Duality for Nonconvex Approximation and Optimization pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer New York

作者:Ivan Singer

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:2009-12-28

价格:USD 119.00

装帧:Paperback

isbn号码:9781441921031

丛书系列:

图书标签:

Nonconvex Optimization
Duality
Approximation Algorithms
Theoretical Computer Science
Mathematical Programming
Convex Relaxation
Optimization Theory
Algorithmic Game Theory
Machine Learning
Computational Complexity

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具体描述

The theory of convex optimization has been constantly developing over the past 30 years. Most recently, many researchers have been studying more complicated classes of problems that still can be studied by means of convex analysis, so-called "anticonvex" and "convex-anticonvex" optimizaton problems. This manuscript contains an exhaustive presentation of the duality for these classes of problems and some of its generalization in the framework of abstract convexity. This manuscript will be of great interest for experts in this and related fields.

《双重性：非凸近似与优化》引言在现代科学和工程的诸多领域，我们常常面临着分析和解决那些其目标函数或约束条件不满足凸性要求的复杂问题。这些非凸问题由于其内在的结构复杂性，往往比凸问题更具挑战性，并且一旦处理不当，很容易陷入局部最优解，而错过全局最优解。无论是金融建模中的投资组合优化、机器学习中的模型训练，还是运筹学中的生产调度，非凸问题普遍存在，其解决方案的质量直接影响着实际应用的成效。传统的最优化方法在很大程度上依赖于凸性假设，因为凸问题拥有一系列优良的性质，例如任何局部最优解都是全局最优解，并且存在高效的算法能够保证收敛到全局最优解。然而，当这种凸性假设不再成立时，我们就需要新的理论框架和计算工具来应对。本书《双重性：非凸近似与优化》正是为了填补这一关键领域的空白而应运而生。它系统地探讨了一种强大的理论工具——对偶理论，并将其巧妙地应用于解决各种非凸近似和优化问题。我们旨在为研究人员、工程师和学生提供一套严谨的理论基础和实用的方法论，使他们能够有效地理解、建模和求解非凸问题，从而在各自的领域取得突破。核心思想：双重性的力量本书的核心在于双重性的概念。在数学优化中，对偶性提供了一种从原问题（Primal Problem）转换到另一个密切相关的对偶问题（Dual Problem）的强大视角。对于凸优化问题，原问题和对偶问题之间存在着完美的对偶性，即强对偶性（Strong Duality），这意味着最优值是相等的。然而，对于非凸问题，这种强对偶性并不总是成立，通常存在一定的对偶间隙（Duality Gap）。本书的独特之处在于，它不仅仅关注标准的对偶理论，而是深入挖掘如何通过构造特定的松弛技术（Relaxation Techniques）和辅助函数（Auxiliary Functions），在非凸场景下“桥接”原问题与对偶问题，从而有效利用双重性的思想。我们研究了如何通过对原问题的适当“松弛”或“近似”，构造出更易于处理的对偶问题，并通过分析这个对偶问题的解来获得原问题的近似解。这种近似可以是渐近最优的，也可以是在特定意义下的有界最优。内容梗概本书的内容结构围绕双重性理论在非凸近似与优化中的应用展开，主要可以分为以下几个部分：第一部分：非凸问题的挑战与对偶理论基础非凸问题的定义与性质：我们首先明确非凸优化问题的特征，例如目标函数或约束集合的非凸性，以及由此带来的局部最优解陷阱、无解或无界等问题。我们将回顾经典的最优化理论，并指出其在非凸问题上的局限性。经典对偶理论回顾：本部分将系统地回顾拉格朗日对偶、沃罗诺伊（Voronoi）对偶、沃克尔（Rockafellar）对偶等经典对偶理论。我们将详细阐述这些理论的数学框架、基本概念（如对偶函数、对偶问题、对偶间隙）以及它们在凸优化中的应用。非凸性与对偶间隙：重点分析非凸性是如何导致对偶间隙的产生，并探讨对偶间隙的几何意义和理论影响。我们将通过实例说明，在非凸情况下，对偶问题的最优解可能仅仅是原问题最优值的一个下界。第二部分：构造非凸问题的对偶表示松弛技术的艺术：这是本书的核心创新所在。我们将介绍一系列针对不同类型非凸问题的松弛技术。这包括：连续化松弛（Continuous Relaxation）：将离散变量或组合变量替换为连续变量，从而将原本不可解的整数规划问题转化为连续优化问题，进而构造其对偶。凸松弛（Convex Relaxation）：通过将非凸函数或集合近似为凸函数或凸集，从而将非凸问题转化为凸问题，再利用凸优化的对偶理论。我们将探讨如何构造高质量的凸松弛，例如使用Shor的半定规划（SDP）松弛，或者更现代的低秩（Low-Rank）松弛技术。线性化技术（Linearization Techniques）：对于某些特定的非线性非凸问题，例如二次约束二次规划（QCQP）或多项式规划，我们将介绍如何通过引入辅助变量和线性化技巧来构造更易于处理的松弛形式，并进而分析其对偶。辅助函数的构造与应用：除了松弛变量，我们还将深入探讨如何设计巧妙的辅助函数来“包裹”非凸结构，从而使其能够被纳入对偶框架。例如，我们将研究使用 Jensen-Sharpe 不等式、Fenchel-Legendre 变换等工具来构造凸的上包络（Convex Envelope）或下包络（Convex Hull），并分析这些包络的对偶性质。特定非凸结构下的对偶模型：本部分将结合具体问题，展示如何根据非凸问题的特定结构（如二次函数、三角函数、分段函数、或组合约束）来设计相应的松弛和辅助函数，从而构建出有意义的对偶问题。第三部分：求解与分析非凸对偶问题迭代逼近与收敛性分析：既然我们已经构造了对偶问题，那么如何求解它并从中提取原问题的近似解是关键。我们将介绍一系列迭代算法，用于求解通过松弛技术得到的对偶问题，例如：增广拉格朗日乘子法（Augmented Lagrangian Method）：结合了拉格朗日乘子法和罚函数法的思想，可以有效地处理带有等式和不等式约束的非凸问题，并与对偶性紧密联系。交替方向乘子法（ADMM）：一种强大的分布式优化算法，在许多非凸场景下表现出色，其理论基础也与对偶性紧密相关。次梯度法（Subgradient Methods）：用于求解非光滑凸函数，我们将探讨其在非凸对偶问题求解中的变种和适用性。对偶间隙的界定与减小：对于非凸问题，对偶间隙的存在是不可避免的。我们将研究如何精确地界定对偶间隙，以及如何设计算法来减小这个间隙，从而提升近似解的质量。这可能涉及到开发更精细的松弛方法，或者采用特殊的后处理技术。原问题近似解的质量分析：我们将从理论上分析通过对偶方法获得的近似解的质量，包括其与全局最优解的偏差、收敛速度等。我们将介绍渐近最优性、近似比（Approximation Ratio）等概念，并为不同类型的非凸问题提供相应的质量保证。第四部分：应用实例与前沿研究特定非凸问题领域的应用：本部分将通过大量的实际应用案例，展示本书所介绍的双重性方法在解决各类非凸问题中的威力。这可能包括：组合优化：如最大割问题（Max-Cut）、图着色问题（Graph Coloring）、旅行商问题（TSP）的近似算法。机器学习：如非凸支持向量机（SVM）、稀疏主成分分析（Sparse PCA）、图神经网络（GNN）的训练。金融工程：如投资组合优化、风险管理中的非凸模型。信号处理：如压缩感知（Compressed Sensing）、盲源分离（Blind Source Separation）中的非凸优化。控制理论：如模型预测控制（MPC）中的非凸约束处理。前沿研究方向展望：最后，我们将对该领域的前沿研究方向进行展望，例如深度学习中的非凸优化、随机非凸优化的理论与实践、以及分布式非凸优化等，鼓励读者在现有基础上进行更深入的探索。本书的特色与贡献《双重性：非凸近似与优化》力求做到理论严谨与方法实用并重。我们不仅提供深厚的理论基础，而且通过大量实例和算法介绍，让读者能够掌握将理论转化为实际计算工具的能力。本书的贡献在于： 1. 系统性：首次将双重性理论的最新发展及其在非凸近似与优化中的应用进行系统、全面的梳理和阐述。 2. 创新性：重点突出针对非凸问题特制的松弛技术和辅助函数构造方法，为求解非凸问题提供新的思路。 3. 普适性：所介绍的方法论具有广泛的适用性，能够应用于数学、计算机科学、工程、经济学等多个领域。 4. 可操作性：提供了丰富的算法实现细节和实例分析，便于读者快速掌握并应用于实际问题。结语非凸问题是现实世界中最普遍、也最具挑战性的问题类型之一。本书的出版，旨在为解决这些问题提供一套强大而通用的理论框架和计算工具。通过深入理解和巧妙运用“双重性”的思想，我们相信读者将能够在非凸近似与优化的道路上取得更显著的进展，从而推动相关学科的发展和实际应用的创新。我们期望本书能成为所有致力于解决复杂非凸问题的研究者和实践者的宝贵参考。