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☆☆☆☆☆

出版者:Dover Publications

作者:I. M. Gel'fand

出品人:

页数:185

译者:Schenitzer, A.

出版时间:1989-9-1

价格:USD 11.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486660820

丛书系列:

图书标签:

数学
线性代数
俄国
代数
高等代数7
丘赛参考书
linear_algebra
I.M.Gelfand
线性代数
高等数学
数学教材
大学教材
线性方程组
向量空间
矩阵
特征值
线性变换
Gilbert Strang

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具体描述

Prominent Russian mathematician's concise, well-written exposition considers: n-dimensional spaces, linear and bilinear forms, linear transformations, canonical form of an arbitrary linear transformation, introduction to tensors, more. Not designed as an introductory text. 1961 edition.

《代数几何基础：从古典到现代的视角》图书简介本书旨在为读者提供一个全面而深入的代数几何导论，内容涵盖了从古典的代数曲线到现代的概形理论的核心概念。我们避免了对特定线性代数教材（如《Lectures on Linear Algebra》）内容的直接引用或依赖，而是专注于代数几何这一独立且宏大的数学分支的内在逻辑与发展脉络。本书的结构设计旨在引导读者逐步建立起坚实的理论基础，并最终接触到当代研究的前沿领域。我们深知，代数几何作为连接代数、几何与拓扑的桥梁，其理解的深度依赖于对基本概念的精确把握。 --- 第一部分：古典代数几何的基石本部分侧重于介绍代数几何的起源及其在复数域 $mathbb{C}$ 上的经典框架，为后续更抽象的理论打下直观基础。第一章：代数集与多项式环我们将从最基本的对象——代数集（Algebraic Sets）开始。在 $mathbb{A}^n$（仿射空间）中，代数集是由一组多项式的公共零点构成的集合。本章详细探讨了多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 的结构性质，特别是其理想（Ideals）与代数集之间的关系，即著名的希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）。我们不仅证明了该定理，还深入分析了它在识别代数集几何结构方面的重要性。第二章：簇与有理函数为了摆脱对特定坐标系的依赖，我们引入了射影空间 $mathbb{P}^n$ 的概念，并定义了射影代数集，即簇（Varieties）。射影空间的引入使得处理无穷远点和处理奇点问题变得更加自然。本章详细区分了不可约簇（Irreducible Varieties）和本原簇（Primitive Varieties），并引入了函数域（Function Fields）的概念，以研究定义在簇上的有理函数（Rational Functions）。我们探讨了函数的极点（Poles）与零点（Zeros），并引入了维度理论的初步概念，例如超越次数（Transcendental Degree）。第三章：经典曲线理论的几何深入本章聚焦于平面曲线，这是代数几何最直观的应用场景。我们将复习光滑性（Smoothness）的概念，并运用偏导数来判定一个点是否为奇点。随后，我们深入研究了阿贝尔-雅可比定理（Abel-Jacobi Theorem）的初步形式，以及黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）在曲线上的应用。黎曼-罗赫定理被视为代数几何的基石之一，它精确地联系了曲线的拓扑不变量（亏格，Genus）与线丛（Line Bundles）的代数信息。我们将详细构造证明所需的线性系统（Linear Systems）和维数计算。 --- 第二部分：概形论的引入与抽象化从本部分开始，我们将转向现代代数几何的核心——概形论（Scheme Theory），这是由亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）开创的理论框架。这一框架的优势在于其极度的普适性和对“局部”信息进行“全局”编码的能力。第四章：环与拓扑的结合：预层与拓扑空间现代代数几何的起点是“环是空间的函数环”这一理念。本章首先回顾了预层（Presheaves）和层（Sheaves）的构造，特别是关于局部性质的传递性。我们定义了古典拓扑空间（如 Zariski 拓扑）的局限性，并引入了“谱拓扑”（Spectra Topology），即素理想谱 $ ext{Spec}(R)$。本章的重点在于理解 $ ext{Spec}(R)$ 上的 Zariski 拓扑如何自然地编码了环 $R$ 的代数结构。第五章：概形的构造与基本性质我们将正式定义“局部环化”（Localization）过程，并构建了概形（Scheme）的概念：一个由环谱空间加上一个结构层构成的空间。我们详细区分了结构型（reduced）、积分（integral）和正则（regular）概形。本章的关键在于理解如何将古典的代数集“提升”到概形这一更一般的范畴中，特别是如何处理 nilpotents（幂零元），它们允许我们在不引入拓扑结构的情况下讨论“无穷小”信息。第六章：射影概形与相干层为了重新审视射影空间，我们定义了射影概形 $mathbb{P}^n_R$（基于任意交换环 $R$）。本章的核心是相干层（Coherent Sheaves）理论。相干层是局部自由层（Locally Free Sheaves）的良好近似，它们构成了研究概形上向量丛的代数语言。我们将深入探讨 $mathcal{O}(n)$（扭转层）的性质，并重述黎曼-罗赫定理在相干层框架下的推广，即相干层上同调（Sheaf Cohomology）的初步应用。 --- 第三部分：更深层次的结构与工具最后一部分将介绍现代研究中不可或缺的几个高级工具和概念。第七章：上同调理论的必要性本章专门探讨了为什么仅靠层本身不足以描述空间的全局性质。我们引入了上同调（Cohomology）的概念，它衡量了局部信息“粘合”的失败程度。重点介绍第一上同调群 $H^1$ 在分类线丛（或局部自由层）方面的作用。我们将使用长正合列（Long Exact Sequences）来演示如何通过局部性质推导出全局信息。第八章：基变更与平坦性代数几何中一个至关重要的操作是“基变更”（Base Change）。如果 $R o S$ 是一个环同态，我们可以将一个 $R$-概形 $X$ 视为一个 $S$-概形 $X_S$。本章详细分析了这种变换对几何性质的影响，特别是平坦性（Flatness）的概念。平坦性作为一种重要的“纯代数”条件，被用来保证某些几何性质（如维数或奇点类型）在基变更下得以保持。第九章：范畴论的视角与函子为过渡到更高级的理论，本章引入了范畴论的视角。我们将重新审视代数几何的构造——诸如积空间（Product Spaces）和纤维积（Fiber Products）——并展示它们在概形范畴中是如何由特定的极限构造来定义的。特别是，我们将探讨“代数空间”（Algebraic Spaces）的概念，作为对概形理论在某些情况下（例如处理奇异点时）的进一步放松和扩展。 --- 本书的特点：本书避免了过多地依赖于抽象的范畴语言，而是力求在引入新概念时，始终将其锚定在古典几何的直观理解之上。我们相信，只有通过对希尔伯特零点定理、黎曼-罗赫定理等核心结果的深刻理解，才能真正掌握概形论的威力。本书适合具备扎实抽象代数背景（特别是环论和域论）的研究生和高年级本科生作为教材或参考资料。读者将发现，代数几何的魅力在于其将高度抽象的代数运算转化为对几何实在的精确描述。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

这本书看看作者就知道了。Gelfand是第一届Wolf数学奖得主，Kolmogorov的学生，年纪和陈老、华老差不多，2009年以96岁高龄逝世，在美国的Rutgers大学。当然他大半生的工作是在莫斯科大学，并3次获得列宁勋章。他最出名的工作是建立了泛函分析中的赋范环理论，在拓扑学、微分方程...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

一本令人惊叹的线性代数入门读物，作者在概念的梳理和例子的选择上都展现了极高的智慧。初读之下，便能感受到作者深厚的功底以及对教学的热忱。书中对于向量空间、线性变换、矩阵及其运算的讲解，层层递进，逻辑清晰，没有丝毫的生涩感。每一个概念的引入都伴随着恰当的几何或代数直观解释，这对于初学者来说尤为重要，能够帮助我们建立起对抽象概念的坚实理解。例如，在讲解线性无关时，作者不仅给出了严格的定义，还生动地描绘了向量“不重复”或者“不能被其他向量组合表示”的几何意象，使得这一核心概念瞬间鲜活起来。矩阵的秩、特征值和特征向量这些看似复杂的概念，在作者的笔下也变得容易理解。他没有直接跳到公式推导，而是先从实际问题出发，比如如何描述一个线性变换的“缩放”和“旋转”性质，从而引出特征值和特征向量的重要性。每一个章节后的习题都精心设计，难度适中，既能巩固课堂上的知识点，又能引导读者进行更深入的思考。我尤其喜欢书中关于“基”的讲解，它不仅仅是一个定义，更是理解向量空间结构的关键。作者通过构建不同基下的向量表示，让我们体会到基的变换是如何影响坐标系的，进而加深对向量空间本质的理解。这本书的语言风格非常平实，没有冗余的学术术语堆砌，更多的是用清晰的逻辑和直观的比喻来传达思想。读完这本书，我感觉自己对线性代数的理解上了一个全新的台阶，不再仅仅是死记硬背公式，而是真正理解了它们背后的数学思想和应用价值。

评分☆☆☆☆☆

当我拿到《Lectures on Linear Algebra》这本书时，我被其作者深厚的学术功底和独特的教学风格深深吸引。他将线性代数这门看似枯燥的学科，通过引人入胜的讲解和精妙的例子，变得生动有趣且易于理解。书中对于“向量空间”的阐述，从最基本的公理出发，逐步构建起整个理论框架，并且在每一步都提供了非常清晰的几何直观。例如，他将子空间比作“被限制在某个区域内的向量集合”，这让我立刻对“子空间”这个抽象概念有了具象的认识。矩阵的运算，特别是矩阵乘法，作者并没有简单地给出计算规则，而是将其解释为多个线性变换的“复合”，这极大地加深了我对矩阵乘法的理解。书中关于“线性无关”和“基”的讲解，更是让我体会到了线性代数在描述和简化问题中的强大能力。作者通过构建不同的“基”来表示同一个向量，展示了向量表示的灵活性以及基的重要性。我对书中关于“特征值和特征向量”的讨论尤为着迷。作者将这些概念置于理解线性变换的本质，解释了它们如何揭示线性变换在特定方向上的行为，这对于我理解很多动力学系统和信号处理算法至关重要。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者，在我看来，是那种能够将最复杂的概念化繁为简的教育家。他对于线性代数的热情和深入的理解，贯穿于整本书的字里行间。《Lectures on Linear Algebra》之所以与众不同，在于它不仅仅提供了知识，更重要的是传授了一种思考方式。作者在讲解向量空间时，没有仅仅停留在抽象的定义上，而是通过不断地类比和举例，例如将向量空间想象成不同的“世界”，而基则像是这个世界的“语言”，让人耳目一新。他对于“线性变换”的刻画更是让我茅塞顿开。他将矩阵视为一种“指令集”，告诉我们如何“扭曲”或“拉伸”空间中的向量，这种生动的比喻，让我不再惧怕矩阵的乘法，而是将其看作是变换的叠加。书中关于“特征值和特征向量”的章节，可以说是整本书的亮点之一。作者并没有直接给出一堆公式，而是先探讨了“什么是不变的”，从而引出特征向量的概念，再解释特征值是如何描述这种“不变”的程度。这对于理解很多物理现象，比如简谐振动，都提供了重要的数学基础。我尤其欣赏作者在章节末尾设置的思考题，这些问题往往能够引导读者将所学知识融会贯通，并引发更深层次的思考。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇但又缺乏系统性学习的爱好者，我常常在阅读数学书籍时感到畏难。然而，《Lectures on Linear Algebra》彻底改变了我的看法。这本书的作者拥有非凡的教学天赋，他将线性代数这门通常被认为非常抽象的学科，变得如此易于理解和充满趣味。从向量空间的基本定义开始，作者就力求用最简洁明了的语言和最恰当的例子来阐述。他不像其他书籍那样堆砌公式，而是先从直观的几何意义入手，然后自然地引出代数形式。例如，在讲解“线性无关”时，他会用生活中的例子来比喻，比如“不需要额外的信息”来描述一组向量，这大大降低了概念的入门门槛。书中对于矩阵和线性变换的对应关系，作者更是花了大量笔墨去解释，让我明白了矩阵不仅仅是数字的排列，更是描述变换的语言。他对“高斯消元法”的讲解，不仅是算法的步骤，更是对矩阵行变换本质的深入剖析，让我理解了为什么它能找到解。我还发现书中对“行列式”的解释非常精彩，它不仅仅是用来判断矩阵可逆性的一个数值，更是描述了线性变换在各个方向上的“缩放”比例的乘积，这种几何意义的解读，让我对行列式有了全新的认识。这本书的排版也相当舒适，留白适度，公式清晰，阅读起来非常享受。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者，无疑是一位将线性代数精髓融会贯通并善于传达给读者的教育家。他在《Lectures on Linear Algebra》一书中，用清晰的逻辑、生动的语言和恰到好处的例子，为我打开了理解线性代数的大门。我特别欣赏他对“向量空间”的定义，它不仅仅是满足某些代数性质的集合，更是一种数学结构，允许我们在其中进行“加法”和“数乘”等操作。作者通过对比不同集合是否构成向量空间，加深了我对向量空间本质的理解。书中关于“矩阵”的讲解，更是让我突破了以往机械计算的认知。他将矩阵视为“线性变换”的一种具体表示，并且详细解释了矩阵乘法如何对应着线性变换的复合，这让我在面对复杂的矩阵运算时，能够理解其背后的几何意义。我尤其喜欢书中关于“特征值和特征向量”的阐述。作者并非直接给出公式，而是从“寻找不变的方向”这一问题出发，引出了特征向量的概念，并且解释了特征值如何描述在这种不变方向上的缩放比例。这对于我理解很多物理模型和数据分析方法都至关重要。这本书的排版和结构也十分合理，章节之间过渡自然，使得学习过程更加流畅。

评分☆☆☆☆☆

这是一本真正能够激发你对数学学习兴趣的书。作者在《Lectures on Linear Algebra》中展现出的对线性代数的深刻洞察和严谨的教学方法，让我受益匪浅。他不仅仅是在教授知识，更是在引导读者理解数学背后的思想和逻辑。书中关于“向量”的定义，从集合的角度出发，逐步引入了“加法”和“数乘”的封闭性，这为后续的“向量空间”概念奠定了坚实的基础。我特别欣赏作者对于“线性变换”的讲解，他没有直接跳到矩阵，而是先从“保持线性结构”这一核心性质出发，来定义线性变换，这使得理解其本质变得更加容易。接着，他巧妙地展示了如何用矩阵来表示一个线性变换，并且解释了矩阵乘法如何对应着线性变换的复合。书中对于“行列式”的引入，也是别具一格。作者没有一开始就给出复杂的计算公式，而是从几何上解释行列式如何度量一个线性变换对体积的“拉伸”或“压缩”作用，这让我对行列式的意义有了更直观的认识。此外，书中关于“特征值和特征向量”的讲解，更是深入浅出，他解释了它们是如何描述一个线性变换在某个方向上“保持不变”或者“仅仅进行缩放”的性质，这在许多科学和工程领域都有着重要的应用。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够系统性地梳理线性代数概念，并深入浅出地讲解其内在逻辑的书籍，最终我找到了《Lectures on Linear Algebra》。这本书的作者无疑是一位对线性代数有着深刻理解并且极具教学天赋的教育家。他将线性代数的核心概念，如向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值与特征向量等，进行了极其清晰和有条理的阐述。我特别赞赏作者在讲解“向量空间”时，不仅给出了严格的代数定义，还辅以大量的几何直观解释。他通过类比，例如将向量空间比作一个“游戏场”，向量是场中的“玩家”，而线性变换则是改变玩家位置或方向的“规则”，这种生动的方式极大地降低了抽象概念的理解难度。书中对于“矩阵”的讲解，更是超越了简单的运算规则，将其深刻地揭示为“线性变换的表示”。作者一步步地展示了如何通过选取不同的“坐标系”（基），来获得同一个线性变换在不同“语言”下的不同“翻译”（矩阵表示）。这让我深刻理解了基变换的重要性以及矩阵在不同基下的不变量。关于“特征值与特征向量”的阐释，作者更是将抽象的数学概念与实际应用紧密结合，例如在降维技术（如PCA）中的应用，这让我看到了线性代数强大的实用价值。

评分☆☆☆☆☆

这是一本能够真正让你爱上数学的书，作者对于线性代数这门学科的热情和洞察力跃然纸上。它不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的导师，循序渐进地引导你探索线性代数的世界。书中的论证严谨，推理过程一丝不苟，但同时又充满了启发性。作者善于将看似分散的概念联系起来，展现出线性代数内在的统一性。例如，关于行列式的讨论，它不仅是计算矩阵可逆性的工具，更是衡量线性变换对体积影响的重要指标，作者通过几何的视角，将抽象的代数运算与具体的几何意义紧密相连，让我豁然开朗。书中对“对角化”这一重要概念的讲解更是出彩，它不仅仅是数学上的一个操作，更是理解线性变换本质的一个关键。作者通过分析如何找到一个合适的基，使得线性变换在该基下变成一个简单的对角矩阵，揭示了线性代数在简化复杂问题中的强大力量。这对于理解动力系统、图像处理等领域的应用至关重要。此外，书中还穿插了许多历史背景和实际应用案例，这使得学习过程更加生动有趣，也让我体会到数学的魅力不仅仅在于其抽象的美感，更在于它解决现实世界问题的能力。无论是大学本科生，还是对线性代数感兴趣的非专业人士，这本书都能提供一个高质量的学习体验。它的深度和广度都恰到好处，既有理论的严谨，又有应用的实践。

评分☆☆☆☆☆

《Lectures on Linear Algebra》这本书，是作者送给所有热爱数学和渴望理解线性代数读者的宝贵礼物。作者凭借其非凡的洞察力，将线性代数这门原本可能令人望而生畏的学科，变得如此迷人且易于掌握。他不仅仅是传递知识，更是在引导我们进行数学思考，培养我们解决问题的能力。书中对于“向量”和“向量空间”的介绍，非常具有启发性。作者从最基础的代数结构开始，逐步引入了“线性无关”、“基”和“维度”等核心概念，并且在每一个阶段都提供了恰当的几何类比，让我能够深刻理解这些抽象概念的含义。例如，他将“基”比作描述一个空间的“基本单位”，而“维度”则是描述这个空间“大小”的度量，这种直观的解释，帮助我牢固地掌握了这些概念。矩阵的讲解更是深入人心。作者将矩阵视为一种“线性变换的语言”，通过对矩阵的运算，揭示了线性变换在空间中发生的各种“扭曲”和“变形”。他关于“行列式”的解释，更是将抽象的代数计算与具体的几何意义联系起来，让我明白行列式是如何衡量线性变换对体积的比例缩放。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够真正让我理解线性代数背后思想的书，而《Lectures on Linear Algebra》正是这样一本。作者的讲解方式非常独特，他没有像许多传统教材那样，上来就抛出一堆定义和定理，而是通过引人入胜的例子和清晰的逻辑，一步步引导读者进入线性代数的核心。书中关于向量空间的讨论，我尤其印象深刻。作者将向量空间从其基本的代数结构出发，逐步构建起“基”、“维度”、“子空间”等概念，并且在每一个步骤都提供了直观的几何解释。这对于我这样习惯于具象思维的读者来说，是非常宝贵的。例如，对于“子空间”的理解，作者用“平面的子空间是直线或点”这样的类比，让我一下子就抓住了这个概念的本质。矩阵的运算，比如乘法，作者并没有仅仅给出规则，而是将其解释为一系列线性变换的复合，这种解读方式让我对矩阵乘法有了更深刻的理解，不再是机械的计算。书中对“特征值和特征向量”的讲解更是精妙，它不仅解释了如何计算它们，更重要的是阐述了它们在描述线性变换的“不变方向”和“缩放因子”方面的作用，这对于理解许多物理和工程问题都至关重要。我喜欢书中对于一些经典问题的解答，比如如何用最小二乘法解决超定方程组，这展示了线性代数在实际应用中的强大威力。

评分☆☆☆☆☆

书的内容很棒。对于学过一点线性代数的人来说十分适合。

评分☆☆☆☆☆

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