Math Talks for Undergraduates pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Serge Lang

出品人:

页数:130

译者:

出版时间:1999-06-24

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387987491

丛书系列:

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数学
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具体描述

For many years Serge Lang has given talks to undergraduates on selected items in mathematics which could be extracted at a level understandable by students who have had calculus. Written in a conversational tone, Lang now presents a collection of those talks as a book. The talks could be given by faculty, but even better, they may be given by students in seminars run by the students themselves. Undergraduates, and even some high school students, will enjoy the talks which cover prime numbers, the abc conjecture, approximation theorems of analysis, Bruhat-Tits spaces, harmonic and symmetric polynomials, and more in a lively and informal style.

《拓扑学基础：从直观概念到严谨证明》导言：超越欧几里得的几何想象数学的魅力，很大程度上来源于它对世界的抽象与重构能力。欧几里得几何为我们构建了一个关于点、线、面的完美框架，然而，当我们将目光投向更广阔的数学疆域时，会发现我们对“形状”的理解需要一次深刻的革命。拓扑学，正是这场革命的核心。它不再关注长度、角度或面积这些量化的度量，而是专注于物体在连续形变下保持不变的本质属性——连接性、边界、孔洞。《拓扑学基础：从直观概念到严谨证明》旨在为读者提供一条清晰、富有洞察力的学习路径，从最基本的集合论概念出发，逐步构建起一个严谨而迷人的拓扑空间理论体系。本书的重点在于培养读者对“邻域”、“连续性”和“紧致性”这些核心概念的几何直觉，并用现代分析学所需的严谨性来支撑这些直觉。本书结构分为五个主要部分，层层递进，确保读者能够稳固地掌握这一学科的精髓。 --- 第一部分：点集拓扑的基石本部分为后续所有讨论奠定基础，侧重于引入拓扑学的基本语言和工具。第1章：度量空间的回顾与推广我们从读者熟悉的度量空间（Metric Spaces）开始，如$mathbb{R}^n$上的欧几里得空间。通过定义距离函数，我们自然地引出了开球、闭球等基本概念。本章的关键在于，引导读者思考：我们是否可以在没有“距离”概念的情况下定义“邻域”？我们将探讨度量空间拓扑结构的诱导，并为向更抽象的拓扑空间过渡做铺垫。第2章：拓扑空间的定义与构造这是全书的基石。我们正式引入拓扑空间的定义：一个集合$X$加上一个由开集构成的集合$ au$。我们将深入探讨开集、闭集、闭包、内部和边界的概念。重点分析了如何利用子基、基和局部基来生成一个拓扑结构，并对比了有限补拓扑、离散拓扑和柯有限拓扑的特性。读者将理解，拓扑空间的核心在于“邻域系统”的构建。第3章：连续性与拓扑同胚将拓扑学的语言应用于函数时，我们得到了拓扑学中的“连续性”：原像下保持开集的性质。本章详细剖析了这种定义与微积分中极限定义的等价性。随后，引入了“拓扑同胚”（Homeomorphism）这一核心概念，即拓扑性质不变的映射。通过大量的例子（如圆盘到正方形的形变），读者将建立起拓扑学研究对象的直观认识——那些可以被连续拉伸、扭曲但不能被撕裂或粘合的“形状”。第4章：重要的拓扑性质本章深入研究了几个决定拓扑空间结构的关键性质。 1. 分离公理（Separation Axioms）：从$T_1$空间到豪斯多夫（Hausdorff, $T_2$）空间的讨论，理解为什么豪斯多夫性质对于收敛的概念至关重要。随后介绍正则性、完全正则性和正常性（$T_3, T_4$）。 2. 紧致性（Compactness）：引入开覆盖的定义，并证明 Heine-Borel 定理（在有限维欧氏空间中，有界闭集是紧致的）。紧致性作为一种“有限性”的拓扑表达，将被视为一个强大的工具，贯穿后续所有章节。 3. 连通性（Connectedness）：区分连通空间和路径连通空间，并探讨它们在子空间、商空间中的行为。 --- 第二部分：构造与运算：构建更复杂的拓扑世界在掌握了基本定义后，本部分关注如何从已有的拓扑空间构造出新的、结构更复杂的空间。第5章：子空间、商空间与乘积空间子空间拓扑：研究一个拓扑空间中任意子集的拓扑性质。乘积拓扑（Product Topology）：使用提琴手拓扑（Tychonoff Product Topology）来定义无限多个空间的乘积，并重点阐述提琴手定理（Tychonoff Theorem），即任意紧致空间的乘积仍是紧致的——这是紧致性在广义空间中应用的关键。商拓扑（Quotient Topology）：这是拓扑学中构建新形状最强大的工具之一。通过等价关系“粘合”点来构造新的空间，例如将线段两端粘合成圆，或将球面的一对对径点粘合成实射影平面。 --- 第三部分：嵌入与嵌入：流形的前奏本部分开始将抽象的拓扑概念与我们对“几何对象”的直观认识结合起来，特别是为学习微分几何和代数拓扑做准备。第6章：嵌入定理与流形初步探讨一个拓扑空间能否“嵌入”到另一个更高的空间中，而不破坏其拓扑性质。重点介绍嵌入（Embedding）的严格定义。随后，引入流形（Manifold）的概念，作为局部具有欧几里得结构的空间。我们将分析1维和2维流形的基本例子，如圆、环面，以及如何使用坐标图集来描述它们。第7章：同伦的萌芽初步探讨连续形变在保持特定结构下的可能性。本章将介绍一个非正式的、基于路径的“同伦”概念，为高等拓扑学中计算拓扑不变量埋下伏笔。 --- 第四部分：完备性与收敛性：拓扑与分析的交汇拓扑学不仅仅是几何，它也深刻地影响了分析学中的收敛概念。第8章：序列收敛与拓扑在一般的拓扑空间中，我们如何定义序列的极限？本章对比了序列收敛、滤子（Filters）和 Nets 在一般拓扑空间中的重要性。我们还将研究可数性公理（如第一可数、第二可数）如何将抽象拓扑空间拉回到更接近度量空间的性质。第9章：完备性概念度量空间中的柯西序列概念被推广到拓扑空间中。本章详细讨论了完备度量空间，并研究了贝尔纲定理（Baire Category Theorem）的深刻应用，该定理是泛函分析中一个基础性的存在性定理。 --- 第五部分：代数拓扑的引子：不变量的追求本部分着眼于拓扑学的终极目标：寻找那些在任何拓扑形变下都不会改变的量化指标。第10章：同伦群的直观基础通过对“圆周上的映射”的分析，本章非正式地引入了高阶拓扑不变量的概念。我们将讨论一个空间的“洞的数量”如何通过映射群（如$pi_1(X)$）来捕捉，这为读者理解代数拓扑的强大力量提供了直观的起点。总结与展望《拓扑学基础：从直观概念到严谨证明》不仅仅是一本数学教科书，它更是一次对“形状”本质的哲学探索。通过严谨的定义和丰富的几何例子，本书旨在教会读者如何思考“接近”、“连接”和“整体性”，为进一步进入微分几何、代数拓扑乃至现代数学的任何领域，打下坚实而灵活的基础。读者读完此书，将能以全新的视角审视我们所处的几何世界。

作者简介

Serge Lang (May 19, 1927 – September 12, 2005) was a French-born American mathematician. He is known for his work in number theory and for his mathematics textbooks, including the influential Algebra. He was a member of the Bourbaki group.

Lang was born in Paris in 1927, and moved with his family to California as a teenager, where he graduated in 1943 from Beverly Hills High School. He subsequently graduated from the California Institute of Technology in 1946, and received a doctorate from Princeton University in 1951. He held faculty positions at the University of Chicago and Columbia University (from 1955, leaving in 1971 in a dispute). At the time of his death he was professor emeritus of mathematics at Yale University.

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的排版和视觉设计也极大地提升了我的阅读体验，这在严肃的数学著作中是很少见的。作者似乎深谙现代读者的习惯，清晰的图表和恰到好处的留白，让原本密集的数学推导看起来不再那么令人望而生畏。对于像我这种容易被密密麻麻的符号淹没的人来说，这简直是救星。它在讲解高阶内容时，比如多元微积分中的梯度和散度，非常巧妙地引入了流体动力学的模型，这种跨学科的类比，让那些原本感觉非常“空中楼阁”的概念变得有了实体感和应用场景。我发现，通过这种视觉和情境的辅助，我能更快地在脑海中建立起三维空间的直觉模型，而不是单纯地依赖坐标系运算。这本书的价值在于，它提供了一个多维度的学习入口，无论你是视觉型学习者还是逻辑型学习者，都能找到适合自己的切入点。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏把握得相当老道，它有着一种古典文学的韵味，你几乎能感受到作者在每一个段落的选择和停顿上都经过了深思熟虑。它最成功的地方在于，它清晰地划分了“是什么”和“为什么如此”的界限。对于初学者，它先用最直观的方式告诉你某个数学工具是用来做什么的，比如微积分是如何描述变化的速率的；但紧接着，它会毫不含糊地深入探讨背后的严格定义和证明逻辑，丝毫不拖泥带水。这种平衡感非常关键，它既能满足那些只想了解应用面的读者，又能让那些想深究理论根基的“学霸”满意。我特别喜欢其中一个章节，它讨论了证明的“艺术”——如何构造一个反例，或者如何通过归谬法来达成目的。这部分内容远超出了普通教材的范畴，它更像是一本关于如何像数学家一样思考的指南，让我对“证明”这件事有了更深层次的敬畏。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，一开始我对这本书抱有十二分的怀疑，毕竟市面上这类“通俗易懂”的数学读物太多，结果往往是内容浅尝辄止，满足不了真正想深入研究的学生。然而，当我翻开它时，那种扑面而来的扎实感和清晰度让我感到惊喜。它在基础概念的铺陈上做得极其到位，例如在向量空间那一章，作者没有直接跳入抽象定义，而是用几何直觉先行引导，将矩阵变换的概念与日常空间中的旋转、拉伸联系起来，这种循序渐进的构建过程，极大地降低了学习门槛。更值得称赞的是，它在习题设计上的匠心独运，那些题目不仅仅是计算的重复，很多都巧妙地设计成了迷你案例研究，迫使读者必须综合运用前几章的知识点才能找到解决方案，这远比那些孤立的计算题有效得多。读完它，我感觉自己对抽象代数的恐惧感消退了不少，取而代之的是一种“原来如此”的豁然开朗。

评分☆☆☆☆☆

从一个长期与数学抗争的学生的角度来看，这本书的最大的突破在于它成功地消解了数学学习中的“焦虑感”。很多教材在介绍新的复杂概念时，会先给出一个令人费解的定义，让你在理解前就先被挫败。而这本书的处理方式截然相反，它更像是“侦探小说”的叙事结构，先抛出一个需要解决的数学问题或现象（比如序列为什么会收敛），然后一步步揭示解决它的工具和方法论，直到最后水到渠成地引出那个看似复杂的定义。这种“结果先行，定义后补”的策略，极大地激发了我的好奇心和求知欲。它教会我的不仅是数学公式，更是一种面对复杂问题时，保持冷静、系统拆解的信心。这本书不愧为本科数学学习的绝佳伴侣，它让学习过程本身成为了一种享受，而不是一种负担。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为那些在微积分和线性代数之间徘徊的本科生量身定做的，它以一种极其直观且充满人情味的方式，把那些抽象的数学概念拉到了地面上。我尤其欣赏作者在讲解极限和连续性时所采用的类比，那种感觉就像是你在跟一位经验丰富的导师面对面交谈，他不会用一堆冰冷的符号把你绕晕，而是会耐心地引导你看到数学背后的“为什么”。书中穿插的那些历史小故事，比如某个定理是如何被发现、哪些数学家为此付出了怎样的努力，都让冰冷的公式瞬间变得鲜活起来，我感觉自己不是在啃一本教科书，而是在阅读一部关于人类思维探索的史诗。它不仅仅是教你如何计算，更重要的是，它在潜移默化中塑造了一种数学思维的框架，让我开始真正理解数学语言的严谨和美丽。对于那些总觉得数学“玄之又玄”的同学来说，这本书无疑是一座通往理解彼岸的坚实桥梁，它没有牺牲深度，却极大地提高了可读性，这一点非常难得。

评分☆☆☆☆☆