Forward and Inverse Problems for Hyperbolic, Elliptic and Mixed Type Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Megrabov, Alexander G.

出品人:

页数:230

译者:

出版时间:

价格:$ 384.77

装帧:

isbn号码:9789067643795

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
反问题
正问题
双曲型方程
椭圆型方程
混合型方程
数值分析
数学物理
泛函分析
PDE

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具体描述

Inverse problems are an important and rapidly developing direction in mathematics, mathematical physics, differential equations, and various applied technologies (geophysics, optic, tomography, remote sensing, radar-location, etc.). In this monographdirect and inverse problems for partial differential equations are considered. The type of equations focusedare hyperbolic, elliptic, and mixed (elliptic-hyperbolic). The direct problems arise as generalizations of problems of scattering plane elastic or acoustic waves from inhomogeneous layer (or from half-space). The inverse problems are those of determination ofmedium parameters by giving the forms of incident and reflected waves or the vibrations of certain points of the medium. The method of researchof all inverse problems is spectral-analytical, consisting in reducing the considered inverse problems to the known inverse problems for the Sturm-Liouville equation or the string equation. Besides the book considers discrete inverse problems. In these problems an arbitrary set of point sources (emissive sources, oscillators, point masses) is determined

深入解析偏微分方程的求解与应用：一本聚焦数值方法的专著本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索在偏微分方程（PDEs）领域中，从模型建立到数值求解的关键挑战与前沿进展。我们专注于抛物型、椭圆型和双曲型方程的理论基础、数值方法设计及其在实际工程和科学问题中的应用，尤其强调反问题的处理策略。本书的结构精心设计，旨在引导读者系统地掌握现代计算数学的核心技能。我们不局限于对经典理论的复述，而是将重点放在如何高效、稳定地解决那些在实际应用中出现的复杂边界条件和非标准初始条件。第一部分：偏微分方程基础与模型构建本部分为后续的数值方法奠定坚实的理论基础。我们从物理现象出发，详细推导了支配传热、扩散、波动以及流体动力学的基本控制方程。抛物型方程（Parabolic Equations）：我们深入探讨了傅里叶热传导定律的数学表述，包括标准的扩散方程和非线性对流-扩散方程。重点分析了这些方程在瞬态问题中的特性，如热量如何随时间传播和扩散。书中详细讨论了诸如奇性解（singular solutions）和爆破现象（blow-up phenomena）等非线性抛物方程的特殊行为。在模型构建层面，我们探讨了如何利用分数阶导数来描述异常扩散过程（Anomalous Diffusion），这对于理解复杂介质中的物质迁移至关重要。椭圆型方程（Elliptic Equations）：本章聚焦于稳态问题，如静电场分布、平衡态热传导和最小势能问题。我们详尽分析了泊松方程和拉普拉斯方程的极值原理和唯一性。对于边界条件的处理，本书提供了对狄利克雷（Dirichlet）、诺伊曼（Neumann）以及周期性边界条件在不同几何域上的严格讨论。特别地，我们对非均匀介质中的椭圆方程进行了深入探究，其中系数场具有高梯度或不连续性，这在复合材料分析中尤为常见。双曲型方程（Hyperbolic Equations）：波动方程和欧拉方程是本章的核心。我们详细分析了波的传播特性，包括色散（Dispersion）和色散（Dissipation）效应。书中对一维和多维波动方程的特征线分析进行了详尽阐述，这是理解信息传递路径的关键工具。对于守恒律（Conservation Laws），如流体力学中的欧拉方程，我们着重讲解了激波（Shocks）和不连续解的出现，并引入了熵条件（Entropy Conditions）来确保物理上合理的解。第二部分：数值方法的系统构建本部分是全书的实践核心，详细介绍了用于求解上述三类方程的现代离散化技术。有限差分法（Finite Difference Method, FDM）：我们从最基础的一阶导数近似开始，逐步过渡到高阶精度的中心差分格式。对于时间相关的抛物型和双曲型方程，我们详细对比了显式、隐式以及Crank-Nicolson格式的稳定性和精度。书中对稳定性的分析采用了冯·诺依曼（Von Neumann）方法，并给出了严格的 CFL 条件（Courant-Friedrichs-Lewy Condition）推导，强调在双曲问题中保持时间步长受到的限制。有限元法（Finite Element Method, FEM）：本书对有限元法的介绍侧重于其在处理复杂几何形状和非均匀网格时的优越性。我们详细阐述了变分弱形式的建立，基函数的选择（如线性、二次多项式）以及刚度矩阵和质量矩阵的装配过程。对于椭圆方程，我们构建了基于最小势能原理的FEM框架。此外，书中还包括了后处理技术，用以估计数值解的误差和导出更高阶的导数信息。有限体积法（Finite Volume Method, FVM）：鉴于FVM在守恒型问题（如双曲方程）中的重要性，本章进行了专门的论述。我们强调通量（Flux）的精确计算和控制体积上的积分守恒。对于激波的捕捉，书中详细介绍了通量限制器（Flux Limiters）的概念，并比较了MUSCL、TVD等高分辨率格式的性能。第三部分：挑战性问题与前沿技术本部分深入探讨了在实际应用中往往需要特殊处理的复杂问题，特别是反问题。反问题理论与正则化：偏微分方程的反问题通常是病态的（Ill-posed），即解对数据中的微小扰动极其敏感。我们详细分析了导致病态性的根源（如解在某些频率成分上缺乏依赖性）。本书系统介绍了Tikhonov正则化，包括最优正则化参数的选择标准（如偏差-方差准则和L曲线法）。我们展示了如何将正则化项与物理约束相结合，以稳定地识别介质参数（如导热系数或声速分布）。混合型方程的处理：混合型方程（Mixed-Type Equations），例如那些在不同区域具有不同方程类型的方程（如滞后性流体问题），对传统数值方法构成了巨大挑战。我们探讨了区域分离界面上的数值处理技术，包括如何保证解在界面上的光滑性和守恒性。书中介绍了适应性网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）在处理这类问题中界面附近高梯度解的有效性。高维与并行计算：对于维度灾难（Curse of Dimensionality）的应对，我们介绍了张量积方法（Tensor Product Methods）和有限核方法（Finite Kernel Methods）在处理高维椭圆方程时的优势。在计算效率方面，本书简要介绍了域分解法（Domain Decomposition Methods），如Schwartz交替方法，以及如何将其应用于大规模并行计算环境中，以加速求解大型线性系统。本书的最终目标是培养读者将理论知识转化为有效、可靠的数值算法解决实际工程和科学问题的能力，尤其是在面对不确定性输入和不完备观测数据时，如何稳健地求解正演和反演问题。

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目录信息

读后感

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用户评价

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我个人对书中可能涉及的数值方法和实际应用案例部分非常期待。虽然理论基础是理解一切的基石，但一个优秀的教材或专著，必须能将抽象的数学语言转化为解决现实世界问题的工具。我希望看到作者不仅仅停留在方程解的存在性和唯一性证明上，而是能提供一些关于如何有效地、稳定地从观测数据中反演系统参数或初始条件的具体算法和讨论。例如，在地球物理学或医学成像中，这类反问题是核心挑战。如果书中能提供一些关于数值稳定性、正则化技术，或者针对特定混合型方程（如涉及到相变的物理模型）的有效求解策略的讨论，那么这本书的实用价值将大大提升。目前来看，从章节的命名可以推测，作者对此应该有所侧重，这让我对后续的阅读充满了好奇和积极的预期。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和图表质量值得称赞，这对于一本需要大量公式和复杂图形的数学专著来说至关重要。清晰的字体和合理的行距使得长时间阅读眼睛不容易疲劳，而关键的数学表达式被恰当地突出显示，有助于快速定位核心内容。在某些涉及几何或拓扑结构的描述中，如果配有高质量的示意图，无疑能极大地帮助读者建立直观认识。我观察到，作者似乎非常注重符号的一致性，这在处理多变量和高阶偏微分方程时是保证阅读流畅性的关键。一本好的技术书籍，其物理载体必须与内容相匹配，这本书在这方面做得相当到位，体现了出版社和作者对学术质量的共同追求。

评分☆☆☆☆☆

从一个更宏观的角度来看，这本书似乎在尝试搭建一座连接经典分析理论与现代应用挑战的桥梁。微分方程领域庞大且分支众多，要将双曲、椭圆和混合型这三大类行为迥异的方程汇集于一册，并围绕“正问题”和“反问题”这一核心主题展开论述，本身就是一项艰巨的任务。这本书的价值可能不在于提供某一个领域最前沿的突破性结果，而在于它提供了一个全面、连贯的视角，让读者能够从一个统一的数学框架下理解不同物理现象背后的统一性与差异性。对于那些希望构建自己研究领域全局观的学者而言，这种系统性的整合梳理，比零散的论文阅读更为重要。它提供了一个坚实的基准点，可以向任何一个方向进行更深入的钻研。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象，那种经典的学术书籍风格，厚重而严谨，一看就知道是面向专业读者的深度之作。拿到手上沉甸甸的感觉，仿佛预示着其中蕴含的知识密度。我特别关注了目录部分，它清晰地勾勒出了作者的学术脉络，从基础理论的建立到具体方程类型的深入探讨，结构安排得当，逻辑性极强。尽管我尚未完全深入到每一个章节的细节中，但仅从这个概述来看，就能感受到作者在处理偏微分方程（PDE）领域复杂问题时所展现出的那种扎实的基础功和清晰的思维框架。尤其是一些标题涉及的“反问题”（Inverse Problems）部分，这往往是应用数学和物理学中最具挑战性也最富有趣味性的领域，期待作者能提供创新性的见解。这本书显然不是一本入门读物，更像是一本为研究生和资深研究人员准备的参考书，它强调的是理论的深度而非广度，这一点对于追求精确理解的读者来说是极大的吸引力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，初读下来，是一种近乎冷峻的、教科书式的精确。它极少使用比喻或修辞，所有的论述都建立在严格的数学推导之上。对于习惯了通俗科普读物的读者来说，一开始可能会感到有些吃力，需要集中全部注意力去跟上作者的节奏。然而，一旦适应了这种风格，你便会发现其魅力所在——每一个定理的引用，每一步证明的展开，都像是在精密机械的运作，无可挑剔。我注意到作者在处理不同类型方程（双曲、椭圆、混合型）时，所采用的分析工具和视角有着微妙但关键的差异，这体现了作者对这些方程物理本质理解的深刻性。对于那些希望在某个特定领域进行深入研究，并期望找到可靠理论支撑的研究者来说，这本书的这种“百科全书式”的严谨性无疑是宝贵的资产。

评分☆☆☆☆☆