Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Mishura, Yuliya

出品人:

页数:420

译者:

出版时间:2008-1

价格:$ 90.34

装帧:

isbn号码:9783540758723

丛书系列:

图书标签:

金融数学
Stochastic Calculus
Fractional Brownian Motion
Stochastic Processes
Mathematical Finance
Probability Theory
Partial Differential Equations
Martingale Theory
Rough Paths
Stochastic Analysis
Time Series Analysis

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具体描述

This volume examines the theory of fractional Brownian motion and other long-memory processes. Interesting topics for PhD students and specialists in probability theory, stochastic analysis and financial mathematics demonstrate the modern level of this field. It proves that the market with stock guided by the mixed model is arbitrage-free without any restriction on the dependence of the components and deduces different forms of the Black-Scholes equation for fractional market.

深入探索随机过程的现代视角：从经典理论到前沿应用本书旨在为读者提供一个全面而深入的随机过程理论框架，侧重于其在数学、金融、物理以及工程领域中的应用与挑战。我们避开对特定专业领域（如分数布朗运动）的深入探讨，而是构建一个坚实的基础，使读者能够理解和掌握随机过程分析的核心工具和前沿进展。全书结构清晰，逻辑严谨，力求在严谨的数学基础上展现随机过程的强大建模能力。第一部分：概率论基础与鞅论的重建本书的开篇回顾了构建随机过程理论所必需的概率论基础。我们从测度论出发，重申了概率空间、随机变量和期望的严格定义。这一部分并非简单的复述，而是以一种更强调“动态演化”的角度来审视概率结构，为后续的随机分析打下坚实的测度论基础。随后，我们将重点介绍鞅（Martingale）理论。鞅论是随机分析的基石，它提供了在信息不断增加的情况下，对未来期望值进行无偏预测的数学工具。我们详细探讨了停时（Stopping Time）的概念及其重要性，特别是可选停止定理（Optional Stopping Theorem）在金融定价和最优控制问题中的作用。通过多个精心设计的例子，读者将体会到鞅的“公平性”内涵，理解其在不同概率测度下（包括风险中性测度）的行为差异。此外，我们还将深入分析次鞅和上鞅，探讨它们在证明收敛性，例如均匀可积性（Uniform Integrability）和一致收敛性时的关键角色。第二部分：连续时间随机分析的核心工具在建立了鞅论的背景后，本书转向连续时间随机过程的核心——伊藤积分（Itô Integral）的构建。我们首先从经典勒贝格-斯蒂尔切斯积分的局限性入手，引出随机积分的必要性。伊藤积分的构造将是本篇的重点，我们将通过规范逼近和序列的极限来严格定义它，并详细推导其最关键的性质——伊藤等距性质（Itô Isometry）。这一性质不仅是证明积分存在性的关键，也是计算随机积分方差的基础。紧接着，本书将深入探讨伊藤引理（Itô's Lemma）。作为随机微积分的“链式法则”，伊藤引理的掌握是进行随机微分方程（SDE）分析的前提。我们不仅展示了其一维形式，还将推广到高维和更复杂的函数空间，并强调其在处理非光滑函数和随机噪声项时的不可替代性。第三部分：随机微分方程（SDE）的解法与存在性随机微分方程是描述自然界中受噪声影响的动态系统的主要数学语言。本部分致力于提供SDE解的存在性、唯一性及其性质的系统论述。我们首先讨论欧陆型SDE（Euclidean SDE），并引入格罗莫夫-科尔莫戈洛夫理论（Gromov-Kolmogorov Theorem）的简化版本，以阐明随机轨迹的连续性。在存在性方面，我们将详细分析皮卡-林德洛夫迭代法（Picard-Lindelöf Iteration）在随机环境下的推广，并证明在Lipschitz条件下解的唯一性。对于更一般的、非线性或系数依赖于路径的SDE，本书将引入半群理论（Semigroup Theory）和生成元（Infinitesimal Generator）的概念，将SDE的解与偏微分方程（PDE）联系起来。特别是，我们将探讨Feynman-Kac公式，它在连接随机路径与特定类型扩散过程的概率解和确定性PDE的解方面扮演了桥梁作用，这在金融衍生品定价理论中具有深远的实际意义。第四部分：随机过程的稳定性、收敛性与极限理论现代随机分析的另一个重要方向是研究随机系统的长期行为和统计特性。本部分将聚焦于随机过程的收敛性理论。我们详细介绍了依概率收敛（Convergence in Probability）、依平方平均收敛（Convergence in $L^2$）以及依分布收敛（Convergence in Distribution）之间的关系。这些收敛概念将应用于随机系统的稳态分析。核心内容包括中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）在随机过程中的推广，例如Donsker不变性原理（Invariance Principle）。我们通过讨论一系列的随机过程逼近（如从跳过程到连续过程的逼近），展示了如何将有限维随机变量的统计极限推广到无限维的函数空间上，为研究极端事件和渐进行为提供了严格的数学工具。第五部分：随机过程的应用拓展与高阶分析在基础理论之上，本书的最后一部分将探索随机过程在更复杂系统中的应用视角，并引入一些处理非马尔可夫性或非线性系统的工具。我们将讨论随机游走和扩散过程的统计物理学解释，着重于它们如何描述粒子在随机介质中的传输。此外，我们还将简要介绍鞅的平方变差（Quadratic Variation）概念及其在测度分解中的重要性。平方变差的精确计算是区分具有连续路径的随机过程（如布朗运动）与具有跳跃的随机过程（如泊松过程）的关键工具，并且是更高级随机分析的基础。本书的撰写风格注重数学的严谨性、论证的完备性，以及概念间的内在联系。我们力求通过详尽的推导和丰富的背景解释，使读者不仅掌握如何“使用”随机过程的工具，更能深刻理解这些工具背后的数学原理，从而为进一步研究和解决实际问题打下坚实的基础。本书适合具有扎实测度论和实分析背景的高年级本科生、研究生以及需要系统回顾和深入理解随机分析的科研人员。