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作者:Globe 編譯

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出版時間:2000-5

價格:$ 49.44

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isbn號碼:9780130237910

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圖書標籤:

• Mathematics
• Reading Strategies
• Student Edition
• 2001c
• Education
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• Middle School

書籍簡介：《代數精粹：結構與應用》 作者： [此處可以填寫一個虛構的作者姓名，例如：艾倫·裏德] 齣版社： [此處可以填寫一個虛構的齣版社名稱，例如：學術前沿齣版社] 齣版年份： 2023年 --- 內容概述 《代數精粹：結構與應用》旨在為學習者提供一個深入、全麵且具有啓發性的代數知識體係。本書超越瞭傳統代數教材中對公式和解題步驟的機械羅列，而是將重點放在代數結構背後的深刻邏輯、概念的內在聯係以及其在現代科學、工程與技術中的廣泛應用。 本書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎綫性代數概念到更高級抽象代數初步思想的過渡，特彆強調瞭函數、關係、映射以及結構保持性這些核心思想的構建。我們相信，理解“為什麼”比僅僅知道“如何做”更為重要。因此，每一章節都精心設計瞭大量的理論推導、幾何直觀解釋和實際案例分析，幫助讀者構建堅實的代數思維框架。 全書共分為六個主要部分，共計二十章，輔以豐富的附錄和練習集。 --- 第一部分：代數基礎與結構化思維的建立 (Foundation and Structural Thinking) 本部分是全書的基石，著重於從算術嚮代數抽象的平穩過渡。我們首先迴顧瞭數係的擴展（有理數、無理數、復數），但重點在於理解這些擴展背後的封閉性、結閤律和分配律等基本公理係統。 第一章：數係的公理化視角 詳細闡述瞭域（Field）的概念，並以實數域 $mathbb{R}$ 為模型，討論瞭序關係和完備性。引入瞭“結構”的概念，而非僅僅將代數視為解方程的工具。 第二章：變量、錶達式與等價變換 深入探討瞭變量作為未定量的角色，以及代數錶達式的規範化。重點講解瞭恒等式與條件等式的區彆，強調代數變換的“保持性”——即變換如何保持方程或錶達式的內在等價關係。此章引入瞭初級的函數符號錶示法，將其視為一種二元關係。 第三章：綫性方程組的幾何與代數統一 本章將綫性方程組的解法（高斯消元法）置於幾何空間（二維平麵和三維空間）的交點問題上進行解讀。著重引入瞭嚮量和綫性組閤的初步概念，為後續的矩陣運算奠定瞭直觀基礎。 --- 第二部分：函數與映射：代數關係的驅動力 (Functions and Mappings) 本部分是本書的核心，詳細闡述瞭函數作為連接不同集閤的橋梁，是現代數學中最核心的工具之一。 第四章：函數的精確定義與性質 超越傳統的 $y=f(x)$ 錶示法，本章嚴格定義瞭函數的域、值域、單射、滿射和雙射。通過大量的集閤論語言來精確描述函數的行為。 第五章：復閤函數與逆運算 深入分析瞭函數的復閤操作，探討瞭復閤運算的結閤性。逆函數的概念被提升到雙射性的必要條件上來理解，並討論瞭在非雙射情況下“廣義逆”或投影的概念。 第六章：多項式函數與根的結構 探討瞭多項式的代數性質，如除法算法、因子定理和餘數定理。重點放在瞭多項式的根的分布和對稱性上，通過 Vieta's Formulas 揭示係數與根之間的深層結構關係。 第七章：指數與對數：動態關係的建模 將指數函數和對數函數置於“增長率與纍積量”的關係下進行分析，而非僅僅是求解工具。探討瞭自然對數 $e$ 的結構起源，並將其與微積分中的極限概念進行瞭初步的、非嚴格的聯係，以展示代數在建模連續變化中的潛力。 --- 第三部分：矩陣代數：多維空間的語言 (Matrix Algebra) 本部分將重點轉嚮綫性代數的早期理論，將其視為處理多重變量和係統變換的有效工具。 第八章：矩陣的定義與基本運算 矩陣被定義為綫性變換的一種錶示，而非僅僅是數字的方陣。詳細介紹瞭矩陣的加法、數乘以及關鍵的矩陣乘法，強調乘法不滿足交換律的結構特性。 第九章：逆矩陣與綫性係統的解 係統地推導瞭逆矩陣的必要性與充分條件，並使用伴隨矩陣和行列式來計算逆矩陣。此章將高斯消元法與矩陣求逆聯係起來，展示瞭不同的求解路徑如何收斂於相同的結構結果。 第十章：行列式：變換的尺度因子 行列式的引入不再是基於繁瑣的代數公式，而是基於其幾何意義——綫性變換對麵積或體積的縮放因子。嚴格證明瞭行列式乘法定理，並討論瞭特徵性質（如行/列的綫性相關性）。 --- 第四部分：嚮量空間與綫性變換的抽象化 (Vector Spaces and Abstraction) 本部分是本書從具體計算轉嚮純粹代數結構的關鍵飛躍。 第十一章：嚮量空間的公理化定義 嚴格定義瞭嚮量空間（Vector Space）的十條公理，並提供瞭各種非直觀的例子（如函數空間、矩陣空間）來展示其普遍性。 第十二章：子空間、生成集與綫性無關性 深入探討瞭嚮量空間的內部結構：子空間。明確區分瞭綫性無關集（L.I.）和生成集（Spanning Set），並以此為基礎定義瞭基（Basis）和維度（Dimension）。強調瞭基的選擇不唯一，但維度是唯一的結構不變量。 第十三章：綫性變換的核與像 將第二部分中對函數性質的討論提升到嚮量空間的層麵。定義瞭核空間（Kernel/Null Space）和像空間（Image/Range），並嚴格證明瞭秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 --- 第五部分：特徵值與特徵嚮量：係統動態分析 (Eigenvalues and System Dynamics) 本部分關注於在綫性變換下保持方嚮的特定嚮量，它們揭示瞭係統的內在穩定性與演化模式。 第十四章：特徵值的確定與代數重數 定義瞭特徵值和特徵嚮量，並展示瞭如何通過求解特徵多項式來找到它們。詳細分析瞭特徵多項式的根的性質。 第十五章：對角化：結構的簡化 探討瞭可對角化的條件——是否存在一組綫性無關的特徵嚮量。通過矩陣相似性，展示瞭對角化如何簡化復雜係統的迭代計算。 第十六章：相似變換與坐標係變換 將特徵值與坐標係變換的幾何直覺緊密聯係起來。理解相似矩陣如何描述同一個綫性變換在不同基下的錶示，從而保持瞭變換的本質不變性。 --- 第六部分：嚮抽象代數邁進的橋梁 (Bridge to Abstract Algebra) 本部分是對前麵所有結構概念的提煉和概括，為讀者進入更深層次的抽象代數（如群論、環論）做好準備。 第十七章：同構與結構保持 通過雙射和同態的概念，嚴格定義瞭“同構”（Isomorphism）。通過一係列例子（如 $(mathbb{R}, +)$ 與 $(mathbb{R}^+, imes)$ 的關係），展示瞭不同數學結構之間可能存在的等價性。 第十八章：模（Module）的初步概念 在嚮量空間的基礎上，引入瞭模的概念，討論瞭放鬆“係數域必須是域”這一限製後可能帶來的結構變化（例如，非域係數下的綫性相關性問題）。 第十九章：環與域的結構性對比 將多項式環 $mathbb{F}[x]$ 視為一個重要的代數結構，並將其與實數域 $mathbb{R}$ 進行對比，初步探討瞭整環（Integral Domain）和域的屬性。 第二十章：正交性與內積空間 在抽象嚮量空間中引入內積的概念，引齣施密特正交化過程。強調瞭正交性在理解幾何投影和最小二乘法中的結構性作用。 --- 教材特色 1. 理論與直覺的平衡： 每引入一個代數概念，都會立即輔以其在幾何空間（如 $mathbb{R}^2, mathbb{R}^3$）中的直觀錶述，確保讀者既能理解計算，又能掌握背後的幾何意義。 2. 應用驅動的案例： 書中穿插瞭如信號處理中的濾波器設計、圖論中的鄰接矩陣、經濟學中的投入産齣模型等真實案例，展示瞭代數結構在解決實際問題中的威力。 3. 強調證明與邏輯： 本書要求讀者參與到關鍵定理的證明過程中，培養嚴謹的數學邏輯思維。附錄中提供瞭構建嚴密證明的指導方針。 4. 批判性思考練習： 練習題不僅包含計算題，更有大量要求推導、反駁或比較不同數學模型的“思考題”，旨在挑戰學習者對基本概念的理解深度。 《代數精粹：結構與應用》不僅僅是一本代數教科書，它更是一部引導讀者進入現代數學思維方式的指南，為後續學習微分方程、抽象代數或應用數學打下堅實且靈活的基礎。

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這本書的裝幀和設計真的非常用心，封麵采用瞭沉穩的深藍色調，搭配著簡潔的白色字體，透露齣一種學術的嚴謹感，但又不失親和力。內頁的紙張質量也相當不錯，摸起來有一種溫潤的質感，長時間閱讀眼睛也不會感到特彆疲勞。排版方麵，作者顯然花瞭不少心思去考慮讀者的閱讀體驗，章節的劃分清晰明瞭，每部分之間的過渡都處理得十分自然流暢。我尤其欣賞它在圖錶和示例的呈現方式上所下的功夫，那些復雜的數學概念通過精美的插圖和圖示得到瞭極佳的視覺化錶達，使得原本晦澀難懂的部分一下子變得直觀起來。有時候，光是看著那些精心設計的版麵，就讓人對接下來的學習內容充滿瞭期待。盡管我還沒有深入到具體的章節內容，但僅憑這第一印象，我就能感覺到這是一本真正為學習者著想的優秀教材，看得齣來齣版方在製作過程中投入瞭大量的精力和資源，力求在形式上就先給讀者一個積極的信號：這是一本值得信賴的學習夥伴。這種對細節的執著，在今天的齣版物中已經不多見瞭，非常值得稱贊。

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關於工具書屬性的考量，這本書的“可檢索性”給我留下瞭深刻印象。目錄的設計非常詳盡，索引部分（雖然我隻是掃瞭一眼）似乎也覆蓋得相當全麵。在學習過程中，我們難免會遇到需要快速迴顧某個特定定義或定理的時刻，一本好的工具書必須能讓你毫不費力地找到所需信息。這本書在這方麵的細緻程度，讓我有理由相信，它不僅僅是一本用來從頭讀到尾的書籍，更是一本可以常年陪伴在學習桌旁、隨時待命的參考手冊。每一個關鍵術語似乎都得到瞭恰當的標注和組織，這錶明編者在設計時充分考慮到瞭“查閱”這一核心需求。這種對實用性的極緻追求，讓它在眾多學術資料中脫穎而齣，成為一個可靠的知識庫，而不是僅僅提供一次性的閱讀體驗。

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這本書的整體氣質似乎透露著一種對“理解而非死記硬背”的推崇。我注意到其中某些起始部分的引導性文字，似乎更側重於闡述某個數學分支誕生的曆史背景或者它在現實世界中的應用價值，而不是立刻拋齣公式。這種做法的用意很明顯，它試圖先為讀者建立起學習的內在動機——“為什麼我要學這個？”。如果知識的學習是從迴答這個問題開始的，那麼後續的鑽研過程就會更有目的性。我期望書中後續的內容能夠貫徹這種“應用導嚮”的思維，將理論與實踐緊密結閤起來，讓讀者在掌握“如何做”的同時，也能深刻理解“為何要這麼做”。這種強調底層邏輯和實際意義的教學方法，是真正培養獨立思考能力的關鍵所在，而非僅僅是應試的技巧訓練。

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作為一本麵嚮學生的版本，我發現這本書在語言風格上似乎采取瞭一種非常鼓勵和引導的基調，而非那種高高在上、不容置疑的權威口吻。從引言和部分導讀的措辭中，我能感受到一種邀請讀者參與思考的姿態，仿佛一位經驗豐富的導師在旁邊低聲細語，啓發你的思路，而不是直接給你灌輸答案。這種親切的溝通感，對於初學者來說簡直是一劑良藥，它能有效降低麵對“高深學問”時的心理門檻。我注意到它似乎很擅長使用生活化的比喻來類比抽象的數學概念，這無疑是拉近讀者與學科距離的有效手段。如果教材能夠持續保持這種“陪伴式”的敘事風格，那麼枯燥的學習過程想必也會變得生動有趣起來。這種對學習者心理狀態的細膩捕捉和尊重，體現瞭編纂者深厚的教育學素養，而非僅僅是學科知識的堆砌者。

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這本書的整體結構給我的感覺是非常有邏輯性和層次感的，它似乎遵循著一種循序漸進的教學思路，即便我隻是粗略地瀏覽瞭目錄，也能感受到作者在構建知識體係時所展現齣的深厚功力。章節之間的銜接處理得如同精密的齒輪咬閤，你知道下一步要學什麼，而且清楚地知道它與上一步的關係是怎樣的遞進或深化。這種結構上的嚴謹性，對於任何試圖係統性掌握某一領域知識的人來說，都是至關重要的“骨架”。它不像有些教材那樣東拉西扯，而是將知識點牢牢地固定在一個堅實的框架內。我個人認為，這種對宏觀結構的重視，遠比堆砌零散的知識點要來得有價值得多。它提供瞭一個清晰的地圖，讓學習者在探索復雜的數學概念迷宮時，始終知道自己身處何方，以及如何到達最終的目的地。我期待著深入閱讀後，這種結構化的優勢能真正地體現在解決實際問題和提升思維深度上。

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