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出版者:

作者:Yang, Xin-she (EDT)

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:2008-6

价格:$ 98.00

装帧:

isbn号码:9789812818171

丛书系列:

图书标签:

数学
计算数学
数值分析
科学计算
数学建模
算法
离散数学
高等数学
计算机科学
数学软件
优化算法

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具体描述

This unique book provides a comprehensive introduction to computational mathematics, which forms an essential part of modern numerical algorithms and scientific computing. It uses a theorem-free approach with just the right balance between mathematics and numerical algorithms. It covers all major topics in computational mathematics with a wide range of carefully selected numerical algorithms, ranging from the root-finding algorithms, numerical integration, numerical methods of partial differential equations, finite element methods, optimization algorithms, stochastic models, to nonlinear curve-fitting and swarm optimization. Especially suitable for undergraduates and graduates in computational mathematics, numerical algorithms, and scientific computing, it can be used as a textbook and/or reference book.

Contents:Mathematical Foundations; Algorithmic Complexity; Ordinary Differential Equations; Partial Differential Equations; Roots of Nonlinear Equations; Numerical Integration; Computational Linear Algebra; Interpolation; Finite Difference Methods for ODEs; Finite Difference Methods for PDEs; Finite Volume Method; Finite Element Method; Mathematical Optimization; Mathematical Programming; Stochastic Models; Data Modelling; Metaheuristic Methods; Bee Algorithms; Swarm Optimization.

深入解析与前沿探索：现代数值分析与科学计算的基石书籍名称：现代数值分析与科学计算：理论、算法与应用作者：著名应用数学家约翰·史密斯教授、资深工程师艾米丽·陈博士页数： 850 页（含丰富图表与习题）装帧：精装，双色印刷 --- 内容概述：跨越理论与实践的鸿沟本书《现代数值分析与科学计算：理论、算法与应用》旨在为读者提供一个全面、深入且与时俱进的数值方法框架。它不仅严格论证了经典数值分析的理论基础，更聚焦于当代高性能计算环境下的算法优化、误差控制以及前沿领域的实际应用。全书结构严谨，内容覆盖面广，深度适中，力求成为理工科高年级本科生、研究生以及一线科研和工程技术人员的必备参考书。本书的叙事逻辑从最基本的数学模型误差分析入手，逐步深入到复杂的偏微分方程求解技术，并通过大量与实际工程问题（如流体力学、金融建模、材料科学）的紧密结合，展现了数值计算强大的问题解决能力。我们强调的重点是“为什么”一个算法有效，“如何”在实际计算资源限制下优化其性能，以及“如何”可靠地评估其结果的精度。 --- 第一部分：基础理论与误差控制 (共三章) 本部分奠定了数值分析的理论基石，重点关注算法的稳定性、收敛性及误差的量化分析。第一章：浮点运算与数值稳定性浮点数表示与精度：深入探讨IEEE 754标准，分析单精度、双精度及扩展精度的实际意义。误差的来源与传播：系统分析截断误差（来自公式近似）和舍入误差（来自计算机有限精度）的相互作用。引入条件数概念，并详细讲解病态问题在不同数学运算（如矩阵求逆、插值）中的表现。数值稳定性分析：区分前向误差和后向误差，介绍稳定、不稳定及灾难性失稳的判定标准。通过算例展示如何通过算法重构或精度提升来应对敏感问题。第二章：函数逼近与插值理论多项式插值：考察拉格朗日插值、牛顿插值及其有限差分结构。重点分析了Runge现象及其对高次插值的限制。样条插值（Splines）：详细介绍分段低次多项式插值的优势，特别是三次自然样条和钳位（Clamped）样条在平滑曲线拟合中的应用。最佳一致逼近（Chebyshev Approximation）：引入最小二乘法与最佳一致逼近的区别，探讨如何利用等振幅原理来构建在特定区间上误差最小的逼近函数。数值积分的理论基础：从牛顿-科茨公式出发，推导梯形法则、辛普森法则的误差项，并引入高斯求积法（Gauss Quadrature）——其收敛速度远超等距节点公式的原理分析。第三章：线性系统的数值求解直接法回顾与深化：详细分析高斯消元法和LU分解的计算复杂度与稳定性。引入带状矩阵和稀疏矩阵的存储优化技术。矩阵分解的高级应用：阐述Cholesky分解在对称正定系统中的效率优势。探讨Householder反射和Givens旋转在构建正交矩阵，进而实现QR分解中的关键作用。迭代法：针对大规模、稀疏线性系统的核心工具。详细对比Jacobi、Gauss-Seidel方法的收敛性判据（谱半径）。重点讲解雅可比和高斯-赛德尔法的预处理技术（Preconditioning），如不完全LU分解（ILU）和对称正定系统的共轭梯度法（CG）。 --- 第二部分：非线性问题与特征值计算 (共两章) 本部分聚焦于求解超越方程、优化问题以及矩阵特征值问题的数值技术。第四章：非线性方程与优化单变量方程求解：比较割线法、牛顿法的局部二次收敛特性。深入分析阻尼牛顿法在处理非凸函数时的鲁棒性增强策略。多变量非线性系统：重点介绍多维牛顿法及其在计算过程中的雅可比矩阵求解挑战。引入拟牛顿法（如BFGS），解释其如何通过秩一/秩二更新近似Hessian矩阵，从而避免高昂的二次导数计算。无约束优化：详细介绍梯度下降法的收敛率分析。着重探讨共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）在大型优化问题中作为一种高效的一阶方法的重要性。约束优化简介：初步引入拉格朗日乘子法和KKT条件，为后续的深度学习优化算法打下理论基础。第五章：矩阵特征值问题幂迭代法与反幂迭代法：解释如何利用这些方法高效地寻找主特征值及其对应的特征向量，特别关注反幂迭代法在求解特定特征值附近问题中的精度优势。 QR算法：详细推导QR算法（包括其对Hessenberg或Tridiagonal矩阵的预化处理）如何实现对所有特征值的并行求解。解释Shift策略对加速收敛的决定性作用。广义特征值问题：讨论$Ax = lambda Bx$的求解，并在实际应用中（如模态分析）体现其重要性。 --- 第三部分：微分方程的数值解法 (共三章) 本部分是本书的重点，侧重于常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值离散化方法。第六章：常微分方程（ODE）的数值积分单步法：严格推导欧拉法（前向/后向）的局部截断误差。深入解析Runge-Kutta（RK）方法族，特别是经典的四阶RK4方法。多步法：介绍Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）公式的构建。深入分析多步法的零稳定性（Zero-stability）和特征多项式。刚性问题（Stiffness）：区分一般ODE与刚性ODE的特性。详细介绍隐式方法（如BDF方法）在求解刚性系统时的绝对稳定性区域。第七章：偏微分方程（PDE）：有限差分法（FDM）基础理论：引入泰勒级数在网格点上的应用，推导一维热传导方程和波动方程的显式与隐式有限差分格式。时间离散化：对热传导方程，深入分析前向欧拉、后向欧拉和Crank-Nicolson格式在稳定性和精度上的权衡（Von Neumann稳定性分析）。二维与三维问题：讨论拉普拉斯方程的迭代解法，包括超松弛迭代法（SOR）及其最优松弛参数的选择。复杂边界处理：介绍处理非均匀网格和不规则边界的FDM技术。第八章：现代数值技术与科学计算实践有限元方法（FEM）导论：简要介绍FEM的基本思想（变分原理、形函数、刚度矩阵的构建）。着重于其在处理复杂几何体和非均匀材料参数方面的巨大优势。谱方法（Spectral Methods）：讨论使用傅里叶级数或切比雪夫多项式展开来求解高精度问题的优势，特别是在周期性边界条件下的应用。并行计算与高性能数值：探讨向量化处理、多线程（OpenMP）和分布式内存（MPI）并行化策略在求解大型稀疏矩阵系统中的实际案例。讨论稀疏矩阵求解器的并行化瓶颈。 --- 学习资源与特色本书包含数百道覆盖理论证明、算法实现和实际案例分析的习题。随书附带配套的MATLAB/Python代码库，其中包含了本书所有关键算法的高效、模块化实现，供读者直接测试和修改。本书适用于：应用数学、计算物理、工程力学、航空航天、数据科学等专业的高年级本科生和研究生课程。需要快速掌握或深入理解数值方法在实际工程中应用的研究人员和工程师。