Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction (Courant Lecture Notes) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:American Mathematical Society (July 2004)

作者:V. S. Varadarajan

出品人:

頁數:300

译者:

出版時間:2004-7

價格:USD 43.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780821835746

叢書系列:Courant Lecture Notes in Mathematics

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量子場論的數學結構與幾何視角：從規範理論到拓撲場論 圖書名稱： 量子場論的數學結構與幾何視角：從規範理論到拓撲場論 作者： [虛構作者姓名，例如：阿德裏安·費捨爾 (Adrian Fischer) 與 伊麗莎白·文森特 (Élisabeth Vincent)] 頁數： 約 650 頁 目標讀者： 具有紮實的微分幾何、代數拓撲基礎的理論物理學傢、數學物理學傢，以及高階理論物理學研究生。 --- 內容概述 本書旨在為讀者提供一個深入而係統的視角，用以理解現代理論物理學中，特彆是量子場論（QFT）的核心數學骨架。我們摒棄瞭傳統物理學教材中側重於計算和初等微擾方法的敘事，轉而聚焦於從純粹的數學結構——如縴維叢、聯絡、上同調理論以及非交換幾何——如何精確地描述量子場論的物理內容。 全書分為四個緊密聯係的部分，層層遞進，將讀者從經典場論的幾何基礎，引導至最前沿的拓撲量子場論（TQFT）與弦論的數學對偶。我們堅信，隻有將物理直覺植根於堅實的數學框架，纔能真正把握規範理論的內在一緻性和量子效應的深層起源。 --- 第一部分：幾何基礎與規範理論的黎曼化（The Riemannianization of Gauge Theory） 本部分奠定瞭全書的數學基石，重點在於重構經典場論（如楊-米爾斯理論）的語言，使其完全適配於現代微分幾何。 第一章：縴維叢與聯絡的規範本體論 我們從可微流形和嚮量叢開始，詳細討論主縴維叢 $P o M$ 和陪叢 $E o M$ 之間的關係。核心內容包括：聯絡（Connection）的定義、麯率（Curvature）的嘉當-陳示（Cartan-Chern formulation），以及其與規範勢 $A_mu$ 的精確對應。我們將深入探討規範群 $G$ 的作用及其在叢上的提升，特彆關注第一類和第二類陳示（Chern-Simons 形式）的構造及其積分性質。 第二章：經典場論的拉格朗日密度與變分原理的幾何重述 本章將變分原理（Euler-Lagrange 方程）提升到微分形式的語言。我們引入辛形式 $omega$ 和泊鬆括號的概念，考察經典場作為光滑函數在規範極小化流形 (Gauge Slicing Manifolds) 上的演化。重點分析瞭規範對稱性的內稟對稱性（Intrinsic Symmetries）如何通過諾特定理的幾何推廣，即德·拉姆同調（de Rham Cohomology）與上充實結構（Augmented Structures）相聯係。 第三章：規範場論的拓撲不變量：陳類與荷 本章是幾何物理學的核心。我們詳細推導瞭陳類（Chern Classes）在規範場論中的物理意義。從 $U(1)$ 理論中的第一陳類到 $SU(N)$ 理論中的陳-龐加萊（Chern-Weil）理論，我們嚴格證明瞭電荷、色荷等物理量如何被編碼為流形 $M$ 上的拓撲不變量。此外，我們引入瞭龐加萊對偶性 (Poincaré Duality) 來理解磁單極子和瞬子（Instantons）的拓撲荷。 --- 第二部分：量子化與重整化群的代數結構（Algebraic Structures of Quantization and RG Flow） 在建立瞭幾何框架後，我們轉嚮量子場論的數學構造。本部分著重於如何用代數和算子代數來規避傳統正則量化帶來的病態問題。 第四章：代數量化：構造可交換的代數 本章將量子場論視為某種泛函代數（Functional Algebra）的演化。我們詳細考察瞭威斯剋代數（Wightman Algebra）和玻恩-魯迪格代數（Borchers Algebra），重點是利用因果結構（Causal Structure）來定義乘積，從而保證瞭微擾展開的局域性和洛倫茲協變性。我們批判性地分析瞭使用規範不變的場算子在代數層麵上的睏難。 第五章：重整化群（RG）作為非迭代映射 我們將重整化群流視為作用在結構群流形（The Space of Couplings）上的動力係統。重點不再是計算β函數，而是理解RG流的不動點（Fixed Points）及其吸引子集（Attractors）。我們引入瞭因果擾動論（Causal Perturbation Theory, CPT）和代數重整化 (Algebraic Renormalization) 的概念，展示瞭如何使用泰勒展開的代數結構（Formal Power Series Algebra）來係統地消除紫外綫發散，而無需訴諸於截斷或正則化過程。 第六章：非交換幾何與磁通量 本章探索瞭當規範群 $G$ 不再是李群，而是更一般的代數結構時（例如在非交換幾何框架下），物理場會如何錶現。我們使用環空間（Spectral Triples）的語言來描述磁通量對時空結構的影響，特彆是探討瞭在非交換空間中，狄拉剋算子如何與規範聯絡耦閤，為理解弦理論中的D-膜提供瞭數學工具。 --- 第三部分：拓撲場論與霍莫托匹理論（Topological Field Theories and Homotopy Theory） 拓撲場論（TQFT）是連接幾何與量子場論的橋梁，它揭示瞭許多物理量如何獨立於度量而僅依賴於流形的拓撲結構。 第七章：西格瑪模型與維滕的構造 我們從二維（2D）共形場論（CFT）齣發，導引齣西格瑪模型（Sigma Model）的拉格朗日量，並論證瞭其在黎曼麵上如何退化為一個 TQFT（即，當 Kählér 模空間被凍結時）。本章的核心是深入解析維滕（Witten）的拓撲場論構造，特彆是如何將規範場論的路徑積分轉化為對陳-西格斯理論（Chern-Simons Theory）的積分，展示瞭路徑積分的拓撲形變（Topological Deformation）。 第八章：（n+1）維 TQFT 的數學要求：阿蒂亞的五公理 本章嚴格闡述瞭邁剋爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）對 TQFT 的數學定義。我們詳細分析瞭張量範疇（Tensor Categories）在描述 TQFT 中的作用，特彆是如何用歐幾裏得區域上的態嚮量空間（Hilbert Spaces）與邊界上的鏈復形（Chain Complexes）來精確描述維度降階的映射。讀者將學會區分真正是拓撲的理論與僅在邊界上具有拓撲性質的理論。 第九章：規範群的錶示論與紐結不變量 本章展示瞭 TQFT 在低維度下的具體應用：瓊斯多項式（Jones Polynomial）和卡爾森-霍薩科（Kauffman-Khovanov）鏈復形。我們證明瞭 $ ext{SU}(N)$ 陳-西格斯理論中，電荷（Wilson Loops）的期望值如何精確地計算齣特定紐結的拓撲不變量，從而為紐結理論提供瞭物理學的深刻解釋。 --- 第四部分：弦論的數學對偶與邊界理論（Mathematical Dualities and Boundary Theories） 最後一部分將視角擴展到超越傳統 QFT 的領域，聚焦於弦論中的對偶性，以及它們如何通過幾何對偶來重塑我們對場論的理解。 第十章：雙重性：S 對偶與 T 對偶的代數基礎 我們考察瞭強耦閤和弱耦閤之間的物理等價性（S-對偶）。本章將 S-對偶提升到數學層麵，探討瞭模空間（Moduli Spaces）上的變換性質。隨後，我們分析瞭T-對偶如何通過雙重規範理論（Dual Gauge Theories）的構建來實現，特彆是利用非交換環（Noncommutative Rings）和傅立葉-穆卡伊變換（Fourier-Mukai Transforms）來描述動量和捲繞數之間的互換。 第十一章：AdS/CFT 對應：反德西特空間與共形場論 本章將 AdS/CFT 對應作為一個深刻的幾何/代數對偶來分析。我們詳細討論瞭共形場論（CFT）在（d-1）維邊界上的結構，如何由 (d+1) 維反德西特空間 (AdS) 上的經典引力理論所描述。重點在於 共形群的錶示論 與 AdS 幾何的邊界條件 之間的精確匹配。 第十二章：拓撲弦與幾何的交織 作為總結，本章迴到幾何，討論拓撲弦理論（Topological String Theory）的背景。我們將展示拓撲弦如何通過關聯A模型（A-Model，與辛幾何相關）和B模型（B-Model，與復幾何相關）來揭示卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）的深刻代數幾何特性。特彆是，我們闡述瞭鏡像對稱（Mirror Symmetry）的物理實現及其作為兩種不同 TQFT 之間的對偶關係。 --- 總結特色 本書的特色在於其嚴格的數學推導和對核心概念的幾何還原。它不是一本計算手冊，而是一本關於原理的著作，旨在教會讀者如何用數學傢的語言來“思考”量子場論的內在邏輯。通過本書，讀者將掌握超越微擾理論的、基於拓撲和幾何結構的強大分析工具。

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