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出版者:Cambridge University Press

作者:David A. Brannan

出品人:

页数:510

译者:

出版时间:1999-4-28

价格:USD 140.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521591935

丛书系列:

图书标签:

几何学
数学
图形
空间
定理
证明
解析几何
三角学
代数
教育

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具体描述

This is an undergraduate textbook that reveals the intricacies of geometry. The approach used is that a geometry is a space together with a set of transformations of that space (as argued by Klein in his Erlangen programme). The authors explore various geometries: affine, projective, inversive, non-Euclidean and spherical. In each case the key results are explained carefully, and the relationships between the geometries are discussed. This richly illustrated and clearly written text includes full solutions to over 200 problems, and is suitable both for undergraduate courses on geometry and as a resource for self study.

《几何的艺术》探寻秩序与美的宇宙密码在浩瀚无垠的宇宙之中，隐藏着一套精妙绝伦的秩序，它以数字和形状为语言，描绘出万物的诞生、生长与消亡。这套语言，便是几何。从自然界中随处可见的晶体结构、花朵的螺旋排列，到人类文明中宏伟的建筑、精密的仪器，无不闪耀着几何的智慧之光。《几何的艺术》并非一本枯燥的数学教科书，而是一次穿越时空的探索之旅，邀请您一同走进几何的奇妙世界，感受其背后蕴含的深刻哲理与动人美学。本书将带领读者从最基础的点、线、面出发，逐步深入了解二维图形的精巧变化，探究三维空间的无限可能。我们将一同走进古希腊数学家的智慧殿堂，感受欧几里得《几何原本》的严谨与优雅，理解公理、定理如何构建起逻辑的帝国；也将目光投向更加广阔的天地，探索非欧几里得几何的革命性突破，理解空间并非如我们直观感受的那般“唯一”。第一章：点亮思维的火花——几何的基石万物始于无形，几何的起点也是如此。本章将从“点”的抽象概念入手，它没有大小，却孕育着无限可能；再到“线”的延伸，直线、射线、线段，它们是连接世界的桥梁，构筑了空间的骨架。我们将学习如何测量角度，理解平行与垂直的意义，这些最基本的元素，却是构建所有复杂图形的基石。点：宇宙的原子从哲学的角度理解“点”的虚无与存在。点在坐标系中的意义，连接抽象与现实。点阵和离散空间的概念初步介绍。线：流动的边界直线的无限延伸与线段的有限长度。射线的单向性及其在向量中的应用。线与面的关系：线是面的“切片”，也是面的“边缘”。点、线、面在视觉艺术中的基本构成。角度：旋转的语言锐角、直角、钝角、平角、周角及其性质。角度在测量、导航、工程中的实际应用。角的和差倍分关系，以及几何证明的初步技巧。平行与垂直：空间中的秩序平行线的性质：永不相交的宁静。垂直线的性质：90度的精准相遇。平行线与截线的关系，揭示隐藏的相等关系。垂直线在构图、建筑、机械设计中的重要性。第二章：平面上的舞蹈——图形的变幻一旦掌握了基础元素，我们便能进入由它们构筑的二维世界——平面。在这里，三角形、四边形、圆形等基本图形以其独特的性质和丰富的变化，展现出数学的魅力。我们将学习如何计算它们的周长、面积，如何理解相似与全等，以及那些看似简单却蕴含深刻定理的图形，如勾股定理在直角三角形中的应用，圆的周长和面积公式背后所蕴含的π的奥秘。三角形：最稳固的结构分类：锐角、直角、钝角三角形；不等边、等腰、等边三角形。边角关系：三角形三边关系定理，大边对大角。三角形的内角和为180度：一个永恒的真理。全等三角形的判定：SSS, SAS, ASA, AAS，证明的利器。相似三角形的判定与性质：比例的和谐。重要的三角形点：重心、垂心、内心、外心，它们的位置与性质。勾股定理：直角三角形的黄金法则，以及其广泛应用。四边形：多样的形态平行四边形：对边平行且相等，对角相等。矩形：特殊的平行四边形，四个角都是直角。菱形：特殊的平行四边形，四条边都相等。正方形：集矩形与菱形性质于一身的完美图形。梯形：只有一组对边平行的四边形。四边形的对角线性质及其应用。圆：无限的优雅圆心、半径、直径、弦、弧、扇形、弓形。圆的轴对称性与中心对称性。圆的周长与面积公式：π的魔力。切线与割线：圆与直线相交的奥秘。圆周角定理：跨越圆心的美丽连接。弦的性质：弦心距、弦长与半径的关系。多边形：走向复杂的美正多边形：边数与内角、外角的关系。多边形的内角和公式。多边形的外接圆与内切圆。第三章：空间的诗篇——立体几何的维度当我们将二维图形延展至三维，便进入了更为广阔的立体空间。本章将探索各种立体图形，如立方体、球体、圆柱、圆锥等，学习计算它们的表面积和体积。我们将理解棱柱、棱锥的构造，认识多面体的欧拉公式，并初步接触到更抽象的空间几何概念，如点到直线、点到平面的距离，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。立体图形的基础：面、棱、顶点多面体的定义与分类：凸多面体与凹多面体。棱柱：底面多边形与侧面矩形（或平行四边形）的组合。棱锥：底面多边形与侧面三角形的组合。表面积与体积的计算：从简单到复杂。重要的立体图形立方体与长方体：空间中的基本砖块。球体：完美的对称体，π的立体化身。圆柱：平行于轴的直线运动形成的曲面。圆锥：以圆为底，顶点为尖的图形。这些图形在生活中的实例：建筑、器皿、自然界。空间中的位置关系直线与直线：平行、相交、异面。直线与平面：平行、相交（点）、直线在平面内。平面与平面：平行、相交（线）。点到直线、点到平面的距离公式。异面直线所成的角。欧拉公式：多面体的密码 V - E + F = 2：顶点数减去棱数加上面数等于2。欧拉公式在判断多面体结构的合理性中的作用。第四章：抽象的边界——非欧几何的革命本书的第四章将带领读者挑战我们最习以为常的空间概念。在“平行公设”的束缚下，我们构建了经典的欧几里得几何。但如果打破这条公设的限制，又会是怎样的景象？我们将初步接触到黎曼几何和罗巴切夫斯基几何，了解它们如何描述弯曲的空间，以及这些看似抽象的理论如何与广义相对论等现代物理学理论紧密相连。平行公设的困境欧几里得几何的五条公理和一条公设。平行公设的独立性问题。非欧几里得几何的诞生罗巴切夫斯基几何：平行公设的否定形式。黎曼几何：曲率的概念，空间的“弯曲”。双曲几何与椭圆几何的几何直观。非欧几何的意义对数学本身的深远影响。在物理学中的应用：爱因斯坦的广义相对论。拓展我们对“空间”的理解。第五章：几何的哲学与美学几何不仅仅是冰冷的数字和公式，它更是蕴含着深刻哲学思想和动人美学的载体。本章将从更宏观的视角审视几何。我们将探讨几何学在古希腊哲学中的地位，毕达哥拉斯学派对数与形的神秘崇拜；理解几何的对称性如何反映宇宙的和谐与平衡；欣赏黄金分割、斐波那契数列等在自然界和艺术中的体现；以及现代艺术、设计如何运用几何原理创造出令人惊叹的作品。几何与哲学：秩序与真理柏拉图对“形相”的理解。毕达哥拉斯的“万物皆数”。几何学作为一种逻辑推理的典范。对称之美：和谐的韵律点对称、线对称、面对称、体对称。自然界中的对称现象：蝴蝶、雪花、人体。建筑、艺术中的对称设计。黄金分割与斐波那契数列：自然的比例黄金分割率的数学定义及其美学意义。斐波那契数列的生成与增长模式。在向日葵、鹦鹉螺、星系中的体现。黄金矩形与黄金螺旋。现代艺术与设计中的几何立体主义、抽象主义中的几何元素。图形设计、工业设计中的几何应用。算法艺术与生成设计。结语：永无止境的探索《几何的艺术》并非要将读者变成一位高深的数学家，而是希望开启一扇窗，让您看到几何学在日常生活中无处不在的踪迹，感受到它所承载的理性之美与艺术之魂。从星辰的运转到细胞的分裂，从宏伟的建筑到微小的晶体，几何学的语言贯穿始终，揭示着宇宙运行的根本法则。希望通过本书的阅读，您能够以一种全新的视角去观察世界，发现隐藏在平凡事物中的不凡秩序，体会数学的逻辑力量与几何的视觉魅力。几何的探索是永无止境的，每一次深入，都会带来新的发现与惊喜。愿您在几何的海洋中，找到属于自己的乐趣与启迪。