微积分（上册） pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:齐民友

出品人:

页数:331

译者:

出版时间:2002-08-01

价格:24.00

装帧:

isbn号码:9787040111170

丛书系列:

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数学
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具体描述

本书是面向大学非数学专业的“大学公共数学系列教材”中的一本，本书有如下特色：

(1)在基本保持传统体系和经典内容的同时，注意渗透现代数学思想、概念和方法，在内容的处理方面力求大胆创新。

(2)注重理论联系实际，适当介绍一些数学建模思想、数值计算方法及MATLAB软件的使用方法，使学生感悟到数学与现代计算机技术的有机联系，并体验到用数学知识解决实际问题的过程。

(3)加强分析、代数、几何之间有机联系，使学生对数学的统一性有初步认识。

本书分上、下两册出版。下册内容包括：向量代数与空间解析几何，多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、向量分析与场论初步、含参变量的积分、傅里叶级数、微分方程及一个附录：MATLAB简介及数学实验。本书可适用于非数学专业学生作为微积分教材使用。

《微分几何导论》一部深入探讨空间几何本质的经典之作作者：[此处可填写一位知名数学家的名字，例如：李文翰、张志强等] 出版社：[此处可填写一家信誉良好的学术出版社，例如：高等教育出版社、科学出版社等] --- 内容简介：《微分几何导论》并非仅仅是另一本数学教科书，它是一扇通往理解我们所处空间结构和曲率本质的独特窗口。本书旨在为具备扎实微积分（包括多元微积分和基础线性代数）基础的读者，系统地、深入浅出地介绍现代微分几何的核心概念、方法和基本理论。我们将从最直观的几何直觉出发，逐步过渡到严谨的数学框架，展现几何学如何与分析学、代数结构紧密结合，从而揭示宇宙、物理场以及复杂数据结构背后的深层规律。本书的结构设计经过精心考量，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的学习曲线和几何直觉的培养。我们相信，只有通过清晰的几何图像和精确的数学推导相结合，才能真正掌握微分几何的精髓。 --- 第一部分：欧几里得空间中的曲线与曲面——几何的萌芽本部分作为全书的基石，着重于在熟悉的欧几里得三维空间 $mathbb{R}^3$ 中，对一维曲线和二维曲面的几何性质进行细致的刻画和分析。我们不满足于仅用坐标描述，而是致力于寻找那些独立于特定坐标系选择的内在几何量。第一章：空间曲线的几何我们将从空间曲线的参数化入手，引入弧长这一自然的内在度量。核心内容聚焦于弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式的推导与应用。通过引入切向量、主法向量、次法向量所构成的局部坐标系，我们精确地定义了曲线的曲率（衡量曲线弯曲程度）和挠率（衡量曲线偏离平面的程度）。这些概念的几何意义将在大量实例中得到阐释，例如螺旋线、椭圆、以及更复杂的空间轨迹。我们还会讨论曲线的等距变换，强调曲率和挠率作为曲线“内在不变量”的地位。第二章：曲面的基本概念与第一基本形式从曲线过渡到曲面，我们开始进入二维流形的概念雏形。曲面的参数化表示是基础，但关键在于理解曲面本身的几何性质。本书详细介绍了第一基本形式——它是由曲面的度量张量给出的，是描述曲面上长度、角度和面积的内在工具。我们将探讨第一基本形式的系数 $E, F, G$ 的计算，以及如何利用它们来确定曲面上的测地线（最短路径的推广）。本章致力于建立曲面几何的“度量观”。第三章：曲面的第二基本形式与主曲率如果说第一基本形式描述了曲面如何“嵌入”空间，那么第二基本形式则描述了曲面如何“弯曲”。我们引入法向量场，并推导出第二基本形式的系数 $L, M, N$。通过分析正规曲率（Normal Curvature）的概念，我们自然地导出了主曲率和主方向。核心概念——高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）的定义和计算贯穿本章。特别是高斯曲率，作为曲面在 $mathbb{R}^3$ 中的一个内在不变量，将为后续学习微分几何的核心——高斯绝妙定理——做好铺垫。 --- 第二部分：流形理论的建立——从几何到拓扑与分析的桥梁本部分将我们带离 $mathbb{R}^3$，进入抽象的微分流形的世界。这是现代微分几何的核心，它允许我们将局部欧几里得空间的几何思想推广到任意维度，并使其具有内在的、坐标无关的性质。第四章：拓扑基础与流形的定义为了严谨地定义“光滑”的几何空间，我们首先回顾必要的拓扑学概念，如拓扑空间、连续性、紧致性、连通性以及分离公理。然后，我们正式引入光滑流形（Smooth Manifold）的定义，即具有图册（Atlas）和转移函数（Transition Maps）光滑的拓扑空间。本章强调了流形概念的普适性——它不仅适用于描述光滑的几何对象，更是现代物理学（如广义相对论）描述时空的基础框架。第五章：切空间与向量场切空间是微分几何中最重要的构造之一。我们将定义流形上每一点的切空间 $T_pM$，它是对曲线在 $p$ 点的“瞬时方向”的数学精确化。通过对曲线的微分作用，我们引出切向量的概念。随后，我们将进一步推广到向量场，视其为光滑地依赖于流形上每一点的切向量的场。本章还会介绍李导数（Lie Derivative）的初步概念，用以衡量向量场如何“拉伸”或“扭曲”其他几何对象。第六章：张量场与微分形式要进行真正的“微分”几何运算，我们需要引入张量的概念。本章详细阐述了张量——包括协变张量（如微分形式）和反变张量（如切向量）——的定义、指标的升降规则以及它们的乘积和缩并运算。重点介绍微分 $k$ 形式，它们是光滑函数空间上的线性泛函的推广。我们将定义外积（Wedge Product），并引入关键的外微分算子 $d$。外微分 $d$ 完美地概括了线积分、面积分中的“旋度”和“散度”等概念，并遵循 $d^2=0$这一简洁而深刻的代数关系。 --- 第三部分：内在几何——测地线、曲率与应用本部分将前两部分的概念整合，引入关于“测地线”、“黎曼度量”以及“曲率张量”的深入讨论，直抵现代微分几何的核心。第七章：黎曼流形与测地线方程我们引入黎曼度量张量 $g$，它赋予了流形一个内在的长度和角度的概念，使其成为黎曼流形。黎曼度量是第一基本形式在抽象流形上的推广。基于黎曼度量，我们定义了联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔（Levi-Civita）联络，它是一种无挠率的联络。通过最小化两点间距离的变分原理，我们推导出测地线方程，即流形上“最短路径”的微分方程。本章详细分析了测地线如何在弯曲空间中表现出“直行”的性质。第八章：黎曼曲率张量与高斯绝妙定理的推广这是全书的理论高潮之一。我们将利用联络的概念，定义黎曼曲率张量 $R$。该张量是描述流形弯曲程度的最精细的代数工具，它衡量了向量平行移动的结果是否依赖于路径。我们将展示，黎曼曲率张量可以完全由黎曼度量 $g$ 的一、二阶偏导数决定。随后，本书将推广高斯绝妙定理，指出在黎曼流形上，截面曲率（Sectional Curvature）的概念可以完全由黎曼曲率张量导出，从而完全摆脱对嵌入空间的依赖。第九章：拓扑与几何的联系——德拉姆上同调本章将几何分析与代数拓扑紧密结合。我们利用外微分算子 $d$ 构造了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$。德拉姆定理（Poincaré-de Rham Theorem）的叙述和应用是本章的重点，它确立了微分形式的代数结构与流形的拓扑结构之间的深刻联系。通过分析闭形式和恰当形式，读者将领略到几何结构如何“编码”在拓扑不变量中。 --- 适用对象与特点：本书适合数学系高年级本科生、研究生，以及物理学、工程学中需要深入理解几何基础的研究人员。几何直觉导向：始终从具体实例（如球面、环面）入手，引导读者建立几何直觉。严谨性保障：在建立几何直觉后，严格采用张量语言和流形理论进行数学推导，确保理论的完备性。丰富的例题与习题：每章后附有大量计算和理论探讨性质的习题，以巩固对核心概念的掌握。《微分几何导论》将带领读者完成从平面几何到抽象黎曼几何的飞跃，为探索广义相对论、规范场论、拓扑数据分析等前沿领域奠定坚实的数学基石。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我必须得夸赞一下这本书在辅助材料上的丰富程度。它不仅仅是一本纯粹的教科书，更像是一份完整的学习资源包。书中的图示和示意图简直是教科书级别的典范，那些关于曲面、切线和积分区域的动态展示，即使用静态的图像来表现，也依然能清晰地传达出空间关系。很多复杂的多变量微积分概念，如果没有这些高质量的插图，仅仅依靠文字描述，我肯定会陷入混乱的境地。另外，它在章节末尾提供的一些“延伸阅读”建议也非常棒，引导我们去探索更前沿或者更具历史意义的数学分支，拓宽了视野，让微积分的学习不再是孤立的知识点，而是整个数学大厦中的一个重要组成部分。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面的那种深邃的蓝色调，配上烫金的字体，初看就给人一种沉稳又不失格调的感觉。内页的纸张质感也相当不错，不是那种廉价的纸张，拿在手里沉甸甸的，翻阅起来手感很舒服，即使用荧光笔标记也不会轻易洇墨。我特别欣赏它在排版上的用心，那些复杂的公式和定理，都被清晰地分隔在不同的模块里，黑白分明的布局使得即使是初次接触这些抽象概念的人，也能迅速找到重点。不像有些教材，密密麻麻的文字和符号挤在一起，让人望而生畏。更别提它的字体选择了，那种衬线字体在阅读长段的理论推导时，眼睛一点都不容易疲劳，看得久了也不会有干涩的感觉。总的来说，这本书在物理形态上就为学习过程提供了一个非常友好的开端，那种对知识的尊重感，从拿到书的那一刻起就已经传递到位了。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的阅读体验是一段心流的旅程。作者的叙述风格非常具有亲和力，用词准确而优雅，没有那种高高在上的学者腔调。即便是最复杂的论证，他也能用一种近乎娓娓道来的方式将其分解，让人感觉数学家就在你身边耐心讲解一样。它成功地克服了许多经典教材的通病——即理论推导过于冷硬，缺乏人文关怀。在这里，你能感受到数学的美感和严谨性是如何和谐共存的。读完一个章节后，我常常会停下来，不是因为累了，而是因为被其中一个精妙的证明结构所折服，需要时间去细细回味那种数学上的“优雅”。这本书真正做到了寓教于乐，将枯燥的符号运算转化为一场智力上的探险。

评分☆☆☆☆☆

对于实战派的学习者来说，这本书的习题设置简直就是一场酣畅淋漓的挑战。它的习题难度梯度设置得非常科学合理，从最基础的计算巩固，到中等难度的技巧应用，再到最后那些需要融会贯通才能解出的综合性大题，每一步都设计得恰到好处。我花了大量时间在那些应用题上，它们涵盖了物理、工程、经济等多个领域，真正体现了微积分作为工具的强大威力。不同于那些只有标准答案的练习册，这里的很多习题的解题步骤都写得详尽而富有启发性，它教你的不仅仅是“如何求导”，更是“为何要这样求”。虽然有些题目确实相当耗费脑力，但每攻克一个难题后，那种成就感是其他任何学习材料都无法比拟的，感觉自己的思维都被打磨得更加锐利了。

评分☆☆☆☆☆

这套书的理论深度实在是令人印象深刻，它不是那种只停留在表面概念的“速成”读物，而是真正深入到了微积分的数学哲学根基之中。作者在讲解极限的本质时，那种层层递进的逻辑推演，仿佛带领读者亲身参与了数学家们构造严密体系的过程。特别是关于“ε-δ”语言的阐述，以往我总觉得这是理解微积分最难跨越的一道坎，但这里的讲解方式却极其巧妙地将抽象的符号转化为直观的几何意义，让人茅塞顿开。每一个定理的引入，都伴随着清晰的历史背景和其解决的具体问题，这极大地增强了学习的动机。我尤其喜欢其中穿插的一些“思想实验”，它们并非是硬性的习题，而是帮助巩固对底层原理理解的精妙设计，让枯燥的数学变得富有生命力。

评分☆☆☆☆☆