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出版者:

作者:Travis, Betty

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2008-8

价格:$ 31.58

装帧:

isbn号码:9780738601748

丛书系列:

图书标签:

CLEP
Precalculus
数学
考试准备
大学预科
代数
三角学
函数
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具体描述

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深入探索高等数学的基石：代数、几何与微积分的桥梁本书特色：本书聚焦于构建扎实的代数基础，探索平面与立体几何的精髓，并为微积分学习铺设关键的预备知识。我们摒弃了对特定标准化考试（如CLEP）的直接准备，而是致力于提供一个全面、深入且富有启发性的高等代数与三角学学习体验。 --- 第一部分：复习与深化——代数体系的重建与提升本部分旨在巩固学习者在基础代数中学到的概念，并将其提升至大学预备的深度和广度。我们着重于结构、函数关系以及方程组的系统化解法。第一章：实数系统与复数基础本章首先对实数系统进行严谨的回顾，包括数的域、不等式的性质及其在数轴上的几何表示。重点将放在区间表示法、绝对值的代数和几何意义上。关键内容深化： 1. 有理数与无理数：对实数集的稠密性进行讨论，并介绍超越数（如 $pi$ 和 $e$）的直观概念。 2. 指数与对数：详尽阐述指数定律，并严格推导对数函数的定义及其运算法则。特别关注自然对数 $ln(x)$ 的重要性及其在增长率模型中的应用。 3. 复数代数：引入复数的标准形式 $a+bi$，进行加减乘除运算。深入探讨复数的几何表示（复平面），并初步接触共轭复数和模的概念，为后续的旋转和欧拉公式奠定基础。第二章：多项式与有理函数——结构与行为分析本章的核心在于理解多项式的内在结构及其在函数图谱上表现出的局部和全局行为。 1. 多项式运算与因式分解：超越基础的十字相乘法，深入探讨因子定理、余数定理。重点教授分组分解法、使用有理根定理寻找潜在根，以及通过长除法和综合除法进行多项式除法。 2. 高次方程求解：探讨如何利用这些工具来确定多项式的实根和复根。讨论多重根的概念及其对图谱的影响。 3. 有理函数分析：详细讲解如何分析有理函数的图像特征，包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线（斜渐近线需要通过多项式除法得出）。理解函数在无穷远处的趋近行为。第三章：函数——关系的核心概念函数是贯穿整个高等数学的主线。本章将函数视为一种抽象的数学模型，用以描述变量间的依赖关系。 1. 函数定义与表示法：强调定义域、值域的确定性过程。通过表格、图形、解析式三种方式全方位理解函数。 2. 函数的变换与组合：深入研究函数的平移、伸缩、反射等几何变换，并讲解复合函数 $f(g(x))$ 的运算及其意义。理解函数逆运算的概念，但不深入讨论其存在性条件（留给微积分）。 3. 特殊函数族：详细分析线性函数、二次函数（配方法求解顶点），以及幂函数 $y=x^n$ 在不同指数 $n$ 下的图像差异。 --- 第二部分：几何的深度与三角学的统一本部分将代数的工具应用于空间和角度的测量，构建连接直线、曲线与角度测量的桥梁。第四章：解析几何基础——笛卡尔坐标系的威力解析几何是将代数方程可视化、将几何问题代数化的强大工具。 1. 直线方程的精炼：掌握点斜式、斜截式、一般式的相互转换。重点分析斜率在实际问题中的物理意义（如变化率的初步概念）。 2. 距离、中点与圆：严格推导两点间的距离公式。圆的标准的中心-半径形式的推导，并探讨一般二次方程如何能代表一个圆。 3. 二次曲线导论：简要介绍椭圆和双曲线的定义（基于距离的定义），而非直接从标准方程入手，强调其几何构建过程。第五章：三角学的核心——角度、圆与周期性本章是连接代数与周期现象的枢纽，侧重于角度的测量系统和三角函数的周期性。 1. 弧度制与角度转换：强调弧度制（Radials）作为自然角度单位的重要性，并明确其与圆周长的关系。 2. 三角函数的基本定义：在直角三角形内定义正弦、余弦、正切。随后，将这些定义扩展到单位圆上，以覆盖所有实数角度，包括零和负角。 3. 特殊角的三角函数值：通过几何推理（如30-60-90和45-45-90三角形）推导出关键角度的精确值，并利用对称性扩展至所有象限。 4. 三角函数的图像与周期性：详细绘制 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的图像，明确其基本周期 $2pi$。分析振幅、周期和相移对图像的影响。第六章：三角恒等式与方程的求解三角恒等式是简化复杂三角表达式的“代数工具”。 1. 基本恒等式与毕达哥拉斯恒等式：严格证明 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 的推导过程，并在此基础上推导出其他两种形式的毕达哥拉斯恒等式。 2. 和角与差角公式：推导 $sin(alpha pm eta)$ 和 $cos(alpha pm eta)$ 的公式，并演示如何利用这些公式求出 $ an$ 的和差公式。 3. 二倍角与半角公式：展示如何从和角公式推导出二倍角公式，并探讨半角公式在简化根式中的应用。 4. 三角方程的求解：学习如何利用恒等式将复杂的三角方程简化为基本形式，并求解出在给定区间内的所有解。 --- 第三部分：数列、极限思维与高等数学的门槛本部分将视角从单一函数拓展到一系列有序的数，引入了关于“无限”和“趋近”的初步概念，这是微积分思想的萌芽。第七章：序列与级数——无限的累加 1. 数列的定义与表示：区分显式公式和递归公式。着重分析等差数列和等比数列的通项公式及其求和公式。 2. 无限级数概念：引入 $sum$ 求和符号。探讨无限等比级数的收敛性条件——公比的绝对值必须小于1。计算这类级数的和，体会“无限求和”的有限结果。 3. 二项式定理：详细推导二项式定理 $sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} a^{n-k} b^k$，并讨论二项式系数的组合意义 $inom{n}{k}$ 的计算方法。第八章：极限的直观理解与初步应用本章不追求微积分中极限的 $epsilon-delta$ 严格证明，而是通过图形和数值逼近来建立对“极限”概念的直观掌握。 1. 趋近的概念：利用函数图像，直观展示当 $x$ 趋近于某个常数 $c$ 时，$f(x)$ 的值趋向于哪个数值 $L$。 2. 单侧极限：区分从左侧和从右侧趋近时的不同表现，理解极限不存在的常见情况（如跳跃点）。 3. 无穷处的极限：探讨当 $x o pm infty$ 时，函数行为的趋势，这与有理函数的水平渐近线分析相呼应。 4. 连续性的几何解释：基于极限概念，非正式地定义函数在某点的连续性——“无需抬笔即可画出其图像”。总结：本书提供了一个结构清晰、逻辑严密的数学探险之旅。它不仅教授解题技巧，更重要的是培养学习者对函数关系、几何结构以及变化率（通过三角函数和序列）的深刻理解，为未来在科学、工程或经济学领域中对更复杂数学工具的学习做好充分的准备。每章末尾均附有详尽的习题集，旨在巩固概念并训练逻辑推理能力。