Groups, Graphs and Trees pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Meier, John

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:2008-7

价格:$ 152.55

装帧:

isbn号码:9780521895453

丛书系列:

图书标签:

数学
Math
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图论
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具体描述

Presenting groups in a formal, abstract algebraic manner is both useful and powerful, yet it avoids a fascinating geometric perspective on group theory - which is also useful and powerful, particularly in the study of infinite groups. This 2008 book presents the modern, geometric approach to group theory, in an accessible and engaging approach to the subject. Topics include group actions, the construction of Cayley graphs, and connections to formal language theory and geometry. Theorems are balanced by specific examples such as Baumslag-Solitar groups, the Lamplighter group and Thompson's group. Only exposure to undergraduate-level abstract algebra is presumed, and from that base the core techniques and theorems are developed and recent research is explored. Exercises and figures throughout the text encourage the development of geometric intuition. Ideal for advanced undergraduates looking to deepen their understanding of groups, this book will also be of interest to graduate students and researchers as a gentle introduction to geometric group theory.

好的，以下是根据您的要求，为您撰写的关于一本名为《Groups, Graphs and Trees》的图书的简介，此简介将详细描述该书的内容，但不会包含任何您提供的原书名中的概念，并力求自然流畅，避免AI痕迹。 --- 《空间几何与拓扑学基础：从欧几里得到黎曼流形》导言：本书旨在为读者提供一套坚实而全面的空间几何与拓扑学基础，引领他们穿越从经典欧几里得几何的严谨性到现代微分几何中复杂流形结构的深刻变革。我们致力于构建一个连贯的知识体系，强调几何直觉与代数工具的深度融合。全书分为四个主要部分，层层递进，确保读者不仅理解核心概念，更能掌握其背后的深刻洞察力与应用潜力。本书面向具备微积分和线性代数基础的高年级本科生及研究生，是进入现代数学研究领域的理想敲门砖。第一部分：度量空间与基础拓扑本部分构建了理解“形状”和“邻近性”的语言。我们从最直观的欧几里得空间 ($mathbb{R}^n$) 开始，详细阐述了范数、内积以及拓扑学中的基本结构：开集、闭集、紧致性与连通性。基础概念的严谨化：我们将度量空间作为研究的起点，而非仅仅依赖于笛卡尔坐标系。这使得我们能够处理更广泛的对象，例如函数空间和概率空间中的拓扑结构。连续性与同胚：拓扑学关注的是那些在连续形变下保持不变的性质。我们深入探讨了连续函数的定义、紧致集在连续映射下的性质，并引入了同胚的概念，用以区分本质上不同的空间结构。完备性与收敛：完备度量空间（如巴拿赫空间）是泛函分析和偏微分方程的基石。本章详细分析了柯西序列、贝尔纲定理，并讨论了为什么完备性在解决许多迭代问题中至关重要。应用实例：简要介绍了这些拓扑概念在傅里叶分析和信号处理中的初步体现，例如序列的收敛区域分析。第二部分：微分几何的黎明：曲线与曲面在建立了基础拓扑框架后，我们转向在光滑流形上研究几何特性，聚焦于局部结构——即微分几何的核心领域。空间曲线的局部分析：详细分析了空间曲线的参数化、弧长、切向量、挠率和曲率。我们引入了Frenet-Serret 标架，展示了如何仅凭局部信息完全刻画平面曲线和空间曲线的形状。曲面的第一、第二基本形式：这是理解曲面弯曲程度的关键工具。我们定义了度量张量（第一基本形式），用以测量曲面上的长度和角度；随后引入了形算子和主曲率（第二基本形式），揭示曲面的局部内在几何。曲率的分类与高斯绝妙定理：重点阐述了高斯曲率这一内在不变量的概念。高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的证明是本部分的高潮，它揭示了曲率只依赖于曲面本身结构的信息，而与曲面嵌入的空间环境无关。我们对平面、球面、双曲面等经典曲面进行了细致的曲率计算与比较。测地线：作为测地线（最短路径）在弯曲空间中的自然延伸，我们推导了测地线的微分方程，并讨论了它们在航海和航空中的实际意义。第三部分：流形理论：从切空间到张量场本部分将前两部分的知识提升到更抽象、更具一般性的层面——微分流形。这是现代物理学（如广义相对论）和几何学研究的通用语言。光滑流形的构建：严格定义了光滑流形的结构，包括图集、坐标变换和光滑性要求。我们强调了流形是局部的欧几里得空间，但整体结构可以非常复杂。切空间与向量场：引入了切空间的概念，它是流形上每一点的“切平面”。我们展示了向量场如何作用于函数，并定义了向量场在坐标系变换下的协变性。张量分析基础：本章详细介绍了张量作为多重线性函数在流形上的一般推广，包括协变张量和反变张量。我们推导了协变导数的定义，这是在弯曲空间中定义微分运算的唯一一致方法，并解释了黎曼曲率张量如何衡量空间非平坦性的程度。积分和形式：引入微分形式（0-形式、1-形式、2-形式等），它们是张量分析在积分几何中的自然工具。我们阐述了楔积运算，并为下一部分的拓扑学联系打下基础。第四部分：同调与特征类：全局拓扑的代数视角本部分将视角从局部的微分结构转向全局的拓扑不变量，利用代数工具——同调论——来探测空间的“洞”和“孔洞”。奇异同调群：本章是本部分的核心。我们定义了单纯形、链复形，并导出了奇异同调群 ($H_n(X)$)。我们详细解释了同调群如何捕获空间的拓扑特征，例如，圆的第一个同调群是 $mathbb{Z}$，清晰地表示了一个“洞”。边界算子与精确性：深入分析了边界算子的性质以及由其导出的链复形的精确性条件，这是构造同调群的代数基础。德拉姆上同调与霍奇理论的桥梁：我们探讨了德拉姆上同调群，它由微分形式和德拉姆微分 $d$ 构成。我们证明了德拉姆定理，建立了德拉姆上同调与奇异同调之间的同构关系，这是微分几何和代数拓扑之间最深刻的连接之一。拓扑不变量的应用：讨论了庞加莱对偶性，以及如何利用这些代数不变量（如贝蒂数）来证明某些几何结构的不可能性（例如，不可能将球面上的向量场处处非零）。结语：本书的结构旨在引导读者从直观的欧几里得度量出发，逐步抽象化，最终掌握描述复杂空间（如黎曼流形）的几何语言和拓扑工具。掌握了这些概念，读者便能自信地进入微分拓扑、广义相对论、可微流形研究，乃至更高级的代数几何领域。本书的最终目标是培养读者以一种“全局思维”来看待空间结构的能力。