Differential Equations Computing and Modeling Value Package pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Addison Wesley

作者:C. Henry Edwards

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2007-8-18

價格:USD 143.33

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780136001201

叢書系列:

圖書標籤:

• 微分方程
• 計算方法
• 數學建模
• 數值分析
• 常微分方程
• 偏微分方程
• MATLAB
• 科學計算
• 工程數學
• 高等數學

探索數學工具的強大力量：解構微分方程，掌握計算與建模 在瞬息萬變的科學與工程領域，對復雜現象進行精確描述和預測的能力至關重要。本書並非直接呈現名為“Differential Equations Computing and Modeling Value Package”的特定教材內容，而是深入探討支撐該類教材核心的知識體係——微分方程、計算方法以及模型構建之間的緊密聯係。我們將一同剖析這些強大的數學工具如何被應用於理解和解決現實世界中的各類問題。 第一部分：微分方程——描繪動態世界的語言 微分方程是描述變量之間變化率關係的數學語言，它們如同攝像機捕捉著事物的瞬息萬變。本部分將係統性地介紹微分方程的基本理論和分類。 基本概念與定義： 我們將從最基礎的定義入手，解釋什麼是微分方程、階數、綫性與非綫性、齊次與非齊次等核心概念。理解這些術語是深入研究的基石。 一階微分方程： 這一類方程雖然簡單，卻能描述許多基本動態過程。我們將學習分離變量法、積分因子法、恰當方程法等求解技巧，並探討它們在簡單物理模型（如放射性衰變、人口增長）中的應用。 高階綫性微分方程： 隨著係統復雜度的增加，高階微分方程變得不可或缺。本部分將重點介紹常係數綫性齊次與非齊次方程的求解方法，包括特徵方程法、待定係數法、常數變易法等。我們將看到這些方法如何應用於振動、電路分析等領域。 微分方程組： 許多現實問題涉及多個相互關聯的變量，其動態變化需要用微分方程組來描述。我們將學習如何通過代數方法或矩陣方法求解耦閤的綫性微分方程組，並初步瞭解其在多體係統、生態係統模型中的應用。 存在唯一性定理與定性分析： 除瞭求解解析解，理解微分方程解的存在性、唯一性以及解的行為特徵同樣重要。我們將探討Picard-Lindelöf定理，並介紹相平麵分析、穩定性分析等定性方法，它們能幫助我們洞察係統的長期行為，即使無法獲得精確的數值解。 第二部分：計算方法——量化現實的利器 現實世界中的許多微分方程難以獲得精確的解析解，這時計算方法就顯得尤為重要。它們為我們提供瞭近似求解的強大手段。 數值積分方法： 對於無法解析求解的方程，數值積分方法成為我們的首選。我們將詳細介紹歐拉法（前嚮、後嚮）、改進歐拉法（梯形法）以及更高階的Runge-Kutta方法。這些方法通過離散化時間步長，逐步逼近真實解。我們將分析它們的收斂性、精度以及穩定性的權衡。 有限差分法： 對於偏微分方程，有限差分法是一種重要的數值求解技術。本部分將介紹如何將連續的空間導數用離散的差分代替，構建代數方程組，並討論不同階數的差分格式及其穩定性條件，例如顯式、隱式方法在拋物型、雙麯型方程中的應用。 有限元方法（初步介紹）： 作為另一種強大的偏微分方程數值求解技術，有限元方法通過將求解域剖分成小單元，並在單元內使用基函數近似解，從而將偏微分方程轉化為代數方程組。我們將對其基本思想和適用範圍進行初步介紹，瞭解其在復雜幾何形狀和邊界條件處理上的優勢。 軟件應用與實現： 理論知識需要藉助實際工具纔能發揮最大效用。我們將討論如何在常用的科學計算軟件（如MATLAB, Python的SciPy庫）中實現和應用這些數值方法，例如使用內置函數求解常微分方程組，或自行編寫代碼實現有限差分等算法。 第三部分：建模——連接數學與世界的橋梁 數學模型是將現實世界中的現象抽象、簡化並用數學語言（尤其是微分方程）描述的過程。模型構建是應用數學解決實際問題的核心環節。 模型構建的基本原則： 我們將學習如何識彆問題中的關鍵因素，簡化不重要的細節，確定變量之間的關係，並選擇閤適的數學工具（如微分方程）來描述這些關係。 經典應用案例分析： 物理學模型： 從牛頓的運動定律到熱傳導方程、波動方程，我們將解析如何將物理學原理轉化為微分方程，並理解這些方程如何描述從粒子運動到宏觀現象的演化。 工程學模型： 探討機械振動、電路分析、流體動力學中的經典模型，以及如何利用微分方程及其數值解來分析係統的行為、預測故障和優化設計。 生物學與生態學模型： 學習Lotka-Volterra捕食者-獵物模型、SI/SIR傳染病模型等，理解微分方程如何描述種群動態、疾病傳播和生命過程。 經濟學與金融學模型： 初步瞭解Black-Scholes期權定價模型等，感受微分方程在描述市場行為和風險管理中的作用。 模型驗證與改進： 一個好的模型並非一蹴而就。我們將討論如何通過實驗數據或已知結果來驗證模型的準確性，以及如何根據驗證結果對模型進行修正和改進，使其更貼近現實。 復雜係統的建模挑戰： 探討在麵對非綫性、隨機性、多尺度等復雜係統時，建模可能遇到的睏難，以及如何結閤多種數學和計算工具來應對這些挑戰。 通過對這三個核心領域的深入探索，本書旨在為讀者構建一個堅實的理論基礎和實踐技能框架。無論您是初學者還是希望深化理解的研究者，都將能夠掌握運用微分方程、計算方法和模型構建來分析、理解和解決現實世界中各種復雜問題的強大能力。這不僅僅是關於學習一套工具，更是關於培養一種用數學思維審視和改造世界的能力。

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