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出版者:

作者:Baratta-Lorton, Mary 編

出品人:

頁數:432

译者:

出版時間:1994-5

價格:$ 68.90

裝幀:

isbn號碼:9780201861495

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 小學數學
• 教育
• 教材
• 學習
• 基礎教育
• 數學教育
• 兒童讀物
• 思維訓練
• 啓濛

書籍簡介：解析幾何的演進與現代應用 書名： 幾何的邊界：從歐幾裏得到非歐幾何的數學之旅 作者： [此處填寫虛構的作者姓名，例如：亞曆山大·弗裏德裏希] 齣版社： [此處填寫虛構的齣版社名稱，例如：普羅米修斯科學文獻齣版社] --- 內容概述 本書旨在為讀者構建一個宏大而精密的幾何學知識體係，它不僅僅是對歐幾裏得體係的復述與贊頌，更是一次深入剖析幾何學思想在曆史長河中如何演變、擴展，並最終滲透到現代物理學與工程學核心領域的探索之旅。我們不滿足於平麵上的直綫與角度，而是要跨越維度，探究更高維度的結構，並理解當我們放鬆或改變傳統公理時，數學世界會展現齣何等絢麗的圖景。 本書結構嚴謹，敘事清晰，力求在保持數學嚴密性的同時，兼顧非專業背景讀者的理解需求。全書分為四大核心部分，層層遞進，引導讀者完成一次從直觀感知到抽象思維的飛躍。 --- 第一部分：歐幾裏得傳統的基石與裂隙（約 300 字） 本部分將追溯幾何學的源頭——古希臘文明對空間認知的巔峰之作，歐幾裏得《幾何原本》。我們將細緻解析五條公理和五條公設的邏輯結構，尤其是第五公設（平行公設）在曆史上麵臨的質疑與嘗試證明的漫長過程。 我們不會將歐幾裏得的體係視為終極真理，而是將其視為一個特定、完備的公理係統。通過對“可構造性”概念的討論，我們會引齣古典幾何學在處理圓規和直尺操作時所遭遇的根本性限製，例如三等分角和化圓為方的難題。這部分為後續革命性的思想變革埋下伏筆，揭示瞭看似堅不可摧的幾何學大廈內部已然存在的“裂隙”。 --- 第二部分：非歐幾何的誕生與範式的轉移（約 450 字） 這一部分是全書的核心轉摺點，詳細闡述瞭 19 世紀數學傢如何成功地推翻瞭第五公設的必然性。我們將聚焦於兩位關鍵人物：高斯（盡管他秘密研究）、羅巴切夫斯基和鮑耶伊。 雙麯幾何 (Hyperbolic Geometry)： 我們將深入講解雙麯空間是如何通過“存在多條平行綫”來構建的。讀者將學習到雙麯幾何中的基本概念，例如內角和總是小於 180 度的三角形，以及負麯率的概念。我們將通過模型（如龐加萊圓盤模型和笛特拉模型）直觀地展示這種“扭麯”的空間是如何自洽的。 橢圓幾何 (Elliptical Geometry / 黎曼幾何的開端)： 相反，我們將探討球麵幾何（或稱作橢圓幾何），其中任意兩條“直綫”（大圓）都必然相交。我們將分析這種空間中三角形內角和大於 180 度的特性，並首次引入“測地綫”的概念，這標誌著幾何學開始從平麵直角坐標係中解放齣來，轉嚮更本質的空間屬性描述。 本部分強調的是，非歐幾何的建立並非“錯誤的幾何學”，而是“另一種自洽的、基於不同初始假設的幾何學”。這徹底打破瞭自亞裏士多德以來“空間隻有一種描述方式”的哲學定勢。 --- 第三部分：微分幾何的崛起與麯率的量化（約 400 字） 隨著非歐幾何的建立，我們需要更強大的工具來描述和量化任意麯麵的局部幾何性質。本部分將轉嚮微分幾何，這是連接代數、分析學與幾何學的橋梁。 我們將介紹麯綫的麯率（一次麯率）和麯麵的高斯麯率（二次麯率）。高斯著名的“奇異性定理”（Theorema Egregium）將被詳細闡釋：一個麯麵的內在幾何性質，可以僅通過測量其錶麵上的長度和角度來確定，而無需參考它如何嵌入更高維空間。這意味著，生活在一個二維麯麵上的生物，可以完全通過在其錶麵上進行測量的數學實驗，來判斷他們的世界是平的、雙麯的還是橢圓的。 我們將討論麯麵的分類，引入“拓撲學”的初步概念，例如連通性、虧格（Genus）的概念，從而將局部微分信息與整體拓撲結構聯係起來，為現代拓撲學的發展奠定基礎。 --- 第四部分：從空間到時空——廣義相對論中的幾何（約 350 字） 本書的終極目標是將純粹的數學抽象與最前沿的物理學應用相結閤。本部分聚焦於愛因斯坦的廣義相對論，探討幾何學如何成為描述引力的語言。 在廣義相對論中，引力不再是作用於空間的力，而是時空彎麯的錶現。我們將介紹愛因斯坦場方程的幾何意義，理解“測地綫”在四維時空中的含義——物體（包括光）總是在其所在時空中的“最直”路徑上運動。 我們將探討黎曼幾何如何被推廣到四維流形上，並解釋為什麼光綫在經過大質量天體（如太陽）附近時會發生偏摺。通過分析閔可夫斯基時空與彎麯時空的對比，讀者將能深刻理解，我們對宇宙宏觀結構的理解，完全建立在對空間（和時間）麯率的精確數學描述之上。 --- 總結 《幾何的邊界》是一部雄心勃勃的著作，它將帶領讀者穿越時空，體驗數學思維的偉大勝利。它展示瞭幾何學如何從一個關於直尺和圓規的工具箱，演變成一套描述宇宙結構和物理定律的基礎框架。本書適閤對數學史、現代物理學，以及抽象邏輯有濃厚興趣的讀者。讀完此書，您對“空間”二字的理解將永遠不同。

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