《矩阵计算六讲》
前言
第一讲schur 分解的计算1
1.1 标准schur 分解的计算 1
1.1.1 householder 变换和givens 变换 1
1.1.2 schur 分解定理 5
1.1.3 实schur 分解 7
1.1.4 qr 方法 8
1.1.5 实schur 标准形之对角块的排序问题 26
1.2 广义schur 分解的计算 28
1.2.1 广义schur 分解定理 28
1.2.2 广义实schur 分解 29
1.2.3 qz 方法 31
1.2.4 广义实schur 标准形之对角块的排序问题 40
1.3 周期schur 分解的计算 42
1.3.1 周期schur 分解定理 42
1.3.2 周期实schur 分解 44
1.3.3 周期qz 方法 46
1.3.4 周期实schur 标准形之对角块的排序问题 58
习题 61
.第二讲多项式之根的快速求法64
2.1 引言 64
2.1.1 基本问题 64
2.1.2 基本理论 65
2.2 newton-horner 方法 67
2.2.1 newton 迭代法简介 67
2.2.2 newton-horner 方法 70
2.3 快速qr 方法 73
2.3.1 友矩阵 74
2.3.2 hn 类矩阵和它的参数化 75
2.3.3 单步位移的快速qr 迭代 82
2.3.4 双重步位移的隐式快速qr 迭代 90
2.3.5 具体实现时的几个问题 96
习题 98
第三讲奇异值分解的计算100
3.1 基本概念和性质 100
3.2 golub-kahan svd 算法 105
3.2.1 对称qr 方法概要 106
3.2.2 golub-kahan svd 算法 109
3.3 分而治之法 116
3.3.1 求解对称特征值问题的分而治之法 117
3.3.2 计算奇异值分解的分而治之法 127
3.4 jacobi 方法 134
3.4.1 求解对称特征值问题的jacobi 方法 135
3.4.2 计算奇异值分解的jacobi 方法 141
3.5 二分法 147
3.5.1 求解对称特征值问题的二分法 147
3.5.2 计算奇异值的二分法 152
习题 153
第四讲krylov 子空间方法i 155
4.1 引言 155
4.2 krylov 子空间 157
4.2.1 krylov 子空间及其性质 157
4.2.2 arnoldi 分解 160
4.2.3 lanczos 分解 165
4.3 rayleigh-ritz 方法 166
4.3.1 rayleigh-ritz 投影方法 166
4.3.2 rayleigh 商的最佳逼近性 167
4.4 arnoldi 方法 170
4.4.1 经典arnoldi 算法 170
4.4.2 隐式重启arnoldi 算法 172
4.4.3 位移求逆技术 180
4.5 lanczos 方法 181
4.5.1 经典lanczos 算法 181
4.5.2 收敛性理论 182
4.5.3 重启lanczos 算法 192
习题 197
第五讲krylov 子空间方法ii 200
5.1 引言 200
5.2 共轭梯度法 201
5.2.1 基本迭代格式 201
5.2.2 收敛性分析 207
5.3 极小剩余法 210
5.3.1 minres 算法 211
5.3.2 收敛性分析 216
5.4 广义极小剩余法 217
5.4.1 gmres 算法 217
5.4.2 收敛性分析 221
5.5 拟极小剩余法 228
5.5.1 非对称lanczos 方法 229
5.5.2 qmr 算法 233
5.6 投影类方法 236
5.6.1 bcg 方法 237
5.6.2 cgs 方法 240
5.6.3 bicgstab 方法 243
习题 247
第六讲共轭梯度法248
6.1 引言 248
6.2 最优步长的计算 251
6.3 最速下降法 254
6.3.1 经典最速下降法 254
6.3.2 收缩最速下降法 255
6.3.3 梯度型同时迭代法 257
6.3.4 预优最速下降法 259
6.4 共轭梯度法 263
6.4.1 共轭梯度法 263
6.4.2 收缩共轭梯度法 266
6.4.3 共轭梯度型同时迭代法 267
6.4.4 预优共轭梯度法 268
6.5 预优梯度型子空间迭代法 269
6.5.1 pgs 迭代法 269
6.5.2 收敛性分析 271
习题 292
符号和定义294
参考文献300
· · · · · · (收起)