Projective Geometry

作者:Coxeter, H. S. M.

页数:174

出版时间:2003-10

价格:$ 67.74

isbn号码:9780387965321

具体描述

In Euclidean geometry, constructions are made with ruler and compass. Projective geometry is simpler: its constructions require only a ruler. In projective geometry one never measures anything, instead, one relates one set of points to another by a projectivity. The first two chapters of this book introduce the important concepts of the subject and provide the logical foundations. The third and fourth chapters introduce the famous theorems of Desargues and Pappus. Chapters 5 and 6 make use of projectivities on a line and plane, repectively. The next three chapters develop a self-contained account of von Staudt's approach to the theory of conics. The modern approach used in that development is exploited in chapter 10, which deals with the simplest finite geometry that is rich enough to illustrate all the theorems nontrivially. The concluding chapters shows the connections among projective, Euclidean, and analytic geometry.

用户评价

不得不承认，《Projective Geometry》这本书，让我对“几何”这个词有了全新的定义。我一直以为几何学就是研究图形的大小、形状，以及它们之间的度量关系。然而，这本书却以一种截然不同的方式，让我认识到几何学更深层次的本质——那就是研究图形在投影变换下的不变性质。书中对“无穷远”的引入，是其核心的创新之处。它使得原本被视为特例的平行线相交问题，得以被统一到一般的射影框架下，展现了数学的统一性和简洁性。我尤其着迷于书中关于“交比”（cross-ratio）的阐释。交比是射影变换下不变的量，它揭示了射影几何的深刻内涵。书中通过对“完全四点形”和“完全四线形”的交比性质的研究，展现了交比在分析点共线、线共点等基本几何问题上的强大威力。例如，书中关于二次曲线的射影分类，就离不开对交比的研究。此外，书中对“对偶原理”的介绍，也让我领略到射影几何的对称之美。点与直线，直线与点，它们在射影几何中拥有如此和谐而深刻的对应关系。这本书的语言风格十分精炼，但又充满逻辑的力量，作者的讲解清晰而富有启发性，让我能够循序渐进地掌握那些抽象的几何概念。它不仅是一本教材，更是一次思维的洗礼，让我学会了如何用更抽象、更本质的视角去审视几何问题。

初次捧读《Projective Geometry》，我便被其独特的数学魅力所折服。这本书彻底打破了我对几何学“度量”的固有依赖，让我开始思考，在没有长度、角度等概念的情况下，几何学是否还能成立，甚至变得更加强大。书中对“无穷远”概念的巧妙引入，是其核心思想之一。它并非是一个难以理解的虚构概念，而是为了统一和简化几何描述而诞生的逻辑必然。这种将无限的添加到有限中的处理方式，极大地拓展了我们对空间的想象。我特别欣赏书中对“对偶原理”的阐释。点和线，在射影几何中拥有如此对称而深刻的关系，这种对偶性不仅体现在概念上，更体现在定理的表述和证明上，极大地提升了理论的简洁性和美感。书中通过大量实例，展示了如何利用对偶原理，将一个已知的关于点的定理，迅速转化为一个关于直线的定理。此外，书中对二次曲线的射影性质的深入探讨，也让我对这个古老的研究领域有了全新的认识。特别是书中关于二次曲线的分类及其射影不变量的讨论，让我看到了射影几何在解决复杂几何问题时的强大威力。这本书的叙述风格非常清晰，逻辑严密，每一章的铺垫都为后续内容的展开奠定了坚实的基础。我感觉自己不仅仅是在学习一本数学书，更是在接受一次严谨的数学思维训练，一次对几何本质的深刻探索。

《Projective Geometry》这本书，我必须要说，它彻底颠覆了我对几何学的固有认知。在此之前，我对几何学的理解，基本上还停留在尺规作图和平面解析几何的层面，总觉得几何是具体的、可测的、有度量的。然而，这本书就像一把钥匙，打开了一扇通往更高维度、更抽象几何世界的大门。作者并没有一开始就抛出艰涩的定义，而是通过一系列引人入胜的问题和巧妙的例子，引导读者一步步地深入。例如，书中对于“平行线在无穷远点相交”的解释，初读时可能会觉得有些反直觉，但随着深入阅读，你会发现这是逻辑上的必然，是统一和简化几何描述的强大工具。书中对对偶原理（principle of duality）的阐述，更是让我大开眼界。点与直线，直线与点，在射影几何中拥有如此对称而和谐的关系，这种对称性不仅体现在陈述上，更体现在证明和应用上。我印象最深刻的是，书中通过对偶原理，可以将许多关于点的定理直接转化为关于直线的定理，这极大地节省了证明的时间和精力，也展现了射影几何的优雅之处。此外，书中对二次曲线（conics）的射影性质的讨论，也让我看到了射影几何在现代数学和计算机视觉等领域的巨大潜力。例如，书中对任意二次曲线可以通过射影变换转化为标准形式的证明，以及二次曲线的射影不变量的讨论，都让我对二次曲线有了全新的认识。这本书的语言风格非常严谨，但又不会让人感到枯燥，作者似乎总能在最恰当的时机插入一些启发性的思考，让我能够更好地理解那些抽象的概念。

《Projective Geometry》这本书，为我打开了认识几何学的新视角。在此之前，我所理解的几何学，总是与度量紧密相连，离不开长度、角度的测量。然而，这本书却告诉我，几何学可以脱离度量，专注于图形的投影关系和结构保持。这种“去度量化”的思路，让我对几何学的本质有了更深的理解。书中对“无穷远点”和“无穷远线”的引入，是我认为最令人称道的部分。它将看似无法解决的平行线问题，巧妙地纳入统一的射影框架，展现了数学的优雅和力量。我尤为喜欢书中对“交比”（cross-ratio）的深入探讨。交比作为射影变换的不变量，成为了理解和证明许多射影性质的关键。书中通过大量的几何例子，清晰地展示了交比在分析点系、线系之间的关系，以及在研究二次曲线的射影性质时所发挥的巨大作用。例如，书中对帕斯卡定理和蒙日定理的射影证明，就是交比概念的绝佳应用。此外，书中对二次曲线的射影分类和不变量的讨论，也让我看到了射影几何在现代数学和科学研究中的重要价值。这本书的语言风格十分严谨，但又充满了逻辑的美感，作者的叙述方式层层递进，让我在理解抽象概念时感到十分顺畅。它不仅仅是一本知识的传授者，更是一次思维的启迪者。

在我深入研读《Projective Geometry》这本书的过程中，我逐渐体会到了一种数学上的“解放”。长期以来，我们被欧氏几何的度量概念所束缚，习惯于用长度和角度来描述图形。而射影几何，则以一种全然不同的姿态出现，它剥离了度量，只关注图形的投影关系和拓扑性质。这种“减法”式的思维，反而使得几何学展现出更加本质、更加普遍的面貌。书中对“无穷远”概念的引入，是我认为最精彩的部分之一。它不是一个凭空出现的抽象概念，而是为了统一和简化几何描述而产生的必然结果。我特别喜欢书中对“调和共轭”（harmonic conjugate）的讨论，这是一个在射影几何中非常基础但又极其重要的概念。书中通过交比来定义调和共轭，并展示了其在解决各种几何问题中的应用，让我深刻体会到数学概念之间内在的联系和统一性。此外，书中对二次曲线的射影性质的深入探讨，更是让我看到了射影几何在更广泛领域的应用潜力。例如，书中对二次曲线的分类，以及如何通过射影变换将任意二次曲线转化为标准形式的证明，都展示了射影几何的强大分类能力。这本书的结构设计也十分巧妙，从基础的概念到复杂的定理，每一步都显得那么自然，毫不突兀。作者在讲解抽象概念时，常常会穿插一些历史典故或者与其他数学分支的联系，这使得阅读过程既充实又不乏趣味。

坦白说，当我第一次看到《Projective Geometry》这本书的书名时，我内心是有些忐忑的。在我过去的学习生涯中，“射影几何”这个词似乎总是与高深、晦涩的数学概念联系在一起。然而，这本书的出现，却让我对这个领域产生了浓厚的兴趣，并逐步克服了最初的畏难情绪。作者在书中的叙述方式非常循序渐进，从最基础的公理体系出发，层层递进，将读者逐步引导至射影几何的核心。我特别喜欢书中对“完全四点形”（complete quadrangle）和“完全四线形”（complete quadrilateral）的详细分析。这两个基本图形在射影几何中扮演着至关重要的角色，而书中通过对它们交比性质的深入研究，清晰地展示了射影变换在保持图形结构方面的强大能力。当我读到书中关于帕斯卡定理（Pascal’s theorem）和蒙日定理（Monge’s theorem）的射影证明时，我被深深地折服了。原来，这些看似复杂的定理，在射影几何的框架下，可以如此简洁地被理解和证明。书中的插图和几何示意图也起到了画龙点睛的作用，它们帮助我可视化那些抽象的几何关系，让我在脑海中形成清晰的图像，从而更好地理解文本内容。这本书的逻辑性非常强，每一个定理的推导都环环相扣，如同精密的齿轮在运转，让人在清晰的逻辑链条中获得知识。它不仅仅是一本教材，更像是一次思维的训练，训练我如何从更宏观、更本质的角度去审视几何问题。

《Projective Geometry》这本书，以其独特的视角和严谨的逻辑，彻底改变了我对几何学的理解。我一直以为几何学就是研究度量，例如长度、角度等。然而，这本书却让我认识到，几何学还可以专注于研究图形在投影变换下保持不变的性质，这种“去度量化”的思路，极大地拓展了我对几何学的认知边界。书中对“无穷远点”和“无穷远线”的引入，是我认为最精彩的部分。它们并非是难以理解的抽象概念，而是为了统一和简化几何描述而产生的逻辑必然。这种将无限纳入有限的思考方式，极大地提升了理论的普适性。我特别欣赏书中对“交比”（cross-ratio）的深入探讨。交比作为射影变换的核心不变量，成为了理解和证明射影几何性质的强大工具。书中通过大量的实例，展示了交比在分析共线、共点，以及研究二次曲线的射影性质时的应用。例如，书中对帕斯卡定理的射影证明，就巧妙地运用了交比的性质。此外，书中对二次曲线的射影分类和不变量的介绍，也让我看到了射影几何在现代数学和计算机视觉等领域的巨大应用潜力。这本书的语言风格十分严谨，但又充满了数学的优雅，作者的讲解清晰而富有条理，让我能够逐步深入理解那些抽象的几何概念。它不仅仅是一本知识的传授者，更是一次思维的启迪者，让我学会了如何以更本质、更普适的视角去理解几何世界。

《Projective Geometry》这本书，绝对是我近年来读过的最令人印象深刻的数学著作之一。它提供了一种全新的视角来理解空间和几何图形，一种超越了我们日常经验的透视。书中对“度量”的摒弃，让我开始思考，几何学是否必须依赖于长度、角度等度量性质？射影几何给出的答案是肯定的，它告诉我们，即使抛开度量，几何学依然可以拥有丰富而深刻的理论体系。我尤其被书中关于“点在无穷远”和“线在无穷远”的概念所吸引。这种将无限融入有限的思维方式，最初可能会让人感到不适，但随着阅读的深入，你会发现它极大地简化了许多几何描述，使得原本需要分开讨论的特殊情况（如平行线）能够被统一处理。书中对交比（cross-ratio）的深入剖析，更是让我理解了射影变换的核心不变量。交比不仅是一个计算工具，更是理解射影几何性质的关键。书中通过大量的实例，展示了交比在证明共线、共点等几何性质上的强大威力。例如，书中关于一个点在射影变换下的轨迹是另一条二次曲线的证明，就巧妙地运用了交比的性质。此外，书中对二次曲线的射影分类和不变量的讨论，也让我看到了射影几何在现代数学研究中的重要地位。这本书的语言非常精炼，但每一个词语都经过深思熟虑，准确地传达了作者的思想。我感觉自己不仅仅是在学习数学知识，更是在学习一种思考几何问题的方式，一种更加抽象、更加普适的思维模式。

《Projective Geometry》这本书，如同一场精妙的数学冒险，带领我穿越了传统几何学的边界，进入了一个更加广阔、更加抽象的领域。书中对“无穷远点”和“无穷远线”的处理，让我第一次真正理解了“统一”的数学思想是如何运作的。原本需要分开讨论的平行线问题，在射影几何中，因为有了无穷远点的存在，得以被纳入统一的框架之下。这种视角上的转变，极大地提升了理论的简洁性和普适性。我对书中关于“交比”的深度解析尤为着迷。交比不仅仅是一个简单的计算公式，它揭示了射影变换下不变的本质属性，成为了理解射影几何性质的钥匙。书中通过大量的例证，展示了交比如何在判断共线、共点，甚至在研究二次曲线的射影性质时发挥关键作用。我印象特别深刻的是，书中关于“完全四点形”和“完全四线形”的交比性质的讨论，这些基础而重要的概念，在射影几何中扮演着至关重要的角色。此外，书中对二次曲线的射影不变量的介绍，也让我看到了射影几何在现代几何学和计算机科学中的应用前景。这本书的语言风格十分严谨，但又不失优雅，作者善于用精炼的语言阐述复杂的概念，让我能专注于数学本身的美妙。我感觉这本书不仅教会了我知识，更教会了我一种全新的数学思维方式，一种能够从更宏观、更本质的层面去理解几何世界的思维方式。

翻开《Projective Geometry》这本书，我立刻被它严谨而又优美的数学语言所吸引。作者在开篇就为读者构建了一个宏大的视角，将我们引入一个全新的几何世界，一个超越了欧氏几何中“平行线永不相交”的直观限制的领域。书中对“无穷远点”和“无穷远线”的引入，并非是简单的概念堆砌，而是经过精心铺垫，让人逐步理解其逻辑上的必然性。当我读到书中关于射影变换的阐述时，那种豁然开朗的感觉油然而生。原来，我们熟悉的相似变换、仿射变换，在射影变换的宏大框架下，都只是不同程度的“投影”，这种视角极大地统一和简化了许多几何性质的研究。书中对交比（cross-ratio）的深入探讨更是让我惊叹，它揭示了射影变换下保持不变的深刻性质，使得原本复杂的问题变得清晰明了。特别是关于四点共线或四线共点的交比不变性，这不仅仅是一个数学定理，更是一种洞察几何结构本质的工具。书中通过大量的例子，从基础的直线和点，逐步过渡到更复杂的曲线和二次曲面，每一步都显得那么自然而顺畅。我尤其欣赏作者在阐释抽象概念时，总是能巧妙地引入几何直观的类比，比如在讨论对合（involution）时，书中用到的“对调”的比喻，让我能迅速抓住其核心思想。这本书的价值在于，它不仅教会了我们如何计算，更重要的是教会了我们如何“看”几何，如何从一个更抽象、更本质的层面去理解空间和图形之间的关系。我感觉自己不仅仅是在学习一个数学分支，而是在重塑自己对几何空间的认知，这种体验是前所未有的。