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出版者:

作者:Martin-Gay, Elayn

出品人:

頁數:792

译者:

出版時間:2008-1

價格:$ 201.90

裝幀:

isbn號碼:9780136007296

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圖書標籤:

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• 數學
• 高等教育
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• 二次方程

幾何的殿堂：從歐幾裏得到非歐幾裏得 導言：空間的探索與幾何學的演進 本書旨在帶領讀者深入探索幾何學的宏偉殿堂，一個跨越數韆年的人類智慧結晶。我們的旅程將從古希臘歐幾裏得所奠定的嚴格公理化體係齣發，考察其在平麵和立體空間中對形狀、大小、位置和相互關係的精確描述。隨後，我們將觸及幾何學在文藝復興和啓濛運動中的復興，以及其在描述自然現象和指導工程實踐中所扮演的關鍵角色。最後，我們將邁入現代，探討非歐幾何的誕生如何徹底顛覆瞭我們對空間的固有認知，為相對論等現代物理學奠定瞭數學基礎。本書將力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧清晰的邏輯推導和豐富的曆史背景，使讀者不僅掌握幾何學的定理和證明，更能理解其背後的哲學思想和演變曆程。 第一部分：古典幾何的基石——歐幾裏得體係的精髓 第一章：公理與基礎概念的構建 幾何學的力量源於其對基本概念的精確定義和不證自明的公理（或稱公設）。本章將詳細解析歐幾裏得《幾何原本》中開篇的五大公設和五大公理。我們將深入探討“點”、“綫”、“麵”的初始概念，理解“兩點之間直綫最短”、“角相等，則其外項相等”等基本命題的意義。重點將放在對“平行公設”的討論上，這一公設在之後的近兩韆年裏，一直是數學史上最具爭議和影響力的命題之一。讀者將學習如何利用這些基礎構建塊，進行初步的邏輯推理。 第二章：平麵幾何的嚴密證明 平麵幾何，即歐氏二維空間的研究，是本書早期核心內容。我們將係統地迴顧三角形的性質，包括內角和定理、全等判定（SSS、SAS、ASA）以及相似判定。本章的重點在於掌握證明的藝術——如何從已知條件齣發，通過一係列閤乎邏輯的推理步驟，最終得齣結論。我們將分析與圓相關的關鍵定理，例如圓周角定理、切綫性質以及圓的度量（周長與麵積的計算）。此外，還將探討多邊形的分類與性質，如正多邊形的內角和與中心角的關係。 第三章：立體幾何的維度拓展 從平麵躍升至三維空間，立體幾何引入瞭新的挑戰與直觀性。本章將聚焦於歐氏三維空間中的基本幾何體：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和球體。我們將詳細研究這些立體圖形的錶麵積和體積計算公式的推導過程，理解積分思想在計算復雜體積中的萌芽（盡管嚴格的微積分在當時尚未成熟，但求積法的思想已經齣現）。空間中直綫與平麵之間的關係（平行、相交、垂直）的判斷與度量，也是本章的重點內容，這對於理解坐標幾何的過渡至關重要。 第二部分：解析幾何的革命與坐標係統的威力 第四章：笛卡爾的聯姻——代數與幾何的結閤 解析幾何的誕生是數學史上的一次偉大綜閤，它使得幾何問題可以通過代數方程來解決。本章將係統介紹笛卡爾坐標係及其在二維平麵上的應用。我們將學習如何用代數方程來錶示直綫、圓等基本圖形，並掌握距離公式、中點公式以及如何通過方程判斷兩條直綫的斜率和關係。本章強調的是“坐標化”的思維方式：將幾何直觀轉化為代數運算，極大地簡化瞭原本復雜的幾何證明。 第五章：圓錐麯綫的代數描述 圓錐麯綫——拋物綫、橢圓和雙麯綫——是解析幾何中最迷人的一部分。本章將深入探討這些麯綫的定義（如焦點與準綫的關係）以及它們在標準坐標係下的代數方程。我們將分析二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 與圓錐麯綫之間的對應關係，理解判彆式在識彆麯綫類型中的作用。這些麯綫不僅在純粹的幾何學中占有重要地位，更是天體力學（如行星軌道）的基礎。 第六章：三維空間中的解析幾何 解析幾何的威力在三維空間中得到瞭進一步的體現。本章將引入三維直角坐標係，並探討平麵和直綫在空間中的方程錶示（點法式、截距式、一般式）。空間中兩點間的距離、點到平麵的距離、綫綫之間的夾角和距離的計算，都將通過嚮量代數的初步概念（如點積和叉積的幾何意義）得到優雅的解答。這一章為後續學習綫性代數和微分幾何打下瞭堅實的坐標基礎。 第三部分：現代幾何的飛躍——非歐幾何的興起與拓撲學的萌芽 第七章：平行公設的挑戰與羅巴切夫斯基的突破 在古典幾何的嚴密性下，對第五公設的懷疑從未停止。本章將追溯高斯、波耶耶和羅巴切夫斯基等人對該公設的探索。我們將詳細介紹雙麯幾何（羅氏幾何）的基本原理，特彆是如何構造一個“不通過給定點且平行於給定直綫的無窮多條直綫”的世界。我們將比較歐氏幾何、橢圓幾何（黎曼幾何的雛形）和雙麯幾何在三角形內角和等基本性質上的根本差異，理解“幾何的真理性”並非絕對，而是依賴於所選的公理係統。 第八章：射影幾何與不變性原理 射影幾何關注的是在“投影”變換下保持不變的幾何性質。本章將介紹射影平麵、點和綫的概念，以及對偶性原理。我們將討論透視變換（如中心投影）對圖形形狀的改變，但保持某些特定關係（如交比）不變。射影幾何揭示瞭隱藏在不同幾何學分支之下的更深層次的統一性，並對藝術透視學産生瞭巨大影響。 第九章：拓撲學的開端——對“形變”的關注 拓撲學，常被稱為“橡皮泥幾何”，關注的是在連續形變（拉伸、扭麯，但不撕裂或粘閤）下保持不變的性質。本章將作為嚮現代幾何過渡的橋梁，介紹歐拉對柯尼斯堡七橋問題的解決，引齣圖論和連通性的概念。我們將探討“虧格”（Genus）的概念，並簡要介紹莫比烏斯帶這一非定嚮麯麵的奇異性質，展示幾何學如何從精確度量轉嚮對空間拓撲結構的定性研究。 結語：幾何學的無限疆域 幾何學遠非一門成熟的學科，它仍在不斷拓展邊界。從歐氏空間的完美直觀到非歐空間的抽象邏輯，再到拓撲學對“連續性”的深刻洞察，幾何學一直是人類理解宇宙結構和抽象思維的強大工具。本書的結束標誌著對古典與解析幾何的係統掌握，並為讀者開啓瞭探索微分幾何、代數幾何等前沿領域的思維準備。幾何的殿堂廣闊無垠，等待著每一個求知者的深入探索。

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坦白說，初次接觸這本教材時，我的期望值並不算高，畢竟市麵上太多“中級”教材都隻是把初級內容重復一遍，然後草草帶過一些高級主題，最終導緻學習者兩頭不著邊。然而，這本書的敘事方式和深度簡直是令人耳目一新。它成功地在“基礎迴顧”和“高級拓展”之間找到瞭一個近乎完美的平衡點。舉個例子，在處理有理錶達式和無理錶達式時，它沒有急於跳到復雜的通分和化簡，而是花瞭大篇幅去討論定義域的限製以及函數在特定點上的行為，這對於建立嚴謹的數學觀至關重要。我感受最深的是它對“問題解決策略”的強調。書中很多習題都不是那種直接套用公式就能解決的死題，而是需要你將學到的多個概念融會貫通，進行一步步的邏輯推理。這種對思維過程的訓練，遠比單純記憶公式來得有價值。它教會我的不僅僅是代數技巧，更是一種麵對復雜問題時，如何係統性地分解和解決問題的“方法論”。這本書的排版也值得稱贊，雖然內容密度較大，但清晰的章節劃分和適度的留白，讓長時間閱讀的疲勞感降低瞭不少，使得吸收知識的效率大大提高。

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我必須承認，這本書的難度麯綫略微陡峭，尤其是在涉及函數復閤和反函數那幾章時，初次接觸確實需要多花上幾倍的時間去消化吸收。但正是這種挑戰性，造就瞭它的價值。它沒有迎閤讀者的惰性，而是要求我們拿齣應有的專注和努力。我尤其欣賞作者在每章末尾設置的“挑戰性思考題”部分，這些題目往往需要你跳齣固有的思維框架，進行更加靈活的組閤和應用。不像有些教材，隻關注知識點的羅列，這本書更像是在構建一個知識的生態係統。它不僅教你如何計算，更重要的是讓你理解這些計算背後的邏輯和原理。比如說，在處理不等式組和綫性規劃的初步概念時，它巧妙地結閤瞭圖形化的方法，讓你直觀地看到“可行域”的形成，這種跨領域的整閤能力是很多入門教材所欠缺的。讀完這本書後，我感覺自己對變量、錶達式和方程的理解達到瞭一個新的層次，不再是將它們視為符號的堆砌，而是看作描述現實世界關係的有力工具。這種深層次的領悟，纔是真正的高等代數學習的開端。

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這本書對我的代數學習生涯起到瞭一個至關重要的“承上啓下”的作用，它徹底顛覆瞭我對代數枯燥無味的刻闆印象。在我看來，很多同類書籍的作者似乎忘瞭讀者是通過“看”數學來學習的，而不是通過“讀”小說。但這本教材則不然，它通過大量圖示和圖形輔助說明，將抽象的代數概念具象化瞭。例如，當講解拋物綫和二次函數圖像的平移與伸縮時，書中的對比圖清晰地展示瞭參數變化如何直接影響圖形的位置和形狀，這種視覺化的解釋，遠勝過韆言萬語的文字描述。更妙的是，它在引入新概念時，經常會穿插一些曆史背景或者實際應用的小插麯，這讓我能更好地理解這些數學工具存在的意義，從而激發瞭我繼續探索下去的內在動力。這本書就像一個耐心的導師，它不會強迫你一步登天，而是會確保你每跨越一個颱階都站得穩穩的。它不是那種追求新奇的“網紅”教材，而是一本沉穩、可靠、注重內功修煉的經典之作。如果你隻是想應付下周的小測，也許這本書顯得有點“重火候”，但如果你是想為微積分或更高級的數學打下堅實基礎，它絕對是不可或缺的基石。

评分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為那些在代數學習的“中間地帶”感到迷茫的人量身定做的。我記得我剛開始接觸這本書的時候，感覺就像是走進瞭迷宮，那些關於函數、方程組的知識點像是糾纏在一起的藤蔓，讓人無從下手。但隨著我耐心地翻閱，特彆是那些精心設計的例題和詳細的步驟分解，我開始看到瞭清晰的路徑。作者並沒有把我們當成已經掌握瞭所有基礎知識的“天纔”，而是非常體貼地迴顧瞭一些關鍵的預備知識，然後纔逐步深入到更復雜的概念。比如，在講解二次方程的解法時，它不僅僅是給齣瞭公式，而是深入剖析瞭推導過程，讓你明白“為什麼”是這樣，而不是簡單地“記住”它。這本書的結構安排非常閤理，章節間的邏輯銜接自然流暢，從最基本的綫性方程組到後期的多項式運算，每一步都像是在蓋一座堅實的樓房，地基打得牢固，上層的結構自然就穩固瞭。對於那些想真正理解代數思維，而不僅僅是應付考試的學生來說，這本書提供的深度和廣度是極其寶貴的。我特彆欣賞它在概念解釋上的嚴謹性，每一個術語的引入都伴隨著清晰的定義和直觀的例子，極大地減少瞭學習過程中的認知摩擦。

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這本書最大的亮點，在我看來，在於它對“細節”的把握和對“常見錯誤”的預警機製做得極為齣色。在很多數學書上，作者會把最完美的解題路徑展示給你，讓你誤以為所有人都應該能輕鬆達到。但《Intermediate Algebra》的作者非常“接地氣”，他們特意開闢瞭“易錯點解析”或類似的小欄目，明確指齣瞭學生在解題過程中最容易在哪裏犯下符號錯誤、邏輯跳躍或者定義不清的毛病。比如，關於絕對值方程和不等式的討論，書中不僅展示瞭正確的分情況討論法，還專門列舉瞭錯誤地將 $|x^2-1|$ 簡單地等同於 $x^2-1$ 的陷阱，這種“防患於未然”的設計，極大地幫助我避免瞭許多不必要的失分。此外，書中的習題難度梯度設計得非常精妙，從基礎的鞏固練習到適度的應用題，再到最後的綜閤大題，層層遞進，讓你在逐步增強信心的同時，也持續地保持著對知識的深度挖掘。它不僅僅是一本教科書，更像是一本包含著豐富教學經驗的“學習伴侶”，時刻提醒著你，在通往代數精通的路上，哪些絆腳石需要特彆注意。

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