目錄
第一篇　復變函數論
第1章　復數與復變函數2
1.1　復數概念及其運算3
1.1.1　復數概念3
1.1.2　復數的基本代數運算4
1.2　復數的錶示4
1.2.1　復數的幾何錶示4
1.2.2　復數的三角錶示5
1.2.3　復數的指數錶示6
1.2.4　共軛復數6
1.2.5　復球麵、無窮遠點7
1.3　復數的乘冪與方根8
1.3.1　復數的乘冪8
1.3.2　復數的方根9
1.3.3　實踐編程：正17邊形的幾何作圖法10
1.4　區域11
1.4.1　基本概念11
1.4.2　區域的判斷方法及實例分析13
1.5　復變函數14
1.5.1　復變函數概念14
1.5.2　復變函數的幾何意義———映射15
1.6　復變函數的極限16
1.6.1　復變函數極限概念16
1.6.2　復變函數極限的基本定理16
1.7　復變函數的連續17
1.7.1　復變函數連續的概念17
1.7.2　復變函數連續的基本定理18
1.8　典型綜閤實例18
小結23
習題24
計算機仿真編程實踐25
第2章　解析函數27
2.1　復變函數導數與微分27
2.1.1　復變函數的導數27
2.1.2　復變函數的微分概念29
2.1.3　可導的必要條件29
2.1.4　可導的充分必要條件31
2.1.5　求導法則32
2.1.6　復變函數導數的幾何意義33
2.2　解析函數34
2.2.1　解析函數的概念34
2.2.2　解析函數的法則35
2.2.3　函數解析的充分必要條件35
2.2.4　解析函數的幾何意義（映射的保角性） 38
2.3　初等解析函數39
2.3.1　指數函數（單值函數） 39
2.3.2　對數函數———指數函數的反函數（多值函數） 40
2.3.3　三角函數（單值函數） 42
2.3.4　反三角函數（多值函數） 44
2.3.5　雙麯函數（單值函數） 44
2.3.6　反雙麯函數（多值函數） 45
2.3.7　整冪函數ｚｎ（單值函數） 46
2.3.8　一般冪函數與根式函數ｗ＝ｎ槡ｚ（多值函數） 46
2.3.9　多值函數的基本概念48
2.4　解析函數與調和函數的關係49
2.4.1　調和函數與共軛調和函數的概念49
2.4.2　解析函數與調和函數之間的關係50
2.4.3　解析函數的構建方法50
2.5　解析函數的物理意義———平麵矢量場52
2.5.1　用解析函數錶述平麵矢量場52
2.5.2　靜電場的復勢52
2.6　典型綜閤實例54
小結57
習題57
計算機仿真編程實踐58
第3章　復變函數的積分59
3.1　復變函數的積分59
3.1.1　復變函數積分的概念59
3.1.2　復積分存在的條件及計算方法60
3.1.3　復積分的基本性質60
3.1.4　復積分的計算典型實例61
3.1.5　復變函數環路積分的物理意義62
3.2　柯西積分定理及其應用63
3.2.1　柯西積分定理63
3.2.2　不定積分64
3.2.3　典型應用實例66
3.2.4　柯西積分定理（柯西?古薩定理）的物理意義66
3.3　基本定理的推廣———復閤閉路定理67
3.4　柯西積分公式70
3.4.1　有界區域的單連通柯西積分公式70
3.4.2　有界區域的復連通柯西積分公式71
3.4.3　無界區域的柯西積分公式72
3.5　柯西積分公式的幾個重要推論74
3.5.1　解析函數的無限次可微性（高階導數公式） 74
3.5.2　解析函數的平均值公式76
3.5.3　柯西不等式76
3.5.4　劉維爾定理76
3.5.5　莫勒納定理77
3.5.6　最大模原理77
3.5.7　代數基本定理77
3.6　典型綜閤實例78
小結82
習題84
計算機仿真編程實踐85
第4章　解析函數的冪級數錶示86
4.1　復數項級數的基本概念86
4.1.1　復數項級數概念86
4.1.2　復數項級數的判斷準則和定理86
4.2　復變函數項級數88
4.3　冪級數90
4.3.1　冪級數概念90
4.3.2　收斂圓與收斂半徑91
4.3.3　收斂半徑的求法92
4.4　解析函數的泰勒級數展開式94
4.4.1　泰勒級數95
4.4.2　將函數展開成泰勒級數的方法96
4.5　羅朗級數及展開方法97
4.5.1　羅朗級數97
4.5.2　羅朗級數展開方法實例99
4.5.3　用級數展開法計算閉閤環路積分101
4.6　典型綜閤實例102
小結105
習題107
計算機仿真編程實踐108
第5章　留數定理109
5.1　解析函數的孤立奇點109
5.1.1　孤立奇點概念109
5.1.2　孤立奇點的分類及其判斷定理109
5.2　解析函數在無窮遠點的性質113
5.3　留數概念114
5.4　留數定理與留數和定理116
5.5　留數的計算方法117
5.5.1　有限遠點留數的計算方法117
5.5.2　無窮遠點的留數計算方法119
5.6　用留數定理計算實積分120
5.6.1　∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型積分121
5.6.2　∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型積分122
5.6.3　∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型積分124
5.6.4　其他類型（積分路徑上有奇點）的積分計算舉例126
5.7　典型綜閤實例128
小結131
習題133
計算機仿真編程實踐134
第6章　保角映射135
6.1　保角映射的概念135
6.2　分式綫性映射136
6.2.1　分式綫性映射的概念136
6.2.2　兩種基本映射137
6.2.3　分式綫性映射的性質138
6.2.4　分式綫性映射的確定及應用139
6.2.5　三類典型的分式綫性映射142
6.3　幾個初等函數所構成的映射145
6.3.1　冪函數映射145
6.3.2　指數函數ｗ＝ｅｚ映射146
6.3.3　儒可夫斯基函數映射147
6.4　典型綜閤實例148
小結150
習題152
計算機仿真編程實踐153
第一篇復變函數論全篇總結框圖153
第一篇綜閤測試題15
第7章　數學建模———數學物理定解問題156
7.1　數學建模———波動方程類型的建立158
7.1.1　波動方程的建立158
7.1.2　波動方程的定解條件164
7.2　數學建模———熱傳導方程類型的建立165
7.2.1　數學物理方程———熱傳導類型方程的建立165
7.2.2　熱傳導（或擴散）方程的定解條件168
7.3　數學建模———穩定場方程類型的建立169
7.3.1　穩定場方程類型的建立169
7.3.2　泊鬆方程和拉普拉斯方程的定解條件170
7.4　數學物理定解理論171
7.4.1　定解條件和定解問題的提法171
7.4.2　數學物理定解問題的適定性172
7.4.3　數學物理定解問題的求解方法172
7.5　典型綜閤實例172
小結175
習題175
計算機仿真編程實踐176
第8章　二階綫性偏微分方程的分類177
8.1　基本概念177
8.2　數學物理方程的分類178
8.3　二階綫性偏微分方程標準化181
8.4　二階綫性常係數偏微分方程的進一步化簡183
8.5　綫性偏微分方程解的特徵185
8.6　典型綜閤實例185
小結186
習題187
計算機仿真編程實踐187
第9章　行波法與達朗貝爾公式188
9.1　二階綫性偏微分方程的通解188
9.2　二階綫性偏微分方程的行波解189
9．3　達朗貝爾公式190
9.3.1　一維波動方程的達朗貝爾公式190
9.3.2　達朗貝爾公式的物理意義191
9.4　達朗貝爾公式的應用191
9.4.1　齊次偏微分方程求解191
9.4.2　非齊次偏微分方程的求解194
9.5　定解問題的適定性驗證195
9.6　典型綜閤實例196
小結198
習題199
計算機仿真編程實踐200
第10章　分離變量法201
10.1　分離變量理論201
10.1.1　偏微分方程變量分離及條件201
10.1.2　邊界條件可實施變量分離的條件202
10.2　直角坐標係下的分離變量法202
10.2.1　分離變量法介紹202
10.2.2　解的物理意義205
10.2.3　三維形式的直角坐標分離變量206
10.2.4　直角坐標係分離變量例題分析207
10．3　二維極坐標係下拉普拉斯方程的分離變量法210
10.4　球坐標係下的分離變量法213
10.4.1　拉普拉斯方程Δｕ＝0的分離變量（與時間無關） 213
10.4.2　與時間有關的方程的分離變量215
10.4.3　亥姆霍茲方程的分離變量216
10.5　柱坐標係下的分離變量216
10.5.1　與時間無關的拉普拉斯方程分離變量216
10.5.2　與時間相關的方程的分離變量218
10.6　非齊次二階綫性偏微分方程的解法219
10.6.1　泊鬆方程非齊次方程的特解法219
10.6.2　非齊次偏微分方程的傅裏葉級數解法221
10.7　非齊次邊界條件的處理222
10.8　典型綜閤實例224
小結228
習題230
計算機仿真編程實踐232
第11章　冪級數解法———本徵值問題233
11.1　二階常微分方程的冪級數解法233
11.1.1　冪級數解法理論概述233
· · · · · · (收起)