具体描述
本书分上、下两册，共5篇16章。上册包括微积分、常微分方程2篇，涉及函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、二元函数微积分及常微分方程共9章的内容；下册包括拉普拉斯变换与无穷级数、线性代数基础、概率论与数理统计3篇，其中有拉普拉斯变换、无穷级数、行列式、矩阵、线性方程组、概率论、数理统计初步共7 章。每章节后都配有一定数量的习题，并在每册书末附有习题答案。
本书注意结合中学教材的实际及普通高中新课程改革的方案，起点适中，内容重点突出，层次分明；编排模块化，方便选择性教学；习题配备文题对应，难易适中；叙述语言简洁，条理清楚，浅显易懂，便于自学。
本书可作为高职高专、成人院校工科类专业的高等数学教材，也可作为数学专科学生自学的参考教材。
《微分几何导论：曲面与流形的基础》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的微分几何基础教程，重点关注二维曲面理论以及更抽象的微分流形概念的引入。全书结构严谨，逻辑清晰，从欧几里得空间中的经典几何问题出发，逐步过渡到现代微分几何的核心思想。本书不仅涵盖了理论推导的完整性，更注重几何直觉的培养和在物理学、工程学中的潜在应用。 第一部分：欧氏空间中的曲线与曲面 本部分首先回顾必要的预备知识，包括线性代数中对空间、线性映射和二次型的深入理解，以及多变量微积分中对向量场、线积分和面积分的基本掌握。 第一章：空间曲线的局部理论 本章聚焦于三维欧氏空间 $mathbb{R}^3$ 中光滑曲线的性质。我们将引入参数化曲线的概念，并详细讨论切向量和弧长。核心内容是Frenet-Serret 公式的推导与应用。我们将定义并计算曲线的曲率 ($kappa$) 和挠率 ($ au$)，阐释它们如何共同决定了曲线在空间中的弯曲和扭转程度。通过分析 Frenet 标架的运动，读者将理解曲线的局部几何结构，例如如何确定曲线的 osculating plane（密切平面）。本章末尾，我们将探讨曲线的等距变换，以及在保持曲线性质不变的前提下，如何选择更自然的参数化。 第二章：平面曲线的内在几何 虽然本书重点在于三维空间，但平面曲线作为曲面的基础，需要单独深入讨论。本章主要讨论平面曲线的曲率，并引入曲率圆的概念。我们将探讨曲线的演化（Evolute）和对偶曲线（Involute），展示曲率如何决定了曲线在二维空间中的形状变化。重点还将放在平面上曲线的极坐标表示及其微分几何性质。 第三部分：曲面的经典微分几何 这是全书的核心部分，将经典解析几何与微积分工具相结合，系统地研究 $mathbb{R}^3$ 中嵌入曲面的性质。 第三章：曲面的参数化与基本形式 本章建立曲面的数学模型。我们从描述曲面的参数方程入手，定义曲面上的切平面和法向量场。随后，引入第一基本形式 ($I$)。读者将学习如何利用第一基本形式计算曲面上的内蕴量，如长度、面积、角度，并理解其作为度量张量在曲面上的角色。我们将详细分析曲率的计算，包括主曲率、高斯曲率 ($K$) 和平均曲率 ($H$) 的概念及其物理意义。 第四章：曲面的第二基本形式与绝妙定理 本章引入第二基本形式 ($II$)，它是描述曲面如何嵌入外部空间的关键工具。我们将展示第二基本形式如何与第一基本形式协同作用，推导出Weingarten 映射（或称形状算子）。随后，我们将深入探讨微分几何中最著名的结果之一——高斯绝妙定理（Theorema Egregium），证明高斯曲率 $K$ 是曲面的一个内蕴不变量，不依赖于曲面在 $mathbb{R}^3$ 中的具体嵌入方式。本章还将讨论曲面的等距变换以及利用曲率分类简单的极小曲面（如悬链面）。 第五章：测地线与曲面的弯曲 本章将“直线”的概念推广到弯曲的曲面上，即测地线（Geodesics）。我们将推导测地线的微分方程，并分析它们作为曲面上“最短路径”的性质。对于旋转曲面（如球面和圆柱面），我们将计算其测地线。接着，我们将引入测地曲率的概念，用于描述一条曲线在曲面上的偏离测地线的程度。本章的收尾将是高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）的引入，该定理建立了曲面的拓扑性质（如欧拉示性数）与曲率积分之间的深刻联系，是曲率理论的里程碑。 第三部分：微分流形的概念引论 本部分将视角提升到更高层次的抽象，为学习更高级的微分几何或拓扑学打下基础。 第六章：拓扑空间与流形基础 本章首先回顾拓扑学中必要的概念，如开集、闭集、连续性、紧致性和连通性。随后，正式引入微分流形的定义，包括拓扑流形、坐标图集（Atlas）和光滑转移函数的要求。我们将通过 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$ 和环面 $T^2$ 等典型例子来说明流形的构造。 第七章：向量场与张量场 在流形上，我们需要推广向量场的概念。本章定义了流形上的切空间 $T_p M$ 以及切向量场。我们将讲解如何定义流形上的微分形式（特别是 1-形式和 $p$-形式）。核心内容是张量场的介绍，包括协变和逆变张量的定义、指标的提升与下降，以及张量场的微分运算，为后续的微分几何（如黎曼几何）奠定严格的代数框架。 结语 本书的最终目标是提供一套完整的工具箱，使用户能够熟练地分析和描述空间中的曲线与曲面，并为进一步探索黎曼几何、辛几何以及更广阔的几何物理领域做好准备。书中包含大量的例题和练习，旨在巩固理论理解并培养解决问题的能力。
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