The Axiom of Choice

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出版者:Dover Publications
作者:Thomas J. Jech
出品人:
页数:224
译者:
出版时间:2008-7-24
价格:USD 14.95
装帧:Paperback
isbn号码:9780486466248
丛书系列:
图书标签:
  • 集合论
  • 《集合论导引》
  • Math
  • nemlophics
  • 集合论
  • 选择公理
  • 数学哲学
  • 逻辑学
  • 数学基础
  • 公理系统
  • 无限集
  • 拓扑学
  • 实分析
  • 数学
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具体描述

Comprehensive in its selection of topics and results, this self-contained text examines the relative strengths and the consequences of the axiom of choice. Subjects include consistency and independence, permutation models, and examples and counterexamples of the axiom's use. Each chapter contains several problems and concludes with some historical remarks. 1973 edition.

《数学的边界:论证、直觉与逻辑的交织》 内容简介 本书深入探索了现代数学的基石及其发展历程中那些最引人入胜且充满争议的核心概念。我们并非聚焦于某一特定公理体系的详尽论述,而是致力于剖析数学家们在面对基础性问题时所采用的思维工具、历史沿革以及哲学立场之间的复杂互动。全书以严谨的学术视角,结合清晰的历史叙事,旨在为读者构建一个关于数学逻辑结构及其哲学意涵的宏大图景。 第一部分:论证的黎明与危机的回响 本书的开篇追溯了数学论证的起源,从古希腊的几何学出发,探讨欧几里得体系如何确立了演绎推理的典范。我们详细分析了“公理”这一概念在不同历史阶段的演变——从最初被视为不言自明的真理,到后来成为可以被系统性修正和探索的对象。 随后,我们将焦点投向十九世纪末至二十世纪初席卷数学界的“基础危机”。康托尔集合论的出现带来了前所未有的强大工具,但也暴露了朴素集合论内在的矛盾。这一部分将细致描绘罗素悖论、巴那赫-塔斯基悖论等关键事件如何迫使数学家们重新审视“存在”的含义以及如何构建一个稳固的、无矛盾的数学基础。我们不会深入探讨任何特定、单一的公理系统是如何被最终确立的,而是着重于论证过程本身——即数学家们如何通过逻辑分析和直觉的引导,试图修补理论上的裂痕。 第二部分:不同逻辑视野下的数学世界 在基础危机得到初步缓解后,数学界出现了多元化的趋势。本部分深入探讨了几种主要的数学哲学流派,它们代表了对数学真理的不同理解方式。 逻辑主义的雄心: 我们探讨了弗雷格和罗素等人试图将数学完全还原为逻辑学的宏伟计划。这部分将详细阐述逻辑主义者如何试图通过严格的逻辑定义来确立数论的地位,以及他们在面对诸如“如何定义数”这样的根本性问题时所展现出的精妙推理。 直觉主义的坚守: 与逻辑主义的宏大目标相对立的是直觉主义的内敛与审慎。我们考察了布劳威尔等人在构建数学时对“构造性”的坚持,以及他们对某些经典逻辑原则(如排中律)的拒绝。这不仅仅是关于一套规则的差异,更是关于数学实在本质的不同感知——数学是人类心智的创造,还是独立于心智而存在的结构?本书将对比这两种路径在处理无限性问题上的根本分歧。 形式主义的堡垒: 我们随后转向希尔伯特的纲领。形式主义者试图将数学视为一个在形式系统内操作符号的游戏,其目标是通过证明“可证性”来确保数学的可靠性。我们将剖析形式主义如何试图通过元数学的方法来研究数学本身,为建立一个完全公理化的结构奠定理论基础。 第三部分:关于“选择”的思辨与论辩 本部分的核心在于考察数学论证的边界条件,特别是那些涉及“非构造性”存在证明的论断。我们将探讨数学家们在面对需要“选择”一组对象的集合,而无法给出明确指令来构造这些对象的场景时所经历的认识论挑战。 我们详细审视了在不同数学领域中,当理论的完备性依赖于某种超越直接构造的假设时所引发的讨论。这些讨论往往触及数学哲学的核心:一个对象的“存在”是否必须依赖于我们能够描述出如何找到它?本书将通过分析一系列数学定理,展示那些依赖于假定“所有集合都能被良序排列”或“任意集合都存在一个选择函数”的结论,是如何在不同数学社区中引发关于其合理性和实用性的辩论。讨论将集中于证明过程本身所采用的逻辑步骤,而不是对某一特定、单一的公理进行深入的形而上学辨析。我们关注的是:当论证需要跨越“构造”的鸿沟时,数学家们是如何辩护这种跳跃的? 第四部分:数学家们的工具箱与未来展望 本书的最后一部分将回归实践,探讨在现代数学研究中,数学家们实际采用的思维范式。我们将分析一些重要的数学分支(如泛函分析、拓扑学等)是如何在吸收了早期基础论辩的成果后,发展出各自独特的研究方法和对“存在”的实用性定义。 我们探讨了模型论和递归论等领域如何为我们理解形式系统的能力和局限性提供了新的视角。这些领域揭示了,即使在最严格的形式框架内,依然存在着关于什么是可证明和什么是不可判定、什么是可计算和什么是不可计算的深刻问题。 总结而言,《数学的边界》旨在提供一个多维度的视角,去理解数学家们是如何在直觉的火花、逻辑的约束和哲学的好奇心之间进行艰难的平衡。它不是对任何特定数学分支的教材,而是对数学推理过程本身及其历史背景的深度哲学考察,引导读者思考:我们所依赖的数学结构,其坚实的基础究竟建立在何处。

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用户评价

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这本书最让我感到惊喜的是其对“记忆”这一主题的解构。它不是简单地回顾过去,而是探讨了记忆如何被重塑、被遗忘、甚至如何被用作构建当前身份的工具。故事中角色的回忆片段,常常是不可靠的,充满着自我辩护和主观滤镜,这使得读者必须始终保持一种批判性的警惕,去辨别什么是事实,什么是心之所愿。作者娴熟地运用了多重视角叙事,每一个叙述者都有其不可磨灭的偏见,读起来就像是拼凑一个三维物体,你需要不断地从不同侧面去观察和校准,才能勉强看到一个大致的轮廓。在阅读过程中,我发现自己开始不自觉地审视自己的记忆碎片,思考我所坚信的“往事”有多少是真实的,有多少是基于需要而构建的叙事。这种自我反思的深度,是许多文学作品难以企及的。此外,作者对于场景转换的处理也十分高明,从喧嚣的都市转移到寂静的乡村,每一种环境都对角色的心理状态起到了微妙的推波助澜的作用,环境与心境的互动,是全书结构中不可或缺的一部分。

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如果说大部分小说是在讲述故事,那么这本书更像是在构建一个思辨的场域。它的节奏是缓慢的,但绝非拖沓,而是一种为了精细描摹而特意放慢的步伐,如同慢镜头捕捉一场复杂的化学反应。作者在对话的设计上极其考究,那些看似不经意的交流,实则充满了潜台词和未说出口的权力交换,常常是寥寥数语,便能勾勒出人物间根深蒂固的关系网和彼此无法言明的依赖。我尤其欣赏作者在处理人物冲突时,所表现出的克制与力度。它不是那种爆发式的争吵,而是如同冰山下的暗流,看似平静,却蕴含着足以颠覆一切的巨大能量。这本书的伟大之处在于,它毫不避讳地展示了人性中的“丑陋”——自私、嫉妒、无法言说的欲望——但它没有将此归结于简单的善恶二元论,而是将其置于一个更宏大、更复杂的系统性框架下去审视。阅读体验是沉浸式的,但结束后留下的不是情感的宣泄,而是一种清醒的、略带寒意的洞察力。这绝对是一部需要被反复研读的文本。

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我得承认,这本书的叙事结构挑战了我长久以来对线性故事的偏爱,它像是一张错综复杂的网,线索交织,时间碎片化地闪回、跳跃,初读时颇有些令人眩晕。但一旦你适应了作者设定的这种非传统节奏,你会发现这种看似混乱的结构恰恰是最能体现主题精髓的方式。它不是在讲述一个“发生过什么”的故事,而是在展示“如何理解所发生的一切”的复杂过程。作者对于象征手法的运用达到了炉火纯青的地步,那些反复出现的意象,比如一座特定角度倾斜的钟塔,或者某种罕见的鸟类迁徙,都承载了多重含义,每一次重读都会解锁新的解读维度。更让我印象深刻的是,作者似乎并不急于给出明确的答案或最终的道德裁决,相反,他更倾向于构建一个充满张力的灰色地带,让读者自己去填补那些留白之处。这种“留白”的处理方式,既是对读者智识的信任,也是一种高明的叙事策略,它让故事在你合上书本之后,依然在你脑海中嗡嗡作响,持续发酵。这本书需要沉下心来,慢慢品味,任何急躁都会让你错过那些隐藏在字里行间的精妙设计。

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这本书的开篇就将我牢牢地抓住了,那种叙事的节奏感,如同一个经验丰富的老水手在讲述他航行过的惊涛骇浪,每一个转折都充满了不可预测的张力。作者似乎对人类心理的幽微之处有着近乎偏执的洞察力,笔下的人物绝非扁平的符号,他们挣扎、迷惘,甚至做出那些在道德天平上难以称量的选择,每一个决定都带着沉甸甸的重量。我特别欣赏作者对环境氛围的细腻描摹,那种阴郁、潮湿,又带着某种古典的庄严感,仿佛能透过文字闻到古老图书馆里纸张和灰尘混合的味道。故事的推进并不依赖于廉价的戏剧冲突,而是植根于角色之间微妙的权力博弈和根深蒂固的旧日情结。读到中期时,我不得不停下来,反复咀嚼那些关于自由意志与宿命论的哲学思辨,它们并非生硬地被抛出,而是自然地融入对话和角色的内心独白之中,让阅读体验上升到了一个更高的层次。这本书的语言本身就是一种享受,它既有古典文学的严谨与韵律,又不失现代叙事的前卫和锋利,很多句子读起来就像是精心打磨过的宝石,每一个词语都恰到好处地嵌在应有的位置,散发着独特的光芒。它迫使读者去反思我们日常生活中那些习以为常的假设,挑战那些我们从未仔细审视过的“公理”。

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这部作品的阅读体验,用“酣畅淋漓”来形容或许有些不贴切,更准确地说,它像是一次漫长而又必要的精神探险,沿途布满了智力上的陷阱和情感上的迷宫。作者对于社会阶层与人性异化的描绘,尤其尖锐和深刻。他没有使用夸张的手法去控诉,而是通过一系列精准、近乎手术刀般冷静的观察,揭示了在特定社会结构下,个体如何被系统地规训和肢解。我特别关注到那些边缘角色的命运,他们往往是揭示核心矛盾的最佳载体,作者赋予了他们令人心碎的真实感,他们的悲剧性不是因为命运的不公,而是因为他们无可逃避地成为了某个宏大逻辑的牺牲品。文风上,它混合了一种冷静的学术气息和一股压抑的、近乎后现代主义的戏谑感,这种奇特的混搭并没有产生冲突,反而形成了一种独特的张力——它让你在分析人物动机的同时,又忍不住为他们的荒诞命运感到一丝悲悯。这本书无疑是写给那些不满足于表面叙事,渴望深挖文本底层结构,并乐于接受思维挑战的读者群的。

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