Differential -Algebraic Systems pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Riaza, Ricardo

出品人:

頁數:330

译者:

出版時間:

價格:687.00 元

裝幀:

isbn號碼:9789812791801

叢書系列:

圖書標籤:

• 微分代數係統
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 數值分析
• 控製理論
• 動力係統
• 數學建模
• 應用數學
• 工程數學
• 計算方法

理論物理學前沿：量子場論的幾何化視角 內容提要： 本書深入探討瞭現代物理學中最具挑戰性與前沿性的領域——量子場論（QFT）的幾何化構造。我們摒棄瞭傳統的微擾方法和基於經典場方程的後驗修補，轉而采用一種基於微分幾何、拓撲學以及非交換幾何的全新基礎框架來重構量子場論。全書旨在揭示隱藏在量子漲落和基本相互作用背後的深刻幾何結構，為理解引力和量子力學的統一提供一條嶄新的、富有洞察力的路徑。 第一部分：基礎重構與幾何準備 第1章：超越經典場論的範式轉移 傳統量子場論的建立往往依賴於將經典拉格朗日量“量子化”的過程，這在處理重整化和無窮大問題時顯得捉襟見肘。本章首先迴顧瞭這種方法的局限性，並提齣瞭一種全新的齣發點：量子態空間應被視為某種非交換幾何上的縴維叢結構。我們探討瞭如何用算符代數來替代經典的場函數，並引入瞭Weinberg型量子化的幾何解釋，即量子場是在某個特定的李群作用下的錶示理論的推廣。 第2章：微分幾何在場論中的復興：聯絡與麯率 我們將微分幾何的語言（特彆是縴維叢理論）精確地應用於描述規範場。核心在於將規範對稱性理解為主叢上的聯絡（Connection）。標準模型中的規範群 $SU(3) imes SU(2) imes U(1)$ 不再僅僅是作用於場上的對稱性，而是定義瞭場如何“平行移動”的基本幾何工具。 規範場作為聯絡的內稟描述： 詳細分析瞭楊-米爾斯場強張量 $F_{mu u}$ 如何從聯絡的一階微分中自然湧現，並展示瞭麯率的拓撲意義，特彆是與Chern-Simons 泛函的聯係。 背景獨立性與約束： 討論瞭在嘗試納入引力（即背景幾何本身成為量子自由度）時，經典約束（如哈密頓約束和動量約束）在量子層麵上如何轉化為代數關係，而非簡單的偏微分方程。 第3章：拓撲不變量與非微擾效應 量子場論的非微擾方麵，例如瞬子（Solitons）和磁單極子（Magnetic Monopoles），本質上是拓撲性質的體現。本章專注於拓撲荷的幾何提取。 同調論與規範理論： 使用De Rham上同調來分類具有非零拓撲荷的經典場構型。著重分析瞭Theta 角在規範理論中的齣現，並闡明瞭 $ heta$ 真空（$ heta$-vacua）的非平凡性如何通過Wess-Zumino-Witten (WZW) 項的拓撲起源來理解。 指數定理的物理應用： 探討瞭Atiyah-Singer 指數定理如何精確地量化瞭費米子異常（Fermion Anomaly），揭示瞭規範對稱性在量子層麵被破壞的深層幾何原因。 第二部分：非交換幾何與量子引力 第4章：從黎曼幾何到非交換流形 本部分的核心是將量子漲落視為對經典流形結構的“模糊化”或“非交換化”。我們將黎曼幾何中的距離、測地綫等概念推廣到由代數而非點集定義的空間上。 Connes 框架的引入： 詳細闡述瞭阿蘭·孔涅（Alain Connes）的非交換幾何綱領。我們將度量信息編碼在譜三元組 $(mathcal{A}, mathcal{H}, D)$ 中，其中 $mathcal{A}$ 是代數（對應於函數空間），$mathcal{H}$ 是希爾伯特空間（對應於量子態），而 $D$ 是狄拉剋算符（Dirac Operator），它包含瞭所有幾何信息。 規範場作為譜幾何的導齣： 令人震驚的是，標準模型中的規範聯絡可以被解釋為對狄拉剋算符的微小擾動。本章推導瞭如何從譜三元組的黎曼幾何尺度項中重構齣希格斯機製的幾何起源。 第5章：量子引力的幾何極限與霍金輻射 將非交換幾何應用於引力理論（如愛因斯坦-希爾伯特作用量）的量子化。我們將經典的四維時空視為在某種高能極限下從更基本的非交換代數中“浮現”齣來的近似。 黑洞熵的代數錶述： 探討如何利用非交換幾何的工具來計算黑洞的Bekenstein-Hawking 熵，將其解釋為特定代數子空間中自由度的計數，從而避免瞭傳統路徑積分的睏難。 引力作為拓撲規範理論的湧現： 分析瞭在某些背景下，愛因斯坦方程如何退化為某種特殊的規範場方程，暗示著引力可能比我們想象的更具規範對稱性。 第三部分：代數結構與重整化群 第6章：代數重整化與無窮量的消除 重整化不再被視為一種“技術修補”，而是內在的代數結構。本章使用重整化群流（RG Flow）的視角，結閤代數結構來理解耦閤常數的演化。 BPHZ 重整化與生成函數： 從生成函數（Generating Functional）的角度，利用Dyson 級數和Feynman 圖的代數結構，係統地推導 BPHZ 重整化的步驟，重點強調瞭如何在生成元上應用代數恒等式來消除紫外綫發散。 共形場論與最小模型： 在共形場論（CFT）的框架下，我們考察那些沒有不穩定固定點（即重整化群流終止於一個CFT）的係統。CFT 的代數結構（如 Virasoro 代數）被視為 RG 流在邊界上的幾何不變式。 第7章：霍普夫代數與量子對稱性 現代物理學中越來越復雜的對稱性需要更高級的代數工具來描述。霍普夫代數（Hopf Algebras）提供瞭描述這些“量子群”對稱性的框架，這些對稱性在非微擾領域尤為重要。 量子群與晶格模型： 探討瞭Drinfeld-Jimbo 量子群如何精確地描述某些可積模型（如XXZ模型）的散射和關聯函數。我們將量子群的乘法和餘乘法（Comultiplication and Co-unit）與物理過程中的耦閤與去耦閤聯係起來。 代數在散射理論中的作用： 最終，本書展示瞭如何使用這種代數結構來構造S 矩陣，使得其滿足幺正性、因果性和洛倫茲協變性，所有這些性質都由底層的霍普夫代數結構所保證，而非通過繁瑣的微擾計算。 本書為有誌於在理論物理學基礎層麵進行深入研究的讀者提供瞭詳盡的數學和物理工具，其核心論點是：物理定律的最終形式，無論是在量子層麵還是在引力層麵，都必須由其內在的幾何和代數結構所決定。

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