴謹的邏輯與靈活的思維的結閤。內頁的紙張選擇也十分考究，米白色調，光綫柔和，長時間閱讀下來眼睛也不會感到疲勞。排版上，字體大小和行間距的處理非常得當，即使是那些復雜的圖錶和公式，也能清晰地呈現齣來，可見齣版社在細節打磨上的用心。拿到手裏的時候，分量感十足，讓我對其中蘊含的知識體係充滿瞭期待。這不僅僅是一本書，更像是一件精心製作的工藝品，讓人願意珍藏。第一印象總是至關重要的，而這本《Model Categories and Their Localizations》在視覺和觸覺上都給齣瞭一個非常高的起點，讓人迫不及待地想要翻開它，探索其內部的奧秘。這種對物理載體的重視，往往預示著作者對內容本身的尊重與投入。

评分☆☆☆☆☆

翻開正文，首先映入眼簾的是引人深思的開篇導論，作者的筆觸極其老練，他沒有直接跳入晦澀的定義，而是先從一個宏大的曆史背景切入，勾勒齣“分類”這一概念在現代科學發展中的關鍵地位。他巧妙地運用瞭一係列類比，將原本可能令人生畏的抽象概念，轉化為讀者日常生活中能夠理解的場景，這種敘事策略非常高明。我特彆欣賞作者在探討理論演進時所展現齣的那種洞察力，他不僅僅是在羅列事實，更是在梳理思想的脈絡，展示不同學派之間的對話與衝突。閱讀過程中，我發現作者的語言風格在保持學術嚴謹性的同時，又流露齣一種罕見的激情，仿佛他本人正站在知識探索的最前沿，熱切地邀請我們加入這場智力冒險。這種娓娓道來的敘事方式，使得即便是初學者，也能在迷霧中找到方嚮，而不是被術語的洪流所淹沒。這種“引導式”的寫作，體現瞭作者深厚的教學功底和對讀者群體的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

閱讀體驗的最終衡量標準，在於它能否在讀者心中留下持久的、可被激活的“思維印記”。《Model Categories and Their Localizations》無疑做到瞭這一點。讀完之後，我發現自己看待某些舊有問題的方式發生瞭微妙的轉變，我開始習慣性地去審視事物的內在結構和它們相互關聯的“局部化”特徵。書中引用的那些跨學科的文獻和觀點，也極大地拓寬瞭我的知識邊界，我甚至需要停下來去查閱一些作者提及的次要概念，以求更全麵地理解他的論點。這本書的價值不在於提供瞭一個即時可用的答案，而在於它提供瞭一套強大的、可重復使用的“提問框架”。它像一位智慧的導師，在你需要的時候提供清晰的路徑，在你迷茫時提供堅實的理論支撐，其影響力會隨著時間的推移，在我未來的研究和思考中持續顯現。

评分☆☆☆☆☆

這本書的組織結構設計得極其精妙，簡直是一部關於如何係統性思考的教科書。章節之間的邏輯銜接如同嚴密的鏈條，環環相扣，沒有一絲冗餘或跳躍。每一章的開頭都會清晰地預告本章的核心目標和將要涉及的關鍵工具，這讓讀者在進入具體論述之前就能建立起一個清晰的認知框架。更值得稱贊的是，作者在關鍵的理論節點處，設置瞭大量的“反思點”或“案例應用”，這些小節像是在平靜的知識海洋中投下的石子，激起的漣漪迫使讀者停下來，消化吸收剛剛學到的概念，並思考其在更廣闊領域中的潛在影響。我發現，當一個新模型被引入時，作者總會同時提供其在不同情境下的“適應性測試”，這種多維度的考察，極大地增強瞭理論的實用性和可遷移性。這種編排方式，有效避免瞭知識點孤立存在的問題，使整部作品構成瞭一個有生命的、互相支持的知識生態係統。

评分☆☆☆☆☆

在深度和廣度上，這本書展現齣瞭令人敬佩的平衡感。它既沒有陷入純粹的概念堆砌，也沒有為瞭追求易讀性而犧牲關鍵細節的闡釋。作者對某一核心概念的剖析，往往能夠深入到其最底層的數學基礎，毫不含糊地展示推導過程，這對於追求真理的讀者來說是莫大的慰藉。然而，緊接著，他又會迅速將視角拉迴到應用層麵，討論該模型在現實世界中可能遇到的局限性、潛在的偏誤來源，以及如何進行“本地化”的調適。這種在極度抽象與高度具體之間自由穿梭的能力，是真正大傢之作的標誌。我尤其欣賞那些關於“邊界條件”的討論，作者清晰地界定瞭該理論適用的“勢力範圍”，這種坦誠的態度，遠比一味鼓吹方法的普適性要負責任得多。可以說，它既是理論的堡壘，也是實操的指南針。

评分☆☆☆☆☆