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☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge University Press

作者:A. S. Troelstra

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2000-7-31

价格:USD 49.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521779111

丛书系列:Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science

图书标签:

数学
逻辑学
证明论
计算机软件和理论
计算机
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具体描述

This introduction to the basic ideas of structural proof theory contains a thorough discussion and comparison of various types of formalization of first-order logic. Examples are given of several areas of application, namely: the metamathematics of pure first-order logic (intuitionistic as well as classical); the theory of logic programming; category theory; modal logic; linear logic; first-order arithmetic and second-order logic. In each case the aim is to illustrate the methods in relatively simple situations and then apply them elsewhere in much more complex settings. There are numerous exercises throughout the text. In general, the only prerequisite is a standard course in first-order logic, making the book ideal for graduate students and beginning researchers in mathematical logic, theoretical computer science and artificial intelligence. For the new edition, many sections have been rewritten to improve clarity, new sections have been added on cut elimination, and solutions to selected exercises have been included.

《数理逻辑基础：哥德尔、图灵与计算的边界》本书简介这是一部深入探讨数理逻辑核心概念、历史脉络及其对现代计算理论奠基性影响的专著。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的框架，用以理解逻辑推理的本质、形式系统的强大与局限，以及可计算性的深刻意义。我们不着重于展示具体证明的技巧，而是聚焦于构建这些理论的哲学基础、核心公理以及由此引发的深远变革。第一部分：形式系统的构建与表达能力第一章：符号化的语言与逻辑演算的起源本章追溯了人类理性思考如何被形式化为一个精确、无歧义的符号系统。我们探讨了从亚里士多德的三段论到莱布尼茨的“通用语言”的演进历程。重点关注了布尔代数作为第一个成功的命题演算形式化的意义。我们将详细分析命题逻辑（Propositional Logic）的语法结构——如何通过连接词（$land, lor, eg, ightarrow$）构建复杂的陈述。在语义方面，本书深入阐释了真值表方法，揭示了如何机械地判定一个命题公式的有效性。我们还将引入“重言式”（Tautology）和“矛盾式”（Contradiction）的概念，为后续的演绎推理奠定基础。第二章：一阶谓词逻辑的飞跃命题逻辑的局限在于无法处理量化关系。本章将引入一阶谓词逻辑（First-Order Logic, FOL），这是现代数学和计算机科学的通用语言。我们详细剖析了量词（$forall$“全称量词”和 $exists$“存在量词”）的引入如何极大地增强了系统的表达能力，使其能够精确地描述集合、关系和结构。本书将系统地介绍 FOL 的语法，包括项（terms）、谓词符号（predicates）和函数的规范。在语义部分，我们将深入探讨“模型论”（Model Theory）的基础，解释塔斯基的真值定义，即如何在一个给定的结构中判定一个 FOL 语句的真值。这部分内容对于理解数据库理论和形式化规格说明至关重要。第三章：演绎推理与完备性问题形式逻辑不仅是描述真理的语言，更是推导新知识的工具。本章聚焦于演绎系统，特别是自然演绎法（Natural Deduction）和公理化系统（Axiomatic Systems）。我们将详细考察推导规则，如条件证明规则（Conditional Proof）和普遍实例化规则（Universal Instantiation）。核心讨论将围绕完备性定理（Completeness Theorem）展开。我们将回顾希尔伯特风格的演绎系统，并阐述哥德尔的完备性定理：一个 FOL 语句在其所有模型中都为真，当且仅当它可以被演绎出来。这确立了逻辑的推导能力与语义上的真实性之间完美的对应关系。第二部分：计算的本质与极限第四章：可定义性与有效性（Effectiveness）在二十世纪初期，数学家们开始质疑“可计算”、“可定义”这些直观概念的精确内涵。本章旨在梳理这一概念的严格化过程。我们将探讨早期关于“有效方法”的尝试，包括递归函数（Recursive Functions）的概念。重点分析图灵机（Turing Machine）作为通用计算模型的构建。我们将详细描述图灵机的状态、读写头和转移函数，并解释其作为一种抽象机器如何模拟任何已知的、基于算法的计算过程。本书将强调图灵机作为“有效性”的黄金标准，而非仅仅是一种历史产物。第五章：判定性与不可判定性理论的真正突破在于揭示了某些问题的内在不可解性。本章将专注于停机问题（The Halting Problem）。我们将通过对角线论证法，严格证明不可能构造出一个通用的程序来判定任意给定程序是否会在有限时间内停止。随后，我们将介绍邱奇-图灵论题（Church-Turing Thesis），即任何直观上可计算的问题都可以被图灵机计算。这一论题将不可判定性（Undecidability）的概念提升到理论的最高层面，影响了编程语言设计和软件验证的边界。第六章：算术的形式化与哥德尔的震撼本部分的高潮是哥德尔不完备性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）的详细阐述。本书将首先介绍如何将算术（如皮亚诺算术PA）编码进逻辑语言中，即哥德尔编码（Gödel Numbering）的技术。随后，我们将分步解析第一不完备性定理：在任何足够强大以包含初等算术的、一致的（Consistent）形式系统中，都存在一个无法被证明也无法被证伪的算术命题。接着，我们将深入探讨第二不完备性定理，它表明该系统无法证明自身的无矛盾性。我们将探讨这些定理对数学基础研究的哲学冲击，特别是对形式主义纲领的终结性影响。第三部分：逻辑的应用与扩展第七章：一致性、可判定性与复杂性本书的后半部分将逻辑理论应用于现代科学的交叉领域。我们将讨论一致性（Consistency）问题，即一个形式系统自身是否会导出矛盾，以及如何尝试使用更基础的系统来证明其一致性（这直接关联到第二不完备性定理的限制）。此外，我们将简要介绍形式逻辑在判定问题（Decision Problem）上的历史尝试，例如对一阶逻辑模型的存在性检查，并引入复杂性理论的基本概念，如 P 类和 NP 类问题，展示逻辑推理的效率限制。第八章：模态逻辑与非经典推理为了处理时间、知识和必然性等概念，逻辑学必须超越经典二值体系。本章将介绍模态逻辑（Modal Logic），特别是对 $Box$（必然）和 $Diamond$（可能）运算符的定义。我们将探讨Kripke 语义，使用可达性关系来定义模态逻辑中的真值，这为知识表示和人工智能中的推理模型提供了强大的工具。结论：逻辑的遗产与未来视野本书最后总结了数理逻辑如何从纯粹的哲学思辨成长为驱动现代信息科学的理论核心。我们回顾了逻辑如何定义了“计算”的边界，揭示了人类知识体系的内在限制，并为人工智能、计算机科学和数学基础研究指明了方向。本书旨在激发读者对推理本质的深层思考，而非仅仅掌握操作符号的技巧。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我必须得说，这本书的排版和视觉呈现水平，在学术书籍中算是相当高的水准了。清晰的字体选择，合理的行间距，以及最重要的——公式的展示方式。在逻辑学和数学领域，一个糟糕的排版可以瞬间扼杀读者的阅读兴趣，尤其是在处理复杂的嵌套结构和大量的下标、上下标时。这本书在这方面做得非常专业，所有的定理、定义和引理都被清晰地框选或以不同的字体格式突出显示，这使得在回顾笔记或者查找特定规则时，效率高得惊人。更不用提那些图示了——那些用来解释推理过程的树状图和语义结构图，绘制得极为精美且信息密度适中，避免了过度简化导致的失真，也避免了过度复杂导致难以阅读的弊病。我过去经常为了理解某个推导过程，不得不自己动手重画那些图表来加深理解，但读这本书时，我发现原书的图示往往已经达到了最佳的解释效果，这无疑是节省了大量宝贵的时间和精力。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，这本书的定价对于一些学生群体来说可能略显偏高，但这或许是高质量学术出版物无法避免的成本。但从我个人的使用体验来看，它完全物超所值。它不仅仅是一本可以“学完就扔”的参考书，我敢肯定，在接下来的几年里，每当我需要回顾或者深入研究某个具体的证明结构，我都会毫不犹豫地翻开它。它提供的那种深层次的、结构化的知识储备，是碎片化学习永远无法替代的。尤其是在对比了市面上其他声称要涵盖基础理论的教材后，这本书在逻辑深度、覆盖的案例广度以及行文的精确性上，都展现出了明显的代际优势。它为我后续深入研究更前沿的领域打下了无比坚实的基础，我甚至觉得，与其花时间去读好几本浅尝辄止的入门材料，不如直接啃下这本“硬骨头”，虽然过程略有艰辛，但收获绝对是系统性和持久性的。它真正做到了“立足基础，放眼未来”。

评分☆☆☆☆☆

如果要用一个词来形容这本书带给我的最大感受，那就是“严谨性”与“启发性”的完美平衡。它可不是一本可以让人轻松翻阅的休闲读物，它要求你投入时间、保持专注，甚至需要你准备好一支笔和大量的草稿纸来跟进那些需要你亲自完成的练习和思辨。然而，这种高强度的投入并没有带来挫败感，反而是不断激发出“原来还可以这样想”的惊喜。作者在讲解一些经典证明（比如哥德尔不完备性定理的某些逻辑基础论述）时，不仅提供了标准路径，还常常会穿插一些历史背景或者不同学派对此的看法差异，这让冰冷的逻辑推理瞬间充满了人文色彩和思想的张力。这种超越纯粹技术层面的讨论，极大地提升了阅读体验，它不仅仅是一本技术手册，更像是一次对现代数学思维基石的深度考古之旅。对于那些不满足于“知道结论”而渴望洞察“结论是如何诞生”的读者来说，这本书绝对能满足你对知识深度的渴望。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排简直是教科书级别的典范，那种行云流水的过渡让人读起来非常舒服，完全没有那种为了凑页数而硬塞内容的臃肿感。我特别欣赏作者在处理不同逻辑系统之间的横向比较时所采用的策略。比如，在介绍经典命题逻辑的完备性定理时，作者并没有急于转向一阶逻辑，而是先用大量篇幅确保读者对“什么是完备性”以及“如何证明它”有了扎实的直觉。随后，当引入模态逻辑或者更抽象的范畴论视角时，你会发现那些基础知识已经牢牢地植入了你的思维深处，不再需要频繁回顾前面的章节。这种步步为营的教学方法，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。我过去读过几本同类型的书籍，常常是在一个章节里突然跳跃到完全不同的证明技术，让人措手不及，而这本则像一个耐心的导师，始终牵着你的手，确保你每一步都站稳了脚跟。对于那些希望系统性掌握证明论的读者来说，这种循序渐进的叙事节奏，绝对是它最值得称道的地方。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我真的下了不少功夫才啃完，说实话，作为一本数学逻辑入门读物，它的内容深度和广度都超出了我的预期。一开始我还担心会像很多教科书那样，把一些核心概念讲得晦涩难懂，需要反复对照其他参考资料才能理清头绪。但这本书在这方面做得相当出色，作者似乎非常懂得初学者的痛点，用一种近乎讲故事的方式，把那些复杂的逻辑推导过程娓娓道来。尤其是关于如何构建一个形式系统，以及如何在其中进行有效的证明，那些具体的例子和步骤解析得极其透彻。我记得有一章专门讨论了直觉主义逻辑的某些特性，那段的论述简直是点睛之笔，让我对逻辑的“真实性”和“可构造性”有了全新的理解。如果仅仅是停留在介绍符号和规则的层面，那它和网络上随便能找到的教程也没什么区别了，但这本书的价值在于它构建了一个完整的思维框架，让你不仅仅学会“怎么做”，更重要的是理解“为什么这么做”。读完之后，我对后续学习高级主题的信心大增，感觉自己终于有了一把可靠的工具箱，而不是面对一堆零散的零件感到手足无措。

评分☆☆☆☆☆

虽然写的很难看（特别是符号），但有什么问题第一时间拿来参考的还是它……

评分☆☆☆☆☆

虽然写的很难看（特别是符号），但有什么问题第一时间拿来参考的还是它……

评分☆☆☆☆☆

比较新的证明论教材，符号表和推理规则中使用ot替代 eg。并没有直接介绍根岑式系统LK和LJ，而选择了和它们很像的系统，主要区别在于序贯中的序列变为多重集，并删除了结构规则中的交换规则，也介绍了去除其他结构规则的根岑式系统。

评分☆☆☆☆☆

证明论课程教材2

评分☆☆☆☆☆

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