The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms (Colloquium Publications) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Richard Elman

出品人:

页数:435

译者:

出版时间:2008-07-15

价格:USD 79.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821843291

丛书系列:Colloquium Publications

图书标签:

代数
代数
几何
二次形式
二次型
数论
代数数论
上同调
经典理论
Colloquium Publications
数学

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具体描述

《数学的根基：代数与几何的和谐之舞》本书并非一本传统的数学教科书，它旨在引领读者深入探索数学最为核心的两个分支——代数与几何——之间深邃而迷人的内在联系。我们关注的焦点并非具体的公式推导或定理证明，而是数学概念在不同维度上的演变、转换与统一。本书将以一种全新的视角，揭示代数结构如何通过几何的语言得以具象化，以及几何的图形如何隐藏着深刻的代数规律。第一章：抽象的语言与空间的具象在这一章，我们将从最基础的代数概念出发，比如向量空间、线性变换等。然而，我们不会停留在纯粹的符号操作。我们会立刻将这些抽象的代数对象与我们熟悉的几何空间联系起来。例如，一个向量空间可以被理解为三维欧几里得空间的一个抽象模型，而线性变换则对应于旋转、缩放、剪切等几何操作。我们将探讨如何用代数的语言来精确描述几何图形的性质，例如直线、平面、二次曲线等。反之，我们也会看到，通过几何的直观性，可以帮助我们理解更为复杂的代数结构，例如矩阵的几何意义，以及多项式的根与函数图像之间的关系。第二章：度量的本质与形式的统一几何学离不开“度量”的概念，无论是长度、角度还是面积，它们都构成了我们理解空间的基础。本章将深入探讨“度量”在代数层面的表达，即二次型。我们将揭示二次型并非仅仅是一组代数表达式，而是能够赋予向量空间度量性质的强大工具。我们会研究不同类型的二次型，例如正定二次型、不定二次型等，并探讨它们所对应的几何形状。例如，一个正定二次型可以定义一个内积，从而在向量空间中引入欧几里得度量，使得我们能够谈论长度和角度。而不同二次型的等价性，则对应着几何上度量方式的变换，例如坐标系的旋转和缩放。我们将看到，即使代数形式发生了变化，其所代表的几何意义可能保持不变。第三章：对称的奥秘与群的结构对称性是自然界和数学中最普遍、最深刻的现象之一。本章将从代数和几何的交汇点，深入剖析对称性的本质。我们将引入群论的概念，将其作为描述对称性的语言。许多几何变换，例如欧几里得变换、仿射变换等，本身就构成了一个群。我们将探讨如何通过分析这些变换的群结构，来理解几何对象的对称性。反之，代数方程的解的结构，往往也隐藏着深刻的对称性，例如根与系数之间的关系，以及对称多项式等。本章将通过具体的例子，展示代数群与几何对称性之间的紧密联系，例如李群及其在微分几何中的应用。第四章：结构的升华与不变性的追寻在数学的探索中，我们总是试图找到隐藏在表面变化之下的不变之物。本章将聚焦于“不变性”的概念，并将其置于代数与几何的框架下进行考察。我们将探讨在各种几何变换下保持不变的几何性质，例如拓扑不变量，以及在不同度量下保持不变的代数性质。例如，代数曲线的亏格，就是一个重要的拓扑不变量，它在经过各种连续变形后保持不变。我们将看到，代数工具，例如不变量理论，可以帮助我们识别和计算这些几何不变量。同时，几何的视角也能够帮助我们理解代数结构的一些深层性质，例如二次型的签名，以及其在不同基下的不变性。第五章：范畴的智慧与抽象的统一作为本书的收官之章，我们将把视野进一步提升到更为抽象的层级——范畴论。范畴论提供了一种通用的语言来描述数学对象之间的关系，并揭示了不同数学分支之间的深层统一性。我们将初步介绍范畴、函子等基本概念，并探讨如何用范畴论的语言来重新审视代数与几何中的一些经典结构。例如，向量空间范畴、拓扑空间范畴等，它们各自描述了特定类型的数学对象及其之间的态射。我们将看到，许多看似独立的数学定理，在范畴的框架下，可能只是同一个普遍原理的不同表现形式。本章旨在展现代数与几何在更高级别的抽象中所展现出的和谐与统一，为读者打开通往更广阔数学世界的大门。本书的目标是激发读者对数学内在美感的认知，理解代数与几何并非孤立的学科，而是相互依存、相互启发的有机整体。通过对它们之间深刻联系的探索，我们能够以更清晰、更深刻的视角理解数学的本质。

作者简介

目录信息

读后感

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The theory of quadratic forms has a long and distinguished history, starting with Fermatand goingthrough Minkowski, Siegel, Hasse and Eichler. With its emphasis on individual quadratic forms, the arithmetic theory is wellexplained in the books by Eichler (S...

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