具體描述
《現代概率論與隨機過程導論》 作者： [此處留空，或填寫虛擬作者名] 齣版社： [此處留空，或填寫虛擬齣版社名] 頁數： 約 650 頁（不含索引及附錄） 裝幀： 精裝/平裝（取決於虛擬設定） 定價： [此處留空，或填寫虛擬定價] --- 導言：概率的本質與隨機世界的秩序 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的現代概率論基礎，並以此為階梯，探索隨機過程這一描述動態係統演化的核心數學工具。我們生活在一個充滿不確定性的世界中——從金融市場的波動到自然界中粒子的運動，從信息論中的信道編碼到生物學中的基因漂變——所有這些現象都無法被完全確定的法則所描述，而必須訴諸概率的語言。 本書的結構設計精妙，力求在嚴謹性與直觀性之間取得完美的平衡。我們不將概率論僅僅視為一種計算工具，而是將其視為一種深刻的思維範式，一種處理信息不完全和係統內在隨機性的哲學方法。 第一部分：概率論的公理化基礎與基本結構 本部分為後續的隨機過程分析打下堅實的數理基礎。我們從概率論的基本公理（Kolmogorov公理）齣發，係統地構建概率空間的概念。 第一章：測度論的預備知識與概率測度 我們首先迴顧必要的實分析和測度論概念，如 $sigma$-代數、可測集、測度等。重點闡述如何通過勒貝格測度推廣到更一般的測度空間，並最終引齣概率測度的嚴格定義。概率測度 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 的每一個組成部分都將被細緻剖析，強調 $Omega$（樣本空間）的意義，$mathcal{F}$（事件域）的選擇限製，以及 $P$（概率函數）的性質。 第二章：隨機變量、分布函數與期望 隨機變量被定義為定義在概率空間上的、滿足特定可測性條件的函數。我們詳細區分離散型、連續型和混閤型隨機變量，並深入研究它們的概率質量函數 (PMF) 和概率密度函數 (PDF)。 期望 (Expectation) 作為一個核心概念，不僅通過黎曼積分（或勒貝格積分）進行定義，還從其作為測度論中 $L^1$ 範數的角度進行闡釋。本書特彆關注條件期望 (Conditional Expectation)，視其為隨機變量在給定信息下的“最佳預測”，這是連接概率論與隨機過程分析的橋梁。 第三章：收斂性、極限定理與大數定律 概率論的威力往往體現在對大量獨立事件的集閤行為的描述上。本章集中討論隨機變量的各種收斂模式：依概率收斂、幾乎必然收斂、以及 $L^p$ 收斂。 核心內容包括大數定律 (Law of Large Numbers) 的不同版本（弱大數定律和強大數定律）的證明與應用，以及無處不在的中心極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)。CLT 的證明將采用特徵函數（Characteristic Functions）這一強大工具，並展示其在近似計算中的不可替代性。 第二部分：隨機過程的構建與分類 在堅實的一維和多維隨機變量基礎上，本部分開始步入時間維度，係統介紹隨機過程的建模思想。隨機過程被視為一組隨著時間（或某個索引集）演化的隨機變量 ${X_t, t in T}$。 第四章：隨機過程的基本概念與分類 我們引入瞭隨機過程的數學框架，區分瞭離散時間過程與連續時間過程。對增量、獨立增量、平穩性 (Stationarity)（嚴平穩與寬平穩）等基本性質進行瞭嚴格的定義和辨析。如何判斷一個過程是否具有馬爾可夫性質，是本章的重點討論之一。 第五章：高斯過程與平穩過程 高斯過程 (Gaussian Processes) 作為在統計推斷和機器學習中極為重要的工具，將被詳細分析。其完全由均值函數和協方差函數完全確定。我們隨後深入研究平穩過程，特彆是二階矩平穩過程 (WSS)，並利用譜密度函數 (Spectral Density Function) 來刻畫其長期行為，這是傅裏葉分析在隨機過程中的關鍵應用。 第三部分：馬爾可夫鏈與隨機遊走 馬爾可夫鏈 (Markov Chains) 是離散狀態空間中最基礎、應用最廣泛的隨機過程模型，其核心在於“無後效性”——未來的狀態僅依賴於當前狀態，而與過去狀態無關。 第六章：離散時間馬爾可夫鏈 (DTMC) 本章詳細介紹 DTMC 的轉移概率矩陣，狀態空間的可約性、遍曆性、正常返與暫返。我們引入穩態分布 (Stationary Distribution) 的概念，並利用 Perron-Frobenius 定理來證明其存在性和唯一性。應用方麵，將討論如 MCMC（馬爾可夫鏈濛特卡洛）方法的理論基礎。 第七章：連續時間馬爾可夫鏈 (CTMC) 從離散時間跳轉到連續時間，我們引入轉移速率矩陣 (Infinitesimal Generator Matrix)。CTMC 的演化由一組常微分方程（Kolmogorov Forward 和 Backward 方程）所支配。本書將詳細分析如何求解這些方程，特彆關注平衡態的計算。 第八章：隨機遊走與鞅論基礎 隨機遊走 (Random Walks) 是馬爾可夫鏈在特定場景下的具體體現。我們將分析一維和二維隨機遊走的可達性、以及著名的“賭徒破産問題”。 最後，本部分將為進入更高級的主題做鋪墊，引入鞅 (Martingales) 的概念。鞅是連續時間隨機過程中的一個特殊類，它錶示一個“公平的賭注”過程，是構建布朗運動和隨機積分理論的基石。 第四部分：布朗運動、隨機微積分與泊鬆過程 這是本書的最後一部分，涉及連續時間、連續狀態空間的隨機過程，也是現代隨機分析的精髓所在。 第九章：維納過程（布朗運動） 布朗運動 (Brownian Motion, 或稱 Wiener Process) 被視為自然界中最基本的連續時間隨機過程，具有獨立增量、平穩增量且服從正態分布的特性。我們將從其構造（如通過無限和的極限）開始，推導其關鍵性質，包括二次變差的確定性結果。 第十章：隨機積分與伊藤引理 為瞭處理依賴於布朗運動的隨機函數的微分方程，傳統的勒貝格積分已不足以勝任。本章引入伊藤積分 (Itô Integral)，這是一種針對隨機過程的積分定義。隨後，我們將係統闡述伊藤引理 (Itô's Lemma)，這是隨機微積分中的“鏈式法則”，是解決隨機微分方程 (SDE) 的核心工具。 第十一章：隨機微分方程 (SDE) 與應用 利用伊藤引理，我們開始求解形式為 $dX_t = mu(X_t, t) dt + sigma(X_t, t) dW_t$ 的 SDE。我們將分析幾種重要的 SDE 模型的解，例如 Ornstein-Uhlenbeck 過程和幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)。 第十二章：泊鬆過程與 Renewal 過程 泊鬆過程 (Poisson Process) 是描述事件發生的隨機計數過程，廣泛應用於排隊論和可靠性工程。我們將探究其“無記憶性”的本質。此外，我們還將延伸到再生過程 (Renewal Processes)，考察事件之間時間間隔的分布對係統長期行為的影響。 總結與展望 本書的完成，標誌著讀者已掌握瞭處理現代隨機現象的強大工具箱。從概率論的公理化基石到隨機過程的動態建模，再到隨機微積分的尖端技術，讀者應能獨立分析並構建涉及不確定性演化的數學模型。本書的深度和廣度，使其不僅是本科高年級和研究生概率論課程的理想教材，也是金融工程、物理、通信和統計學領域研究人員的必備參考書。 --- 附錄： 附錄 A：概率論中的分析工具迴顧 附錄 B：傅裏葉分析與特徵函數 附錄 C：隨機過程中的基本矩陣代數 索引： 詳盡的術語索引，便於快速查閱關鍵概念。
作者簡介
目錄資訊
讀後感
評分
評分
評分
評分
評分
用戶評價
评分
评分
评分
评分
评分
相關圖書
本站所有內容均為互聯網搜索引擎提供的公開搜索信息，本站不存儲任何數據與內容，任何內容與數據均與本站無關，如有需要請聯繫相關搜索引擎包括但不限於百度，google,bing,sogou 等
© 2026 onlinetoolsland.com All Rights Reserved. 本本书屋 版权所有