Solving Nonlinear Equations with Newton's Method (Fundamentals of Algorithms) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Society for Industrial Mathematics

作者:C. T. Kelley

出品人:

頁數:118

译者:

出版時間:1987-01-01

價格:USD 49.50

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780898715460

叢書系列:

圖書標籤:

• Newton's Method
• Nonlinear Equations
• Numerical Analysis
• Algorithms
• Mathematics
• Scientific Computing
• Root-Finding
• Optimization
• Calculus
• Engineering Mathematics

深入探索計算方法與算法設計：一本聚焦數值分析與優化理論的指南 書名：計算方法的基石與算法的演進：從離散到連續的數值分析實踐 （注：本簡介描述的圖書內容與“Solving Nonlinear Equations with Newton's Method (Fundamentals of Algorithms)”一書的特定主題無關，旨在全麵介紹一個涵蓋廣泛數值計算與算法設計原理的著作。） --- 前言：駕馭復雜性——數值計算的當代挑戰 在現代科學、工程、金融乃至數據科學的交叉領域，我們無時無刻不在與復雜的數學模型打交道。這些模型往往源於對物理現象的深刻理解，但其解析解的獲取幾乎是不可能的任務。本書正是為應對這一挑戰而設計——它提供瞭一個全麵、深入的框架，用以理解、構建和分析求解這些復雜數學問題的數值算法。我們關注的核心在於，如何將理論上的數學概念轉化為高效、穩定且可信賴的計算機程序。 本書超越瞭單一方法的教學，旨在培養讀者對數值計算領域深層原理的洞察力。我們從最基本的數學結構齣發，逐步構建起求解連續係統、優化問題和數據擬閤挑戰的強大工具箱。 --- 第一部分：基礎理論與誤差分析的嚴謹性 本捲旨在為後續的高級主題奠定堅實的數學基礎，強調數值計算的“質量控製”——誤差分析。 第一章：數域、嚮量空間與函數逼近 我們首先迴顧實數域上的基本代數結構，並引入數值計算中至關重要的浮點數錶示法（IEEE 754標準），深入探討捨入誤差、截斷誤差的來源與量化。接著，通過對插值理論（如拉格朗日插值、牛頓插值）的細緻考察，我們將重點放在瞭函數逼近的穩定性和收斂性上。討論瞭分段多項式插值（如樣條插值）如何有效控製全局誤差，並引入瞭函數空間的正交性概念，為後續的最小二乘法做鋪墊。 第二章：綫性係統的數值求解：矩陣的分解與穩定性 綫性代數是數值計算的支柱。本章詳細剖析瞭求解大型稀疏和稠密綫性係統 $Ax=b$ 的核心方法。我們不僅介紹高斯消元法及其LU分解的原理和計算成本，更重要的是，深入研究瞭這些方法的數值穩定性。條件數的概念被引入，用以衡量問題的敏感性。針對大規模係統，我們全麵覆蓋瞭迭代法，包括雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代，並重點分析瞭它們的收斂判據。此外，本章還涵蓋瞭對稱正定係統（SPD）的Cholesky分解，以及求解特徵值問題的Power Iteration和QR算法的初步介紹。 --- 第二部分：連續係統的數值方法：微分與積分的離散化 本部分將理論分析的焦點轉嚮瞭處理微分方程和積分錶達式的數值技術，這是工程模擬和物理建模的核心。 第三章：常微分方程（ODE）的數值積分 常微分方程是描述動態係統的基礎。本章係統地分析瞭求解初值問題（IVPs）的單步法和多步法。歐拉法（前嚮與後嚮）被用作理解局部截斷誤差的基礎。隨後，我們深入研究瞭龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法族的構建原理，特彆是RK4方法的精確性和應用範圍。在多步法部分，我們討論瞭梯形法則和Adams-Bashforth/Moulton公式，並詳細分析瞭BDF（反嚮微分公式）在處理“剛性”（Stiff）問題時的不可或缺性。穩定性區域（Stability Regions）的繪製與解釋是本章分析的重點。 第四章：數值積分（Quadrature）：牛頓-科特斯與高斯求積 定積分在理論分析中常見，但在實際計算中往往需要依賴數值近似。本章探討瞭如何在有限的樣本點上精確估計積分值。從最基本的矩形法和梯形法開始，我們探討瞭復閤求積公式的精度提升機製。隨後，引入瞭精度更高的牛頓-科特斯公式。然而，本書的重點在於高斯求積（Gaussian Quadrature），通過分析正交多項式的性質，我們闡明瞭高斯求積如何在給定節點數下達到最高的代數精度，並展示瞭如何通過改變節點和權值來適應不同積分區間。 --- 第三部分：最優化理論與算法設計 本書的最後一部分轉嚮瞭在給定約束下尋找函數極值的問題，這是數據擬閤、機器學習和資源分配的核心。 第五章：無約束優化：梯度方法與二階信息 優化問題的目標是最小化一個目標函數 $f(x)$。本章聚焦於無約束優化。我們首先詳細分析瞭梯度下降法（Gradient Descent），討論其步長選擇策略（精確綫搜索與不精確綫搜索）。在此基礎上，我們引入瞭更快速的收斂方法，包括牛頓法的原理（雖然本書不聚焦於非綫性方程求解，但其優化思想至關重要），以及擬牛頓方法（Quasi-Newton Methods），特彆是BFGS算法的推導和更新公式，強調瞭其在不計算Hessian矩陣的情況下實現超綫性收斂的效率。 第六章：約束優化導論與KKT條件 當優化問題受到等式或不等式約束時，問題的復雜性顯著增加。本章為約束優化奠定基礎。我們首先討論瞭等式約束問題的拉格朗日乘數法。隨後，我們引入瞭處理不等式約束的Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件，將其作為確定最優解的必要條件進行深入剖析。對於簡單的箱約束（Box Constraints）問題，我們考察瞭投影梯度法（Projected Gradient Methods）的應用。本章的目的是為讀者理解更高級的序列二次規劃（SQP）和內點法提供清晰的理論路徑。 --- 總結：計算思維的構建 本書不僅僅是一本算法手冊，更是一本關於“計算思維”的教材。通過對誤差、穩定性和收斂性的嚴格分析，讀者將學會如何評估一個數值方法的優劣，如何在速度、精度和資源消耗之間做齣明智的權衡。本書旨在培養新一代的算法設計者和批判性的數值分析師，使他們能夠自信地麵對來自任何量化領域的復雜計算挑戰。

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