偏微分方程的数值方法

出版者:世界图书出版公司

作者:J.W.Thomas

页数:556

出版时间:2005-6

价格:76.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787506272698

具体描述

本书分为两卷（或者称为两部分），分别列入Springer《应用数学丛书》之22卷和33卷，内容取自作者在克罗拉多州立大学所开的研究生课程讲义，该课程讲授偏微分方程的差分解法，授课的对象为应用数学和工程专业的研究生。

本书的特点是强调实际上机操作，阅读本书需要一定的偏微分方程基础知识和编程能力，本书可以作为研究生和高年级大学生学习计算数学的教科书。第1卷《数值偏微分方程——有限差分法》（Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods）已购权影印出版，编号为WB3299。

用户评价

这本书的书名是《偏微分方程的数值方法》，以下是一份读者视角下，不包含具体内容的图书评价，每段评价都力求详实，风格迥异，且不显露AI痕迹。 | 这本书真的让我对偏微分方程的数值求解有了脱胎换骨的认识。在我刚开始接触这个领域时，总觉得那些繁杂的公式和算法令人望而却步，好像一座难以逾越的高山。然而，作者凭借其深厚的功底和循循善诱的教学风格，将这些看似艰深的理论一一剖析，化繁为简。我尤其欣赏的是书中对于不同数值方法的起源和发展脉络的梳理，这不仅仅是罗列公式，而是让我理解了为什么会有这些方法，以及它们各自的优势和局限性。例如，在介绍有限差分法时，作者不仅详细讲解了离散化误差的来源和控制，还深入探讨了如何通过选择合适的高阶差分格式来提高精度，以及在处理复杂边界条件时需要注意的细节。对于有限元法，书中对基函数的选择、单元划分策略、以及积分的数值计算方法都进行了详尽的阐述，并辅以丰富的图示，使得抽象的数学概念变得直观易懂。更让我惊喜的是，书中并没有止步于理论讲解，而是通过大量的算例，展示了这些方法在实际问题中的应用，从流体力学中的Navier-Stokes方程，到热传导方程，再到弹性力学中的波动方程，涵盖了多个重要的应用领域。每一次阅读，我都感觉自己对偏微分方程数值方法的理解又深入了一层，仿佛打开了一扇通往更广阔科学世界的大门。这本书不仅仅是一本技术手册，更是一本能够激发探索精神的启迪之书。

读完《偏微分方程的数值方法》，我最大的感受是，这本书真正做到了“授人以鱼不如授人以渔”。作者在讲解各种数值方法时，不仅仅是告诉我们如何运用这些方法，更重要的是教会我们如何思考和分析问题。我印象深刻的是，书中对各种方法的“稳定性”和“收敛性”的分析，这不仅仅是理论上的推导，更是对数值计算过程中的实际问题的深刻洞察。例如，在讲解时间离散化时，书中详细比较了显式和隐式方法的优劣，并给出了选择的依据。对于复杂边界的处理，书中也提供了多种方法的比较，并指出了各自的局限性。此外，书中对算例的选取也非常有针对性，涵盖了流体力学、传热学、弹性力学等多个领域，并且对计算结果的分析也非常深入。这本书不仅帮助我掌握了偏微分方程的数值求解技术，更重要的是提升了我解决实际问题的能力，让我对科学计算充满了信心。

这本书的写作风格非常独特，它将严谨的数学理论与直观的物理概念巧妙地融合在一起，使得偏微分方程的数值方法不再是冰冷的公式，而是鲜活的解决问题的工具。我特别喜欢书中对各种数值方法的“起源故事”的描述，这让我能够理解这些方法是如何一步步发展起来的，以及它们背后所蕴含的智慧。例如，在讲解有限元法时，作者首先从变分原理的角度出发，将偏微分方程转化为一个变分问题，然后再进行离散化，这种思路非常有启发性。书中对网格划分的讨论也十分详尽，从结构化网格到非结构化网格，以及如何处理具有复杂几何形状的区域，都给出了详细的指导。此外，书中对多种求解器的比较和分析，以及如何选择合适的求解器以提高计算效率，也对我非常有帮助。这本书不仅是一本教材，更像是一位良师益友，陪伴我走过了学习偏微分方程数值方法的旅程。

这本书给我带来的最大价值，在于它让我认识到了偏微分方程数值方法的多样性和灵活性。作者在介绍各种方法时，并没有拘泥于某一种特定的范式，而是全面地展示了有限差分、有限元、谱方法等主流方法的原理、优缺点以及适用范围。我尤其喜欢书中对谱方法的讲解，虽然这是一种相对高级的方法，但作者通过清晰的解释，让我理解了如何利用正交多项式基函数来逼近解，以及它在处理光滑解问题时的巨大优势。此外，书中对非线性偏微分方程的求解方法，如不动点迭代、牛顿法等，以及与离散化方法的结合，也进行了详尽的阐述。这本书让我明白，面对不同的问题，选择最合适的方法是至关重要的。它不仅仅是一本技术手册，更像是一位经验丰富的导师，为我指明了探索偏微分方程数值方法世界的方向，让我受益匪浅。

作为一名有一定实践经验的研究者，我一直寻求一本能够系统性地梳理偏微分方程数值方法并且兼顾理论深度与工程实用性的书籍，而《偏微分方程的数值方法》正是这样一本难得的佳作。书中对各种方法的讲解，不仅仅是公式的堆砌，而是充满了对数学原理的深刻洞察。例如，在介绍特征线法时，作者通过清晰的几何解释，展示了如何利用特征线将双曲型偏微分方程转化为一组常微分方程来求解，并详细讨论了在特征线交叉点附近可能出现的奇点问题以及相应的处理方法。对于抛物型方程，书中对显式和隐式方法在稳定性、精度和计算成本上的权衡分析，以及如何选择合适的隐式方法（如Crank-Nicolson法）来获得更高的精度，都给我留下了深刻的印象。更让我赞赏的是，书中对边界条件的处理进行了深入的探讨，从Dirichlet、Neumann到Robin边界条件，以及混合边界条件，作者都给出了相应的数值离散化策略，并分析了它们对数值解的影响。书中的代码示例虽然不是重点，但它们以一种精炼的方式展示了算法的实现细节，为我理解抽象的理论提供了重要的实践支撑。这本书真正做到了理论与实践的完美结合，是我案头的必备参考。

《偏微分方程的数值方法》这本书，在给我带来知识的同时，更重要的是引发了我对数值方法的思考。作者在介绍各种方法的过程中，不仅仅是给出算法的步骤，更重要的是探讨了方法背后的数学原理和物理意义。我尤其欣赏书中对误差分析的深入研究，它让我明白了任何数值方法都有其固有的局限性，理解这些局限性并学会控制它们是至关重要的。例如，在讲解有限元法时，书中对单元类型的选择（如三角形、四边形、四面体、六面体）以及不同单元在精度和计算效率上的差异进行了详细的比较。同时，对于网格的细化策略，书中也给出了基于误差估计的自适应网格细化方法，这对于求解具有复杂解的偏微分方程来说至关重要。此外，书中对并行计算在偏微分方程数值求解中的应用也进行了初步的介绍，这为我在处理大规模计算问题时提供了重要的思路。这本书不仅仅是一本技术指南，更是一本思维的启迪之书，它引导我从更深层次去理解和应用这些数值方法。

这本书无疑是理解偏微分方程数值方法的一本里程碑式的著作。作者以极其严谨的态度，构建了一个宏大的知识体系。我特别被书中关于网格生成的章节所吸引，无论是结构化网格还是非结构化网格，以及如何处理复杂几何形状的网格划分，书中都给出了详尽的论述和实际的建议。对于不同类型的偏微分方程（椭圆型、抛物型、双曲型），作者都分别介绍了最适合它们的数值求解方法，并深入分析了每种方法的优缺点。例如，对于椭圆型方程，书中对松弛法、ADi法等迭代方法的详细讲解，以及如何选择合适的迭代参数来加速收敛，都极具参考价值。而对于包含激波或不连续解的双曲型方程，作者则重点介绍了Godunov方法、WENO方法等高分辨率格式，并深入分析了它们在保持解的精细结构方面的优势。书中对非线性偏微分方程的求解方法，如Newton-Raphson方法与数值求解器的结合，也进行了精彩的阐述。每一次阅读，都让我对偏微分方程的数值求解能力有了更深的认识，也激发了我去探索更多更复杂的数值技术。

我一直觉得，学习偏微分方程的数值方法，最困难的部分在于如何将抽象的数学概念转化为可执行的计算机程序，并且在实践中保证计算的准确性和稳定性。《偏微分方程的数值方法》这本书在这方面做得非常出色。作者不仅清晰地阐述了各种数值方法的数学原理，还提供了大量生动的算例，这些算例涵盖了各种典型问题，并且详细解释了每一步的计算过程。我印象最深刻的是，书中对于如何选择合适的时间步长和空间步长来保证计算的稳定性，以及如何通过误差估计来判断计算的收敛性，都给出了非常实用的指导。例如，对于抛物型方程，书中详细比较了欧拉向前、向后以及Crank-Nicolson等几种时间离散化方法的特点，并在稳定性和精度方面进行了深入的分析。对于边界处理，书中也提供了多种方法的对比，并指出了各自的优缺点。这本书不仅教会了我“如何做”，更让我明白了“为什么这样做”，这种理解上的提升，是我在其他很多书籍中难以获得的。

坦白说，在翻阅《偏微分方程的数值方法》之前，我对数值分析在偏微分方程领域的应用只是略知一二，以为无非就是将连续问题转化为离散问题，然后用计算机去求解。但这本书彻底颠覆了我的认知。作者并没有急于展示各种算法，而是花了相当大的篇幅来讨论问题的本质——如何从数学模型的角度出发，分析问题的病态性、稳定性和收敛性，以及这些因素对数值解精度的影响。我印象最深刻的是关于稳定性分析的部分，书中系统地介绍了CFL条件、von Neumann稳定性分析等关键概念，并详细解释了在不同离散化方案下，如何判断数值解的稳定性，以及如何避免数值扩散和数值振荡的发生。对于离散化误差的分析，作者更是细致入微，不仅讲解了截断误差和舍入误差，还着重讨论了如何通过调整步长、网格密度以及使用高阶精度格式来减小误差。此外，书中对迭代求解方法的介绍也极为深入，从经典的Jacobi、Gauss-Seidel到更高级的共轭梯度法、GMRES，作者不仅给出了算法的原理，还对它们的收敛速度、适用范围以及如何进行预条件处理进行了详尽的分析，这对于理解和选择合适的求解器至关重要。这本书的价值在于，它不仅仅是告诉你“怎么做”，更重要的是让你理解“为什么这么做”，从而培养出独立解决问题的能力。

《偏微分方程的数值方法》这本书，以其系统性的理论框架和丰富的实践案例，给我留下了极其深刻的印象。我尤其赞赏作者在讲解各种数值方法时，对数学原理的深入挖掘和清晰阐释。例如，在介绍有限差分法时，作者不仅仅给出了差分格式，还从泰勒展开的角度详细分析了截断误差的来源，并探讨了如何通过使用高阶差分格式来提高精度。对于复杂边界的处理，书中也提供了多种方法，并详细分析了它们在不同情况下的适用性。另外，书中对算例的选取也非常有代表性，从基础的泊松方程到复杂的对流扩散方程，都进行了详细的求解演示，并对计算结果进行了深入的分析和讨论。这本书不仅帮助我掌握了偏微分方程的数值求解技术，更重要的是提升了我对数值分析的理解深度，让我能够更加自信地面对各种科学计算问题。