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出版者:高等教育齣版社

作者:同濟大學應用數學係

出品人:

頁數:723

译者:

出版時間:2004-5

價格:26.1

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787040139938

叢書系列:

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學輔導
• 解題指南
• 大學教材
• 理工科
• 考研
• 習題詳解
• 函數
• 微積分
• 綫性代數

現代高等代數研究：概念、結構與應用 作者： 錢宇，李明 齣版社： 科學技術齣版社 裝幀： 精裝 頁碼： 850頁 定價： 128.00元 ISBN： 978-7-5045-8876-3 --- 內容簡介 《現代高等代數研究：概念、結構與應用》是一部麵嚮數學專業本科生高年級、研究生以及對抽象代數有濃厚興趣的讀者編寫的深入性教材與專著。本書旨在超越傳統綫性代數課程的範疇，係統而嚴謹地介紹抽象代數的核心概念、深刻的結構理論及其在現代數學分支中的廣泛應用。全書內容組織遵循從具體到抽象、由淺入深的原則，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧清晰的邏輯推導和豐富的實例支撐。 本書的結構分為四大核心部分：群論基礎與結構理論、環與域的深入探討、模與嚮量空間的推廣，以及伽羅瓦理論的現代視角。 第一部分：群論基礎與結構理論（第1章至第4章） 本部分奠定瞭整個抽象代數研究的基石——群論。 第1章：群的基本概念與例子。 詳細闡述瞭群的定義、子群、陪集與左不變子群。重點分析瞭常見群的例子，如對稱群 ($S_n$)、二麵體群 ($D_n$) 和一般綫性群 ($ ext{GL}_n(F)$)，並引入瞭同態、同構的概念，使讀者對代數結構保持的性質有初步認識。 第2章：正規子群與商群。 深入探討瞭正規子群的性質，並以此為基礎，構建瞭商群（或稱因子群）。拉格朗日定理的證明及其在有限群分類中的初步應用被詳盡解析。 第3章：群作用與Sylow定理。 這一章是結構理論的核心。詳細講解瞭群作用的概念、軌道和穩定子，特彆是Cayley定理（任一群都同構於一個置換群）的構造性證明。隨後，本書花瞭大量篇幅來推導和證明Sylow三定理，這是研究有限群結構最強有力的工具。定理的推論部分，如Cauchy定理、nilpotent群和simple群的初步分析，為後續章節的應用奠定瞭基礎。 第4章：群的構造與分解。 討論瞭如何從已知的群構造新的群。重點包括直積（內直積與外直積）、半直積的構造，以及最重要的分類定理：有限生成阿貝爾群的基本定理。該定理不僅給齣瞭有限阿貝爾群的標準分解形式（初等因子分解），還通過Smith範式引齣瞭Smith正規形，這對理解矩陣理論也有間接幫助。 第二部分：環與域的深入探討（第5章至第7章） 在掌握瞭群的結構後，本書轉嚮瞭具有更復雜運算的代數結構——環。 第5章：環的基本結構與同態。 定義瞭環、交換環、整環和域。側重於子環、理想（左、右、雙邊理想）的性質，並引入瞭商環的概念。通過環同態，建立瞭同態基本定理。 第6章：特殊類型的環。 這一章集中討論瞭具有特定性質的環：主理想域 (PID)、唯一因子域 (UFD) 和歐幾裏得環 (ED)。本書細緻地闡述瞭ED $Rightarrow$ PID $Rightarrow$ UFD 的包含關係，並通過反例（如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）說明瞭這些性質間的嚴格區分。 第7章：多項式環與域擴張。 重點研究瞭在域 $F$ 上的多項式環 $F[x]$ 的結構，證明瞭 $F[x]$ 是一個歐幾裏得環，進而是一個PID和UFD。隨後引入瞭域的擴張（有限擴張、代數擴張、超越擴張），並首次引入瞭最小多項式的概念，為後續的伽羅瓦理論做好鋪墊。 第三部分：模與嚮量空間的推廣（第8章至第9章） 本部分將綫性代數的概念提升到更一般的代數框架下，引入瞭模的理論。 第8章：模的基本理論。 將嚮量空間的標量域替換為環 $R$，從而定義瞭 $R$-模。講解瞭子模、模同態、商模以及模的直和。通過模的角度重新審視瞭嚮量空間，使讀者理解到嚮量空間僅是“域上的模”這一特殊情況。 第9章：有限生成阿貝爾群的再探討與弗氏標準型。 基於模的理論，本書對有限生成阿貝爾群進行瞭更高級的分解。隨後，本書將綫性代數中相似矩陣的標準形理論（如Jordan標準型）提升到更一般的環上。本書詳細闡述瞭如何在同一個域上的有限維嚮量空間中，通過構造伴隨矩陣和最小多項式，推導齣初等因子理論和弗氏標準型（Rational Canonical Form），這是矩陣理論中比Jordan標準型更具一般性的結果。 第四部分：伽羅瓦理論的現代視角（第10章至第11章） 本部分是全書的高潮，將群論、環論和域論完美地結閤在一起。 第10章：伽羅瓦群與基本定理。 詳細定義瞭擴張的伽羅瓦群 $G(L/K)$。重點分析瞭正規擴張、可分擴張的概念，並建立瞭伽羅瓦基本定理的嚴格證明。該定理精確描述瞭中間域與伽羅瓦群的子群之間的反序對應關係。 第11章：伽羅瓦理論的應用。 利用伽羅瓦理論的強大工具，本書完成瞭幾個經典的數學證明： 1. 證明瞭“五次及以上的一般多項式不可用根式求解”的結論（通過分析 $S_5$ 的非可解性）。 2. 證明瞭“正多邊形可尺規作圖”的充要條件（與二次域擴張相關）。 3. 探討瞭有限域的結構和分類。 本書特色 1. 結構深度融閤： 本書的獨特之處在於它不將群、環、域視為孤立的學科，而是通過模理論和域擴張理論，展示瞭它們之間深刻的內在聯係和相互依存性。 2. 理論與應用的平衡： 每章的核心理論推導後，均附有詳細的“應用聚焦”部分，展示瞭這些抽象結構在密碼學（如有限域在橢圓麯綫密碼中的應用）、代數拓撲（如基本群的概念引入）以及經典代數幾何中的初步體現。 3. 嚴謹的證明風格： 繼承瞭經典代數著作的嚴謹性，所有關鍵定理均提供完整且可追溯的證明路徑，適閤希望建立堅實理論基礎的讀者。 4. 習題設計： 書末附有大量的課後習題，分為“概念辨析”、“計算與構造”、“定理證明”三類，以幫助讀者鞏固理解和提升解決問題的能力。 《現代高等代數研究》緻力於成為讀者通往更高級數學領域——如代數幾何、錶示論和代數數論——的堅實橋梁。

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這本書的“指南”部分形同虛設，完全沒有提供任何有效的解題策略或思維框架。我購買這本書的初衷是希望它能提供一套係統的方法論，教我如何從題目描述中抽象齣數學模型，而不是僅僅提供一個算式的演算過程。然而，當你麵對一道綜閤性強、需要跨章節知識點融閤的應用題時，這本書的解答部分就像一個隻會機械計算的計算器。它會告訴你答案是怎麼得到的，但絕不會告訴你，在麵對無數種可能性時，應該首先考慮哪種工具。例如，在處理涉及多變量函數的優化問題時，優秀的指南會提示你首先檢查定義域的邊界性質，或者建議使用拉格朗日乘數法之前，先嘗試通過幾何意義來判斷是否存在鞍點。這本書裏，你隻會看到一連串的求導、求零點，最後給齣結果。這種缺乏“為什麼”和“如何選擇”的解析，使得學習者在遇到變體題目時，依然感到無從下手，極大地限製瞭讀者解決問題的通用能力和創新思維的培養。

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從定價來看，這本書的定位顯然是麵嚮需要高質量學習輔助材料的學生群體，但其內容質量與市場標價嚴重不符，這讓我感覺自己被市場營銷的虛假承諾誤導瞭。在翻閱過程中，我發現許多地方的文字錶述充滿瞭晦澀難懂的行話，而且很多定義本身就寫得異常繞口，似乎是為瞭顯得“高深”而故意堆砌復雜的從句和不常用的古老數學術語。例如，對“勒貝格積分”的引入，本應著重強調其相較於黎曼積分的優越性及其直觀意義，但這本書的闡述卻像是在背誦一本上世紀三十年代的俄文譯本，抽象到幾乎無法與實際的麵積或體積概念建立聯係。對於絕大多數本科生來說，理解數學更重要的是建立清晰的直覺和清晰的語言，這本書恰恰在這兩方麵都做得非常薄弱。它更像是一本寫給已經精通此道的人的速查手冊，而非幫助新手跨越認知鴻溝的“指南”。因此，我強烈建議未來的購買者，在決定投入時間和金錢之前，務必先仔細查閱樣章，確認自己是否能夠忍受這種低效且令人沮喪的閱讀體驗。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書在細節處理上的敷衍態度感到非常不解。作為一本麵嚮高等數學學習者的參考書，其符號規範和術語使用竟然存在多種不一緻的情況。有時使用德文記號 $partial$ 錶示偏導數，下一頁又突然換成瞭 $frac{partial}{partial x}$，搞得我頻繁地在前後翻閱，試圖確定作者到底在遵循哪一種約定俗成的標準。這種隨意性不僅浪費瞭寶貴的學習時間，更重要的是，它可能會在讀者心中植入錯誤的規範意識，這對未來進入更高階的數學研究是極為不利的。此外，書中的一些證明步驟存在明顯的邏輯漏洞。雖然最終結果看起來是正確的，但在推理鏈條中，常常缺少瞭關鍵的條件引用或必要的放縮論證。我曾花費數小時試圖完善其中一處關於收斂性的證明，最後發現，作者似乎遺漏瞭對某個參數必須為正的假設，這在高等數學中是緻命的錯誤。這種對嚴謹性的漠視，讓人不禁懷疑編纂者是否真正理解他們所傳授的內容，還是僅僅在進行知識的機械搬運。

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這本書的排版和設計簡直是一場災難，拿到手的時候我就感覺不對勁瞭。封麵那種廉價的塑料光澤，拿到手裏沉甸甸的，卻不是因為紙張厚實，而是那種密度不均的劣質感。內頁的字體印刷模糊不清，尤其是在那些需要精細觀察的公式推導部分，簡直讓人懷疑印刷廠是不是剛剛經曆瞭什麼重大的技術故障。有些頁碼錯位，甚至齣現大段的留白，仿佛是匆忙趕工的産物，完全沒有一本“高等數學”教材應有的嚴謹性。我嘗試著去查找一個特定的定理證明，結果花瞭比計算本身更多的時間去辨認那些像被水浸泡過一樣的字符。更彆提那些插圖瞭，那些本該清晰展示空間幾何或函數圖像的部分，綫條粗糙，比例失調，看起來就像是初學者用尺子隨便畫的草圖。如果說知識的傳遞需要清晰的媒介，那麼這本書的物理形態就在傳輸過程中製造瞭巨大的乾擾和損耗。對於需要依靠視覺輔助來理解抽象概念的學生來說，這本書簡直是雪上加霜，讓人在學習的初期就失去瞭閱讀的興趣和信心。我不得不去網上尋找其他資源來核對那些模糊不清的定義，這無疑極大地削弱瞭這本書的獨立參考價值。

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這本書的習題編排邏輯混亂得令人發指，簡直像是一個數學知識點的隨機撒網。它聲稱是“全解指南”，但你翻開任何一章，都會發現前後關聯性極差。比如，一個章節的開頭部分還在講解基礎的極限運算，緊接著下一頁就跳到瞭復雜的積分變換，中間完全沒有平滑的過渡或者必要的鋪墊。更要命的是，配套的例題和習題之間存在明顯的難度斷層。有些基礎題的解答過程跳過瞭最關鍵的那一步，美其名曰“顯而易見”，但對於初學者而言，那“顯而易見”的部分恰恰是理解的難點所在。而稍微復雜一點的應用題，其解析卻又過於冗長和機械化，仿佛是機器生成的一堆符號堆砌，完全沒有體現齣數學思想的精妙之處。我尤其討厭那種將所有解法一股腦塞進去的做法，沒有清晰地劃分齣“標準解法”、“技巧解法”和“幾何直觀解法”，導緻讀者無法根據自身情況選擇最優的學習路徑。這本書與其說是指南，不如說是一個把所有知識點都堆積在一起的“素材庫”，缺乏一位優秀教師應有的梳理和引導能力。

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