Multivariable Calculus

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出版者:
作者:Larson, Ron/ Edwards, Bruce H.
出品人:
页数:1174
译者:
出版时间:2009-1
价格:$ 286.96
装帧:
isbn号码:9780547209975
丛书系列:
图书标签:
  • Multivariable
  • Calculus
  • mat
  • 203
  • 微积分
  • 多元函数
  • 数学分析
  • 高等数学
  • 微积分学
  • 数学
  • 理工科
  • 工程数学
  • 函数
  • 极限
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具体描述

The Larson Calculus program has a long history of innovation in the calculus market. It has been widely praised by a generation of users for its solid and effective pedagogy that addresses the needs of a broad range of teaching and learning styles and environments. Each title is just one component in a comprehensive calculus course program that carefully integrates and coordinates print, media, and technology products for successful teaching and learning.

《数学的奇妙旅程:从一维到多维的探索》 本书带领读者踏上一段跨越数学维度的精彩旅程,从我们熟悉的一维世界出发,逐步深入到高维空间的奥秘。我们不局限于单一变量的数学模型,而是要理解和掌握描述复杂现象所需的强大工具。 第一部分:基础的回顾与延伸 在正式进入多维世界之前,我们将首先巩固和拓展一些基础数学概念。这并非简单的重复,而是以更广阔的视角重新审视它们,为后续的深入学习打下坚实基础。 函数与图像的再认识: 我们将重新审视一元函数,但重点将放在其几何意义和变化率的直观理解上。通过对函数图像的深入分析,为理解多元函数的可视化奠定基础。 代数的精炼: 向量代数的引入将是关键。我们将学习向量的运算,如加法、减法、标量乘法,以及更重要的点积和叉积。这些运算不仅是代数上的操作,更是描述空间中方向、长度和相互关系的语言。 几何的透视: 直线、平面、曲线和曲面在多维空间中的表示将是我们的探索起点。我们将学习如何用代数方程描述这些几何对象,以及它们之间的位置关系。 第二部分:进入三维世界 三维空间是多维世界的第一个也是最直观的扩展。在这里,我们开始接触到真正意义上的“多变量”概念。 三维空间中的点、向量与曲线: 我们将在三维坐标系中定位点,理解三维向量的含义,并学习如何参数化描述空间中的曲线。曲线的切线和法线将成为我们分析曲线动态变化的重要工具。 曲面的初步探索: 曲面是三维空间中重要的几何对象。我们将学习如何表示曲面,例如用方程 $z=f(x,y)$ 或隐函数方程 $F(x,y,z)=0$。对曲面进行可视化将是理解其形态的关键。 偏导数:显露变量的局部变化: 当函数依赖于多个变量时,我们关注的是当其中一个变量变化而其他变量保持不变时,函数的变化率。这就是偏导数的概念。偏导数如同“局部剖面”上的斜率,揭示了函数在特定方向上的变化趋势。 梯度:指明函数增长最快的方向: 梯度是一个向量,它包含了所有偏导数的信息,并且指向函数增长最快的方向。梯度在优化问题、物理学中的势能分析等方面有着极其重要的应用。 方向导数:函数在任意方向的变化率: 方向导数进一步推广了偏导数的概念,它描述了函数沿着任意指定方向的变化率。通过方向导数,我们可以更全面地理解函数在空间中的变化行为。 第三部分:更广阔的多维空间 我们将把从三维空间中学到的概念推广到任意 $n$ 维欧几里得空间。虽然高维空间难以直观可视化,但其数学理论却具有普遍性。 多元函数的连续性与可微性: 我们将扩展函数连续性和可微性的概念到多元函数。可微性是衡量函数在某一点附近“光滑”程度的重要指标。 链式法则:复合函数的求导艺术: 当我们处理由多个函数复合而成的高维函数时,链式法则是计算其导数的强大工具。它能帮助我们系统地处理复杂的导数计算。 高阶偏导数与泰勒展开: 类似于一元函数,多元函数也存在高阶偏导数。高阶偏导数提供了关于函数曲率和局部形状的更精细信息。多元函数的泰勒展开可以将复杂函数在某一点附近近似为多项式,这在数值计算和理论分析中都至关重要。 极值问题:寻找函数的“山峰”与“山谷”: 在多维空间中寻找函数的局部最大值和最小值是许多实际问题中的核心任务。我们将学习如何利用偏导数来找到临界点,并运用二阶偏导数检验来判断这些点是极大值、极小值还是鞍点。 拉格朗日乘数法:约束优化的新维度: 许多实际问题并非在整个空间中寻找最优值,而是需要在满足特定约束条件的情况下进行优化。拉格朗日乘数法提供了一种优雅的数学框架来解决这类约束优化问题。 第四部分:向量微积分的强大应用 在掌握了多元函数的微积分工具后,我们将进一步探索向量微积分,这是描述物理世界中各种现象的基石。 线积分:沿着曲线的累积: 线积分是对一个函数沿着一条曲线进行积分。它可以用来计算功、质量分布等。 面积分:在曲面上的累积: 面积分是对一个函数在一个曲面上进行积分。它可以用来计算流过曲面的流量、曲面上的质量等。 梯度场、散度场与旋度场:向量场的内在属性: 我们将深入研究向量场,并学习如何计算其梯度场、散度场和旋度场。梯度场描述了标量函数的“流动”方向和强度;散度场衡量了向量场在某一点的“源”或“汇”的强度;旋度场则描述了向量场在某一点的“旋转”趋势。 格林公式、高斯散度定理与斯托克斯公式:联系积分与微商的桥梁: 这些著名的定理将积分(线积分、面积分)与微商(散度、旋度)联系起来,极大地简化了许多计算,并揭示了向量场在不同维度上的深刻关系。它们是物理学和工程学中解决各种问题的强大工具。 本书旨在为您提供一套分析和理解复杂多变量现象的数学工具。通过理论的讲解、概念的深入剖析以及对实际应用场景的引导,希望读者能够真正体会到数学在描述和解决现实世界问题中的强大力量。

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目录信息

读后感

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用户评价

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我必须提到这本书在理论严谨性上所做出的努力,这对于希望未来继续深造的读者来说至关重要。作者在处理像多重积分的变量替换、路径依赖性这类敏感话题时,处理得异常细致和审慎。他没有回避那些看似晦涩的理论证明,而是将它们放在一个易于理解的语境下进行阐述,并且清晰地标示出哪些是需要严格证明的定理,哪些是可以通过直觉理解的引理。特别是关于“斯托克斯定理”和“格林定理”的介绍,作者不仅给出了严格的二维和三维表述,还耐心地解释了它们之间深刻的联系,这在我以前接触的其他教材中是很少见的深度。这种对数学本质的尊重,确保了读者在打下坚实理论基础的同时,不会因为过度依赖计算技巧而缺乏对数学逻辑的洞察力。对于那些想真正吃透这门学科的人来说,这种平衡是不可或缺的。

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这本书的辅助学习资源配置堪称豪华,如果只看课本本身,可能还无法完全体会到它的价值。我尤其喜欢它在关键概念可视化方面的投入。书中穿插了大量高质量的二维和三维图形,这些图形不仅仅是装饰,而是直接作为教学工具存在的。例如,在解释向量场散度和旋度的概念时,书中没有简单地画一个箭头图,而是用剖面图清晰地展示了场线的汇聚或旋转趋势,这对于依靠视觉来理解抽象概念的我来说,简直是醍醐灌顶。此外,我听说配套的在线学习平台上提供了许多动态的、可交互的图形演示,虽然我主要还是依赖纸质书本,但这些可视化的努力已经极大地降低了学习曲线的陡峭程度。它有效地弥补了传统印刷教材在展示动态过程上的天然缺陷,使得学习体验更加立体和全面,充分体现了当代教材制作的前沿水平。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮,封面采用了经典的深蓝色调,搭配烫金的字体,透露出一种严谨而又不失优雅的学术气息。内页的纸张质感相当不错,触感细腻,即便是长时间阅读也不会感到刺眼,这对于需要精读的数学教材来说至关重要。排版布局非常清晰,文字与公式的间距把握得恰到好处,使得复杂的数学表达式也显得井井有条,查找和定位特定内容极为便捷。特别是那些关键定理和定义,都被精心框选或用粗体突出显示,极大地方便了我们这些初学者消化吸收海量的信息。随书附带的在线资源链接也值得称赞,里面包含了大量的互动式模拟和额外的习题解析,为课本知识的深化理解提供了强大的辅助工具,让枯燥的学习过程增添了不少趣味性。总的来说,从物理接触到最终学习体验的每一个细节,出版方都体现出了对读者的尊重和对学术严谨性的坚持,这绝不仅仅是一本冰冷的教材,更像是一件精心打磨的艺术品。

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在习题设计的深度和广度上,这本书的表现超出了我的预期,它真正做到了覆盖从基础巩固到挑战思维极限的完整光谱。前半部分的练习题主要集中在对基本运算规则的熟练掌握,数量适中,能够有效巩固当天学习的知识点,确保每一个基础公式都能刻在肌肉记忆里。而更令人称道的是穿插在章节末尾的“探索性问题”和“应用案例分析”。这些部分往往需要综合运用多个章节的知识点,并且常常将微积分原理与物理、工程、经济学等交叉学科的实际问题相结合,极大地拓宽了我的视野。完成这些难题的过程,虽然充满挫折感,但每当最终找到优雅的解法时,那种智力上的满足感是无可替代的。我特别欣赏其中对“梯度场”和“线积分”的物理意义探讨,它不仅仅教我如何计算,更重要的是让我理解了为什么我们要做这些计算,这才是真正的高等数学教育的价值所在。

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这本书的叙述风格简直是一股清流,作者似乎非常懂得如何与读者进行“对话”。它没有采用那种高高在上、只顾堆砌公式的传统理工科教材的冷漠腔调,而是用一种非常温和、循序渐进的口吻,将那些原本看起来令人望而生畏的多变量概念,层层剥开,化繁为简。比如在引入偏导数时,作者并没有急于抛出定义,而是先用一个非常贴近生活的三维曲面变化的直观例子来铺垫,让我一下子就抓住了“局部变化率”这个核心思想。更妙的是,每当介绍完一个新的复杂概念后,作者总会立刻跟上一个精心挑选的、难度适中的例题,这些例题的选择极具代表性,确保了我们能立刻将抽象的理论应用到具体的计算中去,这种“即学即用”的节奏感,极大地增强了我的学习信心。对于那些容易混淆的几何直觉,作者甚至不惜笔墨地加入了大量的文字描述和辅助说明,使得空间感在脑海中得以逐步构建,而非仅仅停留在符号运算层面。

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外国人写的书就是比较详细,插图比较多,容易理解,对公式定理的证明也是形象具体,易于理解。不建议通篇阅读,更建议作为国内课本学习的参考,比方说泰勒公式的证明,就可以翻翻这本书看看证明过程

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