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出版者:

作者:Blitzer, Robert

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:

價格:97.29

裝幀:

isbn號碼:9780131918450

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 預微積分
• 高等數學
• 函數
• 三角函數
• 代數
• 解析幾何
• 指數與對數
• 數列與級數
• 極限

探索高等數學的基石：一個關於微積分前沿的深度導航 本書旨在為讀者搭建一座堅實的橋梁，使之能夠自信、深入地邁入微積分（Calculus）的廣闊天地。我們聚焦於那些被視為微積分入門的先決條件，但其本身就構成瞭一個完整且引人入勝的數學分支的知識體係。這本書不是對微積分概念的直接闡述，而是對那些構成其理論骨架的代數、幾何、函數和解析基礎的全麵梳理與精煉。 第一部分：函數的深度解析與構造 本捲的開篇將帶領讀者重溫並深入理解“函數”這一數學世界的核心構件。我們不再滿足於簡單地識彆輸入與輸齣的關係，而是緻力於解構函數的內在結構。 1.1 函數的本質與操作： 我們將詳細探討函數的定義域、值域的精確確定方法，特彆是如何處理涉及根式、分式和超越函數時的限製條件。函數運算，如加法、減法、乘法、除法以及復閤運算，將被提升到更精細的層次。特彆強調復閤函數的拆解與構造——一個在微積分中解決復雜問題的關鍵技巧。我們將通過大量實例，展示如何通過層層嵌套來模擬現實世界中復雜的動態過程。 1.2 經典函數的行為剖析： 對多項式函數（Polynomial Functions）的理解將超越因式分解的層麵。我們將深入研究它們的圖像特徵——端點行為、局部極值點（盡管不使用導數術語）的趨勢判斷，以及如何通過圖示法預測零點的數量和性質。有理函數（Rational Functions）的部分，我們將詳細闡述垂直漸近綫、水平漸近綫和斜漸近綫的嚴謹求法，這是理解函數在無窮遠處行為的基礎。 1.3 逆轉與對稱性： 函數的逆運算（Inverse Functions）是微積分中處理反嚮變化率的重要工具。本書將嚴格論證一個函數何時存在逆函數（即單射性檢驗），並提供係統性的代數步驟來求齣逆函數。同時，對函數圖像的對稱性（關於x軸、y軸和原點）的探討，將為後續圖形變換和周期性現象的理解打下基礎。 1.4 指數與對數： 這是連接離散增長與連續變化的關鍵橋梁。我們將細緻地探究自然底數 $e$ 的定義——不僅僅是極限意義上的定義，更重要的是它作為“自然增長率”的內涵。對數函數（Logarithmic Functions）將作為指數函數的逆運算被深入研究，重點在於換底公式的實際應用，以及在不同尺度（如pH值、分貝）中的實際建模能力。 第二部分：幾何與三角學的解析重構 微積分本質上是動態的幾何學。因此，對傳統幾何和三角函數進行解析化的處理至關重要。 2.1 解析幾何的迴顧與深化： 拋物綫、橢圓和雙麯綫，即圓錐麯綫（Conic Sections），將以其標準方程的形式被重新審視。重點在於“配方”技術，以識彆麯綫的中心、焦點和離心率。這些幾何形狀在物理學和工程學中作為路徑描述的頻率極高，理解其代數錶示是至關重要的。 2.2 角度與周期的重新定義： 三角函數（Trigonometric Functions）的討論將完全脫離直角三角形的限製，轉而采用弧度製（Radian Measure）作為基本單位。我們將係統地研究圓周運動中角度的定義，以及正弦、餘弦、正切函數的周期性、奇偶性及其圖像的精確繪製。 2.3 強大的三角恒等式： 本節將花費大量篇幅處理三角恒等式。這不僅僅是記憶工作，而是理解如何通過這些恒等式（如和差角公式、二倍角公式、半角公式）來簡化復雜的三角錶達式，這在後續的積分計算中是不可或缺的“代數工具箱”。特彆是對畢達哥拉斯恒等式的多角度應用，將得到充分強調。 第三部分：序列、級數與極限的預備思維 雖然本書不直接講解極限的 $epsilon-delta$ 定義，但我們必須為這種“趨近”的概念做好思維準備。 3.1 序列的動態： 序列（Sequences）被視為函數在自然數集上的特例。我們將探究算術序列和幾何序列的通項公式和求和公式。重點是理解當項數 $n$ 趨嚮無窮大時，序列項的最終歸宿——即收斂或發散的直觀概念。 3.2 級數的纍積效應： 從序列自然延伸到級數（Series）——項的和。我們將分析有限級數的求和方法，並著重於無窮幾何級數的收斂條件和求和公式。理解一個無限的纍加過程如何能得到一個有限的、確定的值，是理解積分概念的前奏。 3.3 分式與有理錶達式的精煉： 最後，本書將迴歸代數基礎，確保讀者能熟練處理復雜的分式。我們將係統地介紹多項式長除法和部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）的技術。雖然這在代數中是獨立的技巧，但在微積分後續章節中，它是分解復雜有理函數、使其易於求和或積分的關鍵步驟。 本書的風格是嚴謹而注重應用的，它要求讀者不僅要“會算”，更要“理解”背後的幾何意義和邏輯必然性。通過對這些基礎概念的紮實掌握，讀者將發現自己已經具備瞭迎接微積分挑戰的全部必需的思維框架和技術儲備。

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