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出版者:高等教育出版社

作者:徐树方

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2011-6

价格:49.00元

装帧:

isbn号码:9787040319668

丛书系列:现代数学基础

图书标签:

数学
矩阵计算
数值代数
线性代数
矩阵
现代数学基础
数值计算
其余代数5
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具体描述

《矩阵计算六讲》较系统地介绍了矩阵计算这门学科近十年来发展起来的新方法和新理论。全书共分6 讲，内容包括：标准schur 分解、广义schur 分解和周期schur 分解的计算，特征值的排序问题，多项式之根的快速求法，奇异值分解的计算，求解线性方程组和特征值问题的krylov 子空间方法，以及求解特征值问题的共轭梯度法。

《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点放在了反映该学科的最新进展上；在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明；在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。

《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。

《精巧的几何：图形的艺术与科学》本书是一部关于几何学之美与实用性的深度探索，旨在带领读者穿越二维平面和三维空间的奥秘，领略几何学作为一门古老而又充满活力的学科所蕴含的逻辑之美、直观之巧以及其在现代世界中的广泛应用。我们不以枯燥的定理堆砌为目的，而是以引导性的方式，从直观的感知出发，逐步深入到严谨的证明和概念的构建。第一讲：点、线、面——构成世界的基石我们将从最基础的几何元素——点、线、面——开始。在本讲中，你将看到这些看似简单抽象的概念是如何构建起我们所见所感的现实世界。我们将探讨点的位置属性、线的方向性与无限延伸，以及面所定义的封闭与界限。通过对直线、射线、线段的辨析，理解它们在度量和定位中的基础作用。我们将介绍各种角，从锐角、直角到钝角和周角，以及它们在图形中的相互关系，如对顶角、邻补角等，这些是理解更复杂图形的关键。此外，我们还会初步接触到平面图形的周长与面积概念，为后续的深入学习打下基础。第二讲：多边形的王国——从简单到复杂本讲将专注于多边形的世界。我们将从最基本的三角形开始，深入剖析其内角和定理，以及各种特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形）的性质。随后，我们将进阶到四边形，重点讲解平行四边形、矩形、菱形、正方形以及梯形的定义、判定及其特有的边、角、对角线关系。我们会通过实际的例子，展示这些图形在建筑、设计乃至自然界中的体现。进一步，我们将探讨具有更多边的多边形，如正五边形、正六边形等，以及凸多边形和凹多边形的区别。理解多边形的内角和外角公式，以及如何计算它们。第三讲：圆的优雅——连续与无限的和谐圆，作为一种极致完美的曲线，将在本讲中成为焦点。我们将详细介绍圆的构成要素：圆心、半径、直径，以及点与圆、直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。圆周长和面积的计算公式将通过几何直观和代数推导相结合的方式呈现。我们还会深入研究圆的各种相关概念，如弧、弦、扇形、弓形，以及圆心角、圆周角的关系。圆幂定理是本讲的重头戏，它揭示了圆内相交弦、相交割线以及割线与切线之间数量关系的深刻联系。我们将通过实际问题，展示圆在导航、工程测量以及艺术设计中的重要作用。第四讲：三维空间的探索——从平面到立体本讲将带领读者从熟悉的二维平面走向广阔的三维空间。我们将介绍各种基本立体图形，包括柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体以及台体。重点将放在理解这些立体图形的构成要素：顶点、边、面，以及它们的表面积和体积计算。我们将探讨平行、垂直的概念在三维空间中的扩展，以及点、线、面之间的位置关系。例如，我们将研究棱柱和圆柱的侧面展开图，理解其表面积的构成。对于球体，我们将介绍其表面积和体积的简洁公式，并探讨其在宇宙学和物理学中的意义。第五讲：变换的艺术——图形的运动与变形几何学不仅仅是静态的描述，更包含着动态的变换。本讲将聚焦于图形的几何变换，包括平移、旋转、对称（轴对称、中心对称）和相似。我们将学习如何运用这些变换来分析图形的性质，识别图形之间的联系，甚至创造新的图形。通过对平移、旋转、对称的性质分析，理解它们在保持图形形状和大小不变的前提下对其位置和方向的影响。相似变换将是本讲的重点，我们将深入理解相似图形的定义，以及它们之间边长、周长、面积和体积的关系。我们将展示相似在地图绘制、模型制作、艺术创作以及工程缩放等领域的广泛应用。第六讲：几何的应用——连接理论与实践在最后一讲，我们将汇聚前五讲的知识，集中探讨几何学在现实世界中的具体应用。我们将展示如何运用几何原理解决实际问题，从简单的测量和规划，到复杂的工程设计和科学研究。你将看到，无论是在建筑师勾勒宏伟蓝图时，还是在软件工程师设计三维模型时，抑或是在天文学家研究星体轨迹时，几何学都扮演着不可或缺的角色。我们将通过一些实际案例，例如如何计算不规则土地的面积、如何设计具有特定功能的机械零件、如何理解光学成像原理等，来生动地展示几何学的强大生命力和创造力。本讲旨在激发读者对几何学进一步探索的兴趣，并认识到几何学作为一门基础学科，其价值远远超出课堂的范畴，渗透到我们生活的方方面面。《精巧的几何：图形的艺术与科学》不仅仅是一本书，更是一次启迪思维、培养空间想象力和逻辑分析能力的旅程。它将帮助你以全新的视角观察世界，发现隐藏在日常事物中的数学之美，并为你解决现实问题提供有力的工具。

作者简介

目录信息

《矩阵计算六讲》
前言
第一讲schur 分解的计算1
1.1 标准schur 分解的计算 1
1.1.1 householder 变换和givens 变换 1
1.1.2 schur 分解定理 5
1.1.3 实schur 分解 7
1.1.4 qr 方法 8
1.1.5 实schur 标准形之对角块的排序问题 26
1.2 广义schur 分解的计算 28
1.2.1 广义schur 分解定理 28
1.2.2 广义实schur 分解 29
1.2.3 qz 方法 31
1.2.4 广义实schur 标准形之对角块的排序问题 40
1.3 周期schur 分解的计算 42
1.3.1 周期schur 分解定理 42
1.3.2 周期实schur 分解 44
1.3.3 周期qz 方法 46
1.3.4 周期实schur 标准形之对角块的排序问题 58
习题 61
.第二讲多项式之根的快速求法64
2.1 引言 64
2.1.1 基本问题 64
2.1.2 基本理论 65
2.2 newton-horner 方法 67
2.2.1 newton 迭代法简介 67
2.2.2 newton-horner 方法 70
2.3 快速qr 方法 73
2.3.1 友矩阵 74
2.3.2 hn 类矩阵和它的参数化 75
2.3.3 单步位移的快速qr 迭代 82
2.3.4 双重步位移的隐式快速qr 迭代 90
2.3.5 具体实现时的几个问题 96
习题 98
第三讲奇异值分解的计算100
3.1 基本概念和性质 100
3.2 golub-kahan svd 算法 105
3.2.1 对称qr 方法概要 106
3.2.2 golub-kahan svd 算法 109
3.3 分而治之法 116
3.3.1 求解对称特征值问题的分而治之法 117
3.3.2 计算奇异值分解的分而治之法 127
3.4 jacobi 方法 134
3.4.1 求解对称特征值问题的jacobi 方法 135
3.4.2 计算奇异值分解的jacobi 方法 141
3.5 二分法 147
3.5.1 求解对称特征值问题的二分法 147
3.5.2 计算奇异值的二分法 152
习题 153
第四讲krylov 子空间方法i 155
4.1 引言 155
4.2 krylov 子空间 157
4.2.1 krylov 子空间及其性质 157
4.2.2 arnoldi 分解 160
4.2.3 lanczos 分解 165
4.3 rayleigh-ritz 方法 166
4.3.1 rayleigh-ritz 投影方法 166
4.3.2 rayleigh 商的最佳逼近性 167
4.4 arnoldi 方法 170
4.4.1 经典arnoldi 算法 170
4.4.2 隐式重启arnoldi 算法 172
4.4.3 位移求逆技术 180
4.5 lanczos 方法 181
4.5.1 经典lanczos 算法 181
4.5.2 收敛性理论 182
4.5.3 重启lanczos 算法 192
习题 197
第五讲krylov 子空间方法ii 200
5.1 引言 200
5.2 共轭梯度法 201
5.2.1 基本迭代格式 201
5.2.2 收敛性分析 207
5.3 极小剩余法 210
5.3.1 minres 算法 211
5.3.2 收敛性分析 216
5.4 广义极小剩余法 217
5.4.1 gmres 算法 217
5.4.2 收敛性分析 221
5.5 拟极小剩余法 228
5.5.1 非对称lanczos 方法 229
5.5.2 qmr 算法 233
5.6 投影类方法 236
5.6.1 bcg 方法 237
5.6.2 cgs 方法 240
5.6.3 bicgstab 方法 243
习题 247
第六讲共轭梯度法248
6.1 引言 248
6.2 最优步长的计算 251
6.3 最速下降法 254
6.3.1 经典最速下降法 254
6.3.2 收缩最速下降法 255
6.3.3 梯度型同时迭代法 257
6.3.4 预优最速下降法 259
6.4 共轭梯度法 263
6.4.1 共轭梯度法 263
6.4.2 收缩共轭梯度法 266
6.4.3 共轭梯度型同时迭代法 267
6.4.4 预优共轭梯度法 268
6.5 预优梯度型子空间迭代法 269
6.5.1 pgs 迭代法 269
6.5.2 收敛性分析 271
习题 292
符号和定义294
参考文献300
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

本书在构建知识体系的逻辑性上达到了一个令人称奇的高度，它不是简单地将矩阵运算的各个知识点堆砌起来，而是围绕着“如何高效、准确地解决线性系统问题”这一主线，层层递进地展开。从最基础的矩阵代数回顾，到 LU 分解、Cholesky 分解的精确求解，再到面对超定/欠定系统时 QR 分解和 SVD 的巧妙运用，每一步都如同精密齿轮般咬合，没有丝毫的松动或冗余。我感受到作者在章节布局上花费了巨大的心血，确保了读者在掌握一种分解方法后，能够自然而然地过渡到更高级、更具鲁棒性的方法。尤其是对于大规模稀疏矩阵的处理部分，书中提及的预条件子和 Krylov 子空间方法的介绍，虽然篇幅相对精炼，但其点睛之笔的概括，为我指明了后续深入研究的明确方向，让人在有限的篇幅内获得了无限的启发。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的行文风格非常大胆且富有个人魅力，它不像传统教科书那样板着脸孔堆砌公式，反而更像是一位经验丰富的导师，在咖啡馆里与你进行一场关于数值稳定的深度对话。我特别喜欢作者在介绍矩阵求逆的数值稳定性问题时，所采用的那种娓娓道来的叙述方式。他没有直接给出冷冰冰的稳定性定理，而是通过一个精心构造的“病态矩阵”实例，展示了微小输入误差如何被灾难性地放大，这种可视化冲击力远胜过单纯的数学推导。这种“讲故事”的方式，使得那些原本晦涩难懂的数值分析概念，变得生动且容易被记忆和内化。此外，书中对算法复杂度的分析也极其到位，从理论复杂度到实际运行时间的考量，都体现出作者深厚的工程实践背景。对于我们这些希望将理论应用于实际计算平台的读者来说，这种前瞻性的视角价值连城。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一场思维的重塑。作者对于矩阵分解的“哲学”理解令人耳目一新。他似乎在不断地挑战我们固有的思维定势，引导我们去思考是否存在比教科书上标准算法更优化的替代方案。例如，在讲解特征值计算时，书中对 Lanczos 算法和 Arnoldi 迭代的描述，着重强调了它们如何巧妙地在低维子空间中逼近真实问题的解，这是一种极为务实的“近似”艺术。这种对近似计算的推崇，尤其是在计算资源日益成为瓶颈的今天，显得尤为宝贵。书中对计算效率与精度之间的权衡分析，并非简单的二元对立，而是展示了如何在实践中找到那个最佳的平衡点，这是一种成熟的、饱含智慧的计算方法论的传授。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和插图质量，也为这段学习旅程增添了许多愉悦感。那些原本抽象的向量空间变换，通过作者精心设计的二维或三维图形展示出来，瞬间变得具象化、可触摸。我发现自己不再需要反复在脑海中构建复杂的几何模型，因为图示已经帮我完成了大部分的构建工作。特别是一些关于投影和最小二乘问题的几何解释图，简直是教科书级别的范例。同时，书中在引入新的数学工具时，往往会附带历史背景的简短介绍，这让整个学习过程充满了人文气息，不再是冰冷的符号堆砌。这种对细节的极致追求——从理论的严谨性到视觉的易读性——共同塑造了一本真正值得反复研读的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度实在是令人印象深刻，它就像一位技艺精湛的工匠，用最精炼的语言雕琢出复杂的数学概念。我尤其欣赏作者在讲解核心理论时所展现出的那种庖丁解牛般的清晰度。很多其他教材在处理特征值分解或奇异值分解（SVD）时，往往会陷入过度抽象的泥潭，让初学者望而却步，但这本书却能巧妙地将高深的数学语言转化为直观的几何图像和社会应用场景。例如，在讨论迭代法收敛性时，书中引入的例子不再是枯燥的数值序列，而是与实际工程优化问题紧密相连的案例分析，这极大地激发了我继续深入学习的动力。读完相关章节，我感觉自己不仅仅是学会了如何计算，更重要的是理解了“为什么”要这样做，以及在不同约束条件下该选择哪种算法，这对于我后续进行大规模数据分析和建模工作打下了极为坚实的基础。那种如同拨云见日般的豁然开朗，是很多纸上谈兵的教材所无法给予的阅读体验。

评分☆☆☆☆☆