Random Graphs (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:V. F. Kolchin

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:2009-09-17

价格:USD 53.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521119689

丛书系列:Encyclopedia of Mathematics and its Applications

图书标签:

随机图
图论
数学百科全书
组合数学
概率论
网络科学
复杂网络
数学应用
随机过程
图模型

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具体描述

This book is devoted to the study of classical combinatorial structures such as random graphs, permutations, and systems of random linear equations in finite fields. The author shows how the application of the generalized scheme of allocation in the study of random graphs and permutations reduces the combinatorial problems to classical problems of probability theory on the summation of independent random variables. He concentrates on research by Russian mathematicians, including a discussion of equations containing an unknown permutation and a presentation of techniques for solving systems of random linear equations in finite fields. These results will interest specialists in combinatorics and probability theory and will also be useful in applied areas of probabilistic combinatorics such as communication theory, cryptology, and mathematical genetics.

随机图论：结构、性质与应用随机图论是数学的一个分支，专门研究具有随机性质的图。它为理解和分析由随机过程生成的复杂系统提供了一个强大的框架。从网络科学的出现到统计物理学的进步，随机图论已成为一个不可或缺的工具，揭示了我们周围世界的潜在模式和结构。核心概念与模型随机图论的核心在于其概率模型，这些模型描述了图是如何被随机生成的。最基本和最广泛研究的模型是： Erdős–Rényi (ER) 模型: 这是随机图论的基石，由 Erdős 和 Rényi 在 20 世纪 50 年代引入。在 ER 模型中，给定 $n$ 个顶点，图的每对顶点之间是否存在一条边是以固定的概率 $p$ 独立发生的。这导致了两个主要的变体： $G(n, p)$ 模型：在 $n$ 个顶点组成的集合上，每对顶点之间以概率 $p$ 独立地添加边。 $G(n, M)$ 模型：在 $n$ 个顶点组成的集合上，随机选择 $M$ 条边。 ER 模型非常适合研究图的平均性质，例如连通性、连通分量的数量以及是否存在大连通子图。 Barabási–Albert (BA) 模型: 这个模型旨在捕捉现实世界网络中常见的“无标度”特性，即节点的度分布遵循幂律。BA 模型采用“优先连接”机制：新顶点以与现有顶点已有的边数成比例的概率连接到网络中。这意味着具有更多连接的节点更有可能吸引更多新的连接，从而形成一个具有“富者愈富”效应的网络结构。BA 模型在模拟社交网络、万维网和蛋白质相互作用网络等领域表现出色。 Watts–Strogatz (WS) 模型: 旨在解释现实世界网络中存在的“小世界”现象，即网络中的节点即使相距遥远，平均路径长度也很短。WS 模型从一个规则的环状网络开始，然后以一定的概率“重连”边，引入随机性。这种“重连”的稀疏性能够迅速减小网络的平均路径长度，同时保留一定程度的局部聚集性。WS 模型是理解社交网络和生物网络的连接模式的关键。配置模型 (Configuration Model): 这是一个更一般的模型，允许在生成图时精确控制节点的度序列。它通过为每个顶点分配一定数量的“度半边” (half-edges) 来工作，然后随机地将这些半边配对形成边。配置模型在研究具有特定度分布的随机图的性质时非常有用，因为它提供了对度序列的精确控制。核心性质的研究随机图论不仅关注模型的生成过程，更深入地研究由这些模型生成的图所表现出的各种性质，这些性质通常在阈值现象 (threshold phenomena) 中显现出来，即在某个参数值附近，图的性质会发生剧烈的变化。重要的研究性质包括：连通性 (Connectivity): 研究图是否是连通的，即是否存在一条路径连接任意两个顶点。在 ER 模型中，当边数 $M$ 超过一个临界值时，图会从许多小的连通分量转变为一个大的连通分量。聚集系数 (Clustering Coefficient): 度量一个节点的邻居之间互相连接的紧密程度。现实世界网络通常具有较高的聚集系数，表明节点倾向于形成紧密的社区。平均路径长度 (Average Path Length): 任意两个节点之间最短路径长度的平均值。小世界网络的一个标志是其平均路径长度相对较短。度分布 (Degree Distribution): 描述网络中节点连接数的分布情况。无标度网络具有幂律度分布，即少数节点拥有大量的连接（“枢纽”节点），而大多数节点只有很少的连接。社群结构 (Community Structure): 研究网络中节点如何组织成相互连接更紧密的子集（社群）的模式。检测和理解社群结构对于揭示网络的组织原则至关重要。应用领域随机图论的理论发展不仅推动了数学的进步，更在众多领域催生了创新的应用：网络科学 (Network Science): 这是随机图论最直接的应用领域。从互联网、社交媒体到交通网络和生物网络，随机图论为分析和理解这些系统的结构、鲁棒性和演化提供了核心工具。计算机科学 (Computer Science): 在算法设计、分布式系统、并行计算和网络路由等方面，随机图论被用来分析算法的性能、证明其正确性以及设计更高效的系统。物理学 (Physics): 随机图论在统计物理学中用于建模相变、自旋玻璃和纠缠系统。它们也用于研究粒子物理学中的相互作用模型。生物学 (Biology): 从基因调控网络到蛋白质相互作用网络，再到神经元连接，随机图论帮助科学家理解生物系统的复杂性和功能。社会学 (Sociology): 在分析社交网络、群体动力学和信息传播方面，随机图论提供了有力的建模和分析工具。信息论 (Information Theory): 随机图论在纠错码的设计和分析中发挥着重要作用，例如 LDPC 码。博弈论 (Game Theory): 在分析具有大量参与者和相互作用的博弈时，随机图论模型可以提供洞察。展望随机图论仍然是一个充满活力的研究领域，不断有新的模型和理论涌现，以应对不断涌现的复杂系统。对动态随机图（即随时间演变的图）的研究、引入更精细的节点和边属性（例如异质性、多重边）的随机图模型，以及结合机器学习技术来分析大型图结构，都是当前研究的热点。理解随机图论的原理，为我们提供了理解和塑造我们周围世界的关键视角。