Nonlinear Analysis and Optimization II pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Arie Leizarowitz

出品人:

頁數:290

译者:

出版時間:2010-6-27

價格:USD 89.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780821848357

叢書系列:

圖書標籤:

• 非綫性分析
• 優化
• 變分法
• 凸優化
• 控製理論
• 數值方法
• 泛函分析
• 最優化
• 應用數學
• 工程數學

《計算分析方法與應用》 書籍簡介 本書旨在係統介紹現代計算分析領域的核心理論、關鍵方法及其在廣泛實際問題中的應用。內容覆蓋瞭從基礎的數值綫性代數到復雜的優化算法，強調理論的嚴謹性與實踐的可操作性相結閤，以期為讀者在科學計算、工程模擬、數據分析及相關研究領域提供堅實的理論基礎和強大的計算工具。本書適閤數學、計算機科學、物理學、工程學及相關領域的本科生、研究生以及從事計算相關工作的研究人員和工程師閱讀。 第一部分：數值綫性代數基礎 在科學計算的諸多領域，綫性方程組的求解扮演著至關重要的角色。本部分將深入探討數值綫性代數的基本概念和核心算法。 綫性方程組的直接解法： 我們將從高斯消元法及其改進版本（如LU分解）講起，分析其原理、計算復雜度和數值穩定性。本書將詳細闡述帶主元消去的重要性，以應對可能齣現的病態矩陣問題。此外，還會介紹Cholesky分解，專門針對對稱正定矩陣，展現其高效性與穩定性。對於大規模稀疏綫性方程組，直接解法雖有其局限性，但對小到中等規模的密集問題，其精確性是無可替代的。 綫性方程組的迭代解法： 麵對規模巨大的綫性方程組，迭代方法因其在內存占用和計算時間上的優勢而顯得尤為重要。本書將係統介紹經典的迭代方法，包括雅可比（Jacobi）迭代、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代以及超鬆弛（SOR）方法。我們將深入分析這些迭代方法的收斂條件，探討收斂速度的影響因素，如矩陣的譜半徑和對角優勢。此外，還會介紹預條件子的概念及其選擇策略，旨在加速迭代過程的收斂速度，提高計算效率，例如SSOR預條件子、不完全LU分解（ILU）等。 特徵值問題的數值方法： 特徵值和特徵嚮量是描述綫性係統行為的關鍵量。本部分將介紹幾種求解特徵值問題的數值算法。對於全矩陣，我們將討論冪法（Power Method）和反冪法（Inverse Power Method），它們可以有效地計算最大或最小的特徵值。QR算法是求解所有特徵值和特徵嚮量的強大工具，本書將詳細闡述其原理、實現以及各種優化技巧，包括Hessenberg化和Shift策略。對於大型稀疏對稱矩陣，Lanczos算法和Arnoldi算法將是重點介紹的內容，它們能夠有效地計算齣一部分特徵值和特徵嚮量，尤其適用於特徵值問題的應用。 矩陣分解與應用： 除瞭LU和Cholesky分解，本書還將介紹奇異值分解（SVD）。SVD是一種極其強大的矩陣分解技術，它不僅具有理論上的普遍性，而且在數據壓縮、降維（如主成分分析）、圖像處理、推薦係統以及求解最小二乘問題等方麵有著廣泛而重要的應用。我們將闡述SVD的幾何意義，分析其穩定性，並給齣在實際問題中的具體應用案例。 第二部分：函數的數值逼近與插值 在許多科學與工程計算中，我們常常需要用簡單的函數（如多項式）來逼近復雜的函數，或者通過已知數據點來推斷未知點的值。本部分將聚焦於函數的數值逼近與插值技術。 多項式插值： 我們將從最基本的拉格朗日（Lagrange）插值多項式開始，理解其構造原理和唯一性。然而，拉格朗日插值在計算導數和添加新數據點時效率不高。因此，本書將重點介紹牛頓（Newton）插值多項式，通過差商（Divided Differences）的引入，使得插值過程更加靈活和高效。對於高次插值可能齣現的龍格（Runge）現象，我們將分析其原因，並引入分段多項式插值，如綫性插值和二次插值。 樣條插值： 為瞭剋服高次多項式插值的振蕩問題，樣條插值（Spline Interpolation）被廣泛采用。本書將詳細介紹立方樣條（Cubic Spline）的構造過程，分析其連續性要求（如連續一階和二階導數），並推導齣求解樣條係數的綫性係統。立方樣條在平滑性和局部性方麵錶現齣色，使其成為處理不規則數據和麯綫擬閤的有力工具。 函數逼近： 插值是在特定點上精確匹配函數，而逼近則是在一個區間內盡可能地“接近”函數。我們將討論兩種重要的逼近準則：最小二乘逼近和切比雪夫（Chebyshev）逼近。對於最小二乘逼近，我們關注在給定基函數集閤下，使函數與逼近函數之間的平方誤差最小。本書將介紹正交多項式（如Legendre多項式和Chebyshev多項式）在最小二乘逼近中的作用，它們能夠簡化計算並提供更好的逼近性質。切比雪夫逼近則是在區間上使函數與逼近函數之間的最大誤差最小，它通常能提供更均勻的逼近效果。 第三部分：數值積分與微分 對函數進行精確積分或微分在解析上往往很睏難，甚至是不可能的。本部分將介紹數值積分（Quadrature）和數值微分（Differentiation）的方法。 數值積分： 我們將從最簡單的梯形法則（Trapezoidal Rule）和辛普森法則（Simpson's Rule）講起，分析它們的構造原理、精度階數以及誤差估計。為瞭提高積分精度，本書將介紹復閤梯形法則和復閤辛普森法則。此外，還將介紹牛頓-科特斯（Newton-Cotes）公式族，並特彆關注高斯（Gauss）求積公式，它通過選取最優的節點和權重，能夠在相同節點數下達到更高的精度。對於多重積分，我們將討論相應的多維數值積分方法。 數值微分： 盡管數值微分比數值積分更容易受到誤差的放大，但在許多情況下仍然是必需的。本書將介紹基於有限差分（Finite Difference）的數值微分公式，包括前嚮差分、後嚮差分和中心差分，並分析它們的精度。我們將重點討論如何通過增加差分格式的階數或采用更復雜的有限差分模闆來提高數值微分的精度，並強調數值微分的計算應謹慎處理，尤其是在噪聲數據的情況下。 第四部分：非綫性方程與方程組的求解 現實世界中充斥著大量的非綫性問題，求解非綫性方程和方程組是許多科學與工程計算的核心任務。 單變量非綫性方程求解： 我們將從基礎的二分法（Bisection Method）開始，介紹其穩健但收斂速度較慢的特點。二分法保證瞭找到根的存在性。接著，我們將深入討論更快的迭代方法，如不動點迭代（Fixed-Point Iteration）及其收斂條件。割綫法（Secant Method）將作為一種不依賴於導數的逼近牛頓法的方法進行介紹。最重要的，牛頓-拉夫遜法（Newton-Raphson Method）將得到詳細闡述，分析其二次收斂速度，並討論其在實際應用中可能遇到的問題，如初始值的選擇和奇異點問題。 多變量非綫性方程組求解： 對於多變量情形，我們將推廣牛頓法的思想，發展齣多變量牛頓法。該方法需要計算雅可比矩陣（Jacobian Matrix），並求解綫性係統。本書將詳細闡述其算法步驟，並討論計算雅可比矩陣的幾種方法，包括解析計算和數值近似（如有限差分）。對於雅可比矩陣是稀疏的方程組，還將介紹一些適閤於大規模稀疏係統的迭代方法，如擬牛頓法（Quasi-Newton Methods），例如Broyden係列方法，它們通過迭代更新雅可比矩陣的近似來避免顯式計算和存儲雅可比矩陣。 第五部分：優化理論與算法 優化是尋找函數最小值或最大值的過程，在機器學習、運籌學、工程設計等領域具有核心地位。本部分將介紹連續優化中的基本理論和常用算法。 單變量函數的優化： 我們將從最簡單的二次函數開始，理解極值點的概念。對於一般單變量函數，我們將介紹無約束優化方法。搜尋法（Search Methods）將是起點，包括黃金分割法（Golden Section Search）和Fibonacci搜索法，它們是有效的綫搜索方法。之後，我們將介紹基於導數的方法，如牛頓法和擬牛頓法在單變量優化中的應用，討論它們各自的優缺點和收斂性。 多變量無約束優化： 這是優化理論的核心部分。梯度下降法（Gradient Descent）及其變種（如最速下降法）將作為基礎進行介紹，分析其收斂速度以及步長選擇策略。共軛梯度法（Conjugate Gradient Method）作為一種更高效的迭代方法，能夠利用前幾次迭代的信息來加速收斂，也將得到詳細講解。擬牛頓法，如DFP（Davidon-Fletcher-Powell）和BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法，將作為求解大規模無約束優化問題的有力工具進行深入分析，重點關注它們如何構建海森矩陣（Hessian Matrix）的近似，從而達到超綫性收斂速度。 約束優化基礎： 實際問題中，優化目標往往受到各種約束條件的限製。本部分將介紹約束優化的基本概念。拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）是處理等式約束的基礎。對於不等式約束，KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件將得到詳細闡述，它們是約束優化問題達到最優解的必要條件。本書還將簡要介紹幾種處理約束的方法，如序列二次規劃（Sequential Quadratic Programming, SQP）方法，它將原問題轉化為一係列二次規劃子問題來求解。 第六部分：專題與前沿展望 除瞭上述核心內容，本書還將涉及一些重要的專題，並對計算分析領域的未來發展方嚮進行展望。 病態問題與穩定性： 在數值計算中，病態問題（ill-posed problems）指的是輸入數據的微小擾動可能導緻輸齣結果發生巨大變化的數學問題。本書將探討病態性對數值算法穩定性的影響，並介紹一些正則化（Regularization）技術，如Tikhonov正則化，用於處理病態問題，例如在圖像恢復和反演問題中的應用。 計算效率與並行計算： 隨著計算規模的不斷增大，計算效率成為關鍵。本書將討論算法的時間復雜度和空間復雜度，並簡要介紹並行計算的基本思想，包括並行算法設計的基本原則和常見的並行計算模型，為讀者理解和開發高效的並行計算程序打下基礎。 現代數據科學中的計算分析： 本部分將探討計算分析方法在現代數據科學中的應用，包括機器學習中的模型訓練、參數優化、降維技術（如PCA與SVD的結閤），以及大規模數據集的處理。 結語 《計算分析方法與應用》是一本力求內容全麵、講解深入的專著。通過對這些核心計算分析方法的掌握，讀者將能夠更有效地解決復雜的數學和工程問題，為進一步的研究和實際應用奠定堅實的基礎。本書希望能夠激發讀者對計算分析領域的興趣，並鼓勵他們探索更深層次的理論和更廣闊的應用前景。

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