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出版者:

作者:Hewson, Stephen

出品人:

页数:660

译者:

出版时间:2009-1

价格:$ 124.30

装帧:

isbn号码:9789812834072

丛书系列:

图书标签:

数学
桥梁
数学史
数学普及
问题解决
数学思维
数学文化
数学教育
数学启蒙
趣味数学

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具体描述

Although higher mathematics is beautiful, natural and interconnected, to the uninitiated it can feel like an arbitrary mass of disconnected technical definitions, symbols, theorems and methods. An intellectual gulf needs to be crossed before a true, deep appreciation of mathematics can develop. This book bridges this mathematical gap. It focuses on the process of discovery as much as the content, leading the reader to a clear, intuitive understanding of how and why mathematics exists in the way it does. The narrative does not evolve along traditional subject lines: each topic develops from its simplest, intuitive starting point; complexity develops naturally via questions and extensions.Throughout, the book includes levels of explanation, discussion and passion rarely seen in traditional textbooks. The choice of material is similarly rich, ranging from number theory and the nature of mathematical thought to quantum mechanics and the history of mathematics. It rounds off with a selection of thought-provoking and stimulating exercises for the reader.

深入探索数学的广袤世界：解析几何、拓扑学与范畴论的交汇点本书将带领读者踏上一段穿越现代数学核心领域的壮阔旅程。我们将聚焦于三个在当代数学研究中占据举足轻重地位的分支——解析几何（Analytic Geometry）、拓扑学（Topology）以及范畴论（Category Theory）——它们并非孤立存在，而是在深层次上相互交织，共同构筑了理解现代数学结构的宏伟蓝图。本书旨在为具有扎实微积分和基础线性代数背景的读者提供一个清晰、深入且富有洞察力的视角，揭示这些领域如何相互启发、相互渗透，并为解决复杂问题提供强大的工具集。第一部分：解析几何的几何化重构与代数之光本部分将从经典的解析几何出发，但很快将其提升到一个更抽象、更现代的高度。我们不会仅仅停留在笛卡尔坐标系下的曲线与曲面的研究，而是深入探讨代数几何的萌芽阶段及其与微分几何的联系。 1.1 欧几里得空间的高维延伸与度量结构：我们首先回顾欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的度量和内积，但重点将转向这些概念如何推广到更一般的流形（Manifolds）上。我们将详细讨论黎曼几何的基础，介绍切空间（Tangent Space）的概念，以及如何利用度量张量（Metric Tensor）在局部定义距离、角度和曲率。 1.2 射影几何与复数域的融合：解析几何的强大工具之一是射影空间（Projective Space）。本书将探讨射影空间 $mathbb{P}^n$ 的拓扑结构，并引入复数域 $mathbb{C}$ 上的射影空间——复射影空间。在这里，我们开始感受到代数（多项式方程）与几何（空间结构）的紧密联系。我们将详细分析代数簇（Algebraic Varieties）的定义，理解它们是如何由一组多项式方程定义的几何对象。虽然我们不深入代数几何的全部技术细节，但会建立起理解其核心思想的桥梁：方程的解集具有深刻的几何性质。 1.3 局部与全局的张力：微积分在流形上的应用：经典微积分的工具，如微分和积分，如何在弯曲的空间上操作？我们将详细阐述微分形式（Differential Forms）和外微分（Exterior Differentiation）的结构。这是连接分析和拓扑的关键环节。通过德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的初步介绍，读者将看到积分（全局概念）如何与微分（局部概念）通过拓扑的视角联系起来。第二部分：拓扑学的本质洞察：形状的内在不变量拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的几何性质。本部分将系统地介绍代数拓扑的核心工具，这些工具能够“量化”空间的“洞”和“连通性”。 2.1 基础拓扑结构与连续性：从度量空间的紧致性、连通性开始，我们逐步过渡到更抽象的拓扑空间概念。本节将详细区分路径连通性（Path-Connectedness）和连通性（Connectedness），并引入紧致性（Compactness）在分析和几何中的重要性。 2.2 基本群：捕捉“洞”的第一个代数工具：基本群（Fundamental Group, $pi_1$）是代数拓扑中最直观的概念之一。我们将详细构造基本群，并展示它如何区分球面与环面（或咖啡杯与甜甜圈）。我们将讨论如何计算常见空间的 $pi_1$，并理解覆盖空间理论（Covering Space Theory）如何为基本群提供强大的计算框架。 2.3 同调理论：超越基本群的结构化计数：虽然基本群描述了“一维的洞”，但更高维度的洞需要同调群（Homology Groups）。本部分将专注于奇异同调（Singular Homology）的构建过程，包括链复形（Chain Complexes）、边界算子（Boundary Operators）和循环与边界的关系。读者将理解为什么这些群是拓扑不变量，并学习如何运用它们来证明经典的拓扑定理，例如欧拉示性数（Euler Characteristic）的几何意义。 2.4 纤维丛与流形的局部结构：为了将拓扑学应用于微分几何，我们需要纤维丛（Fiber Bundles）的概念。我们将讨论向量丛（Vector Bundles）和主丛（Principal Bundles），这些结构为在流形上定义张量场和联络（Connections）提供了必要的几何框架。第三部分：范畴论：统一数学语言的元理论范畴论（Category Theory）是现代数学的“元语言”，它提供了一种统一的、抽象的方式来描述数学结构之间的关系。本部分将展示如何用范畴论的视角来重新审视前两部分介绍的几何和拓扑概念。 3.1 范畴、函子与自然变换的基础：我们将从最基本的定义开始：什么是范畴（Category）、对象（Objects）和态射（Morphisms）。随后，我们将引入函子（Functors），它们是连接不同数学结构的“桥梁”，例如遗忘函子（Forgetful Functor）和几何范畴到代数范畴的映射。自然变换（Natural Transformations）则描述了函子之间的“结构保持”关系。 3.2 极限、余极限与构造的统一：范畴论的强大之处在于其强大的构造性语言。我们将深入探讨积（Products）、余积（Coproducts）、极限（Limits）和余极限（Colimits）。读者将发现，集合论中的笛卡尔积、拓扑学中的不交并（Wedge Sums）以及代数中的张量积，在范畴论中都可以被统一为对特定极限或余极限的描述。 3.3 函子间的桥梁：同构与等价：范畴论的核心目标是识别结构上的本质相似性。我们将区分同构（Isomorphism）和范畴等价（Equivalence of Categories）。理解范畴等价，特别是代数拓扑中的函子伴随（Adjoint Functors），将揭示例如“链复形范畴”与“链复形上同调群范畴”之间的深层联系。 3.4 范畴论在几何与拓扑中的应用：本部分将聚焦于如何将范畴论的工具“投射”回前两部分的主题。例如，阿贝尔范畴（Abelian Categories）的概念如何精确地捕捉了同调理论所需的基础结构；概形理论（Scheme Theory）如何利用范畴论的语言重新定义了代数几何的对象。读者将看到，范畴论并非抽象的玩物，而是理解不同数学分支之间深层同构性的关键。总结与展望本书的架构旨在展示解析几何提供的精确度量和局部结构信息，拓扑学提供的全局不变量视角，以及范畴论提供的抽象统一框架。通过这三者的对话，读者将不仅掌握各个领域的具体知识，更能理解现代数学研究中那些跨学科、高层次的思考模式。最终目标是培养一种“几何直觉”与“代数严谨性”相结合的数学思维，为进一步探索微分拓扑、代数拓扑的高级主题或更抽象的数学领域打下坚实的基础。