数论中未解决的问题

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出版者:科学出版社
作者:Guy, R. K.
出品人:
页数:437
译者:
出版时间:2007-1
价格:78.00元
装帧:
isbn号码:9787030182937
丛书系列:国外数学名著系列(影印版)
图书标签:
  • 数论
  • 数学
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具体描述

《国外数学名著系列(影印版)29:数论中未解决的问题(第3版)》分题目列出了数论中尚未解决的一些问题和猜想,对开展研究工作有很好的指导意义并指明了一些研究方向。

拓扑学与几何构造的奥秘:超越欧几里得的边界 本书深入探讨了现代拓扑学和几何构造的前沿领域,旨在为读者构建一个清晰、严谨且富有启发性的知识框架。我们将聚焦于那些挑战传统欧几里得几何观点的概念,并探究它们在纯数学和应用科学中的深远影响。 第一部分:基础拓扑学与连续性的重塑 本部分将从最基础的集合论概念出发,逐步引入拓扑空间的严格定义。我们不会止步于点集拓扑的常规讨论,而是着重于同胚这一核心概念的精妙之处。同胚不仅是连续的双射,更是保持空间内在结构不变的映射。我们将详细分析如何利用开集族来定义拓扑结构,并探讨不同拓扑结构(如粗拓扑与细拓扑)对空间性质的影响。 流形的概念与构造: 紧接着,我们将进入微分流形的构建。流形是局部上与欧几里得空间相似的空间,是连接代数、几何与分析的桥梁。我们将详细阐述坐标卡、转移映射的平滑性要求,并以球面、环面作为经典实例进行细致剖析。我们着重探讨可定向性这一重要的拓扑不变量,并展示为何某些看似简单的三维物体(如克莱因瓶)在嵌入高维空间时所面临的限制。 基本群与同伦: 在代数拓扑的范畴内,我们将介绍基本群 ($pi_1$) 作为衡量空间“洞”的代数不变量。我们将使用环路的概念来直观理解群的结构,并计算圆周、$S^2$ 等简单空间的 $pi_1$ 群。随后,同伦理论将扩展到高阶同伦群,揭示空间在高维嵌入中可能存在的复杂弯曲和缠绕。 第二部分:微分几何与曲率的深度剖析 微分几何是理解空间弯曲程度的数学工具。本部分将侧重于黎曼几何的严谨建立,这将是理解广义相对论等物理理论的基石。 黎曼度量与张量分析: 我们将定义黎曼度量张量 $g_{ij}$,它是度量空间中长度和角度概念在光滑流形上的推广。在此基础上,我们将引入协变导数的概念,这是在弯曲空间中进行微分运算所必需的工具,它保证了向量沿着曲线平移时保持“平行”的意义。 测地线方程与测地曲率: 测地线是流形上两点间“最短路径”的推广。我们将推导测地线方程,并探讨测地线如何反映空间的内在几何性质。曲率是微分几何的灵魂。我们将深入探讨黎曼曲率张量的定义,并分析其在描述空间弯曲程度上的决定性作用。我们将对比高斯曲率(二曲率)和里奇曲率,阐明它们在二维曲面和高维流形上的物理和几何意义。 第三部分:代数拓扑的工具箱与几何约束 本部分将展示如何使用更抽象的代数结构来分类和区分几何对象。 同调论的威力: 继基本群之后,我们将引入同调群 ($H_n$)。与基本群对路径依赖的敏感性不同,同调群主要关注“洞”的维度,具有更好的代数性质(如可计算性)。我们将通过链复形、边界算子和正合序列,系统地构建奇异同调和简约同调理论,并展示如何计算经典的拓扑空间(如球面、环面)的同调群。 庞加莱对偶与霍普夫定理: 我们将探讨庞加莱对偶定理,它揭示了流形上 $k$ 维循环与 $(n-k)$ 维共链之间的深刻关系,这是几何与代数之间高度对称性的体现。随后,我们将触及霍普夫定理,该定理陈述了某些光滑流形上的向量场(如球面上的风场)必然存在零点,这直接源于拓扑约束,而非分析上的偶然性。 第四部分:低维拓扑与纽结理论的几何学 低维拓扑(二维和三维)拥有独特的结构和丰富的现象,其中纽结理论是引人入胜的领域。 纽结的不变量: 纽结是三维空间中一维曲线的嵌入。本书将专注于如何区分不同的纽结。我们将介绍几种重要的拓扑不变量,包括琼斯多项式和亚历山大不变量。我们将详细阐述如何通过计算纽结的补空间的代数性质(如纽结群)来区分看似相似的缠绕结构。 三维流形的分类: 我们将简要概述对三维流形进行分类的努力,包括对瑟斯顿几何化猜想(现已证明)的几何动机的探讨。理解这些流形如何被分解成具有特定几何结构的片段,是理解三维空间的拓扑结构的关键。 结语:几何思维的未来 本书的最终目标是培养读者一种“几何思维”,即习惯于用整体结构、不变性、弯曲度和连续形变的角度来审视数学问题。我们所探讨的这些概念,从定义光滑性到计算代数不变量,共同构成了现代几何学研究的基石,并持续影响着理论物理学、计算机图形学乃至数据科学的未来发展方向。

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目录信息

读后感

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用户评价

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这本书的写作风格有一种独特的“冷峻的浪漫主义”。它谈论的是最纯粹、最冷酷的逻辑结构,但作者的笔调却饱含着对这些结构之美的无限向往。我读到某些章节时,仿佛能听到数学家们在深夜里与纸笔搏斗的声音,那种既是孤独又是普世的探索精神被刻画得入木三分。它没有采用流行的“通俗化”写作策略去迎合大众,而是坚定地站在了数学的前沿,用最准确的语言去描述最前沿的挑战。这种不妥协的态度,使得这本书成为了一个可靠的参考源,而不是一个短暂的消遣品。特别是书中对一些经典猜想的现状分析,其深度和时效性都令人印象深刻,它不仅仅回顾了历史,更是对当前研究热点进行了精准的定位,让你清晰地知道,今日的数学英雄们正在哪些战场上厮杀。这种前沿性和历史感的完美结合,让阅读过程充满了史诗般的厚重感。

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从排版和装帧来看,这本书就散发出一种专业而沉稳的气息,内页的留白恰到好处,保证了阅读的舒适度,这对于内容密集的数学著作来说至关重要。但真正让我感到惊喜的是,作者在讨论那些晦涩的证明草稿或早期猜想表述时,所使用的类比和类推的技巧。他深知,有些概念是无法仅凭纯粹的逻辑推导来完全理解的,因此,他引入了一些非常巧妙的、来自日常生活的观察作为辅助理解的工具。这种策略极大地降低了理解门槛,使得原本可能需要数周才能掌握的概念,在几次反复阅读后便能窥见其内在的精髓。这本书更像是一本“思维工具箱”,而不是一本“知识百科全书”。它教会了我如何去质疑那些看起来“理所当然”的数学断言,如何识别一个问题的真正难度所在,以及最重要的——如何保持对一个看似遥不可及的目标的持久热情。这是一次对思维边界的有力拓展。

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这是一本将抽象的数学思考转化为具体可感体验的典范之作。我尤其欣赏作者在处理那些长期悬而未决的难题时所展现出的那种近乎哲学的洞察力。他没有试图给出任何“速成”的钥匙,相反,他用近乎诗意的语言,勾勒出了人类思维在面对数学宇宙的边界时所表现出的谦卑与执着。书中的结构安排非常精妙,它不是按照传统数学分支的顺序来组织,而是以“悬而未决”这个共同的主题将看似零散的难题串联起来,形成了一种强烈的内在张力。这种结构迫使读者必须时刻保持警觉,因为你永远不知道下一页会跳跃到哪个完全不同的数学领域,但正是这种跳跃,让你看到了不同数学分支之间潜在的、尚未被完全揭示的联系。阅读体验上,我感觉自己像是在一个巨大的、尚未完全点亮的星系图中穿梭,每读完一章,就好像点亮了一颗新的恒星,虽然它本身还未被完全探测,但其光芒已经足以照亮周围的一片空间,让人对未知的更深处充满敬畏。

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坦率地说,这本书的阅读门槛比我想象的要高一些,但绝对是值得投入时间去消化的“硬菜”。它并非那种能让你在咖啡馆里轻松翻阅的读物,更适合在安静的环境中,手边备着笔记本,随时准备暂停下来,梳理思绪。作者的论证逻辑链条非常紧密,几乎没有一处是多余的赘述,这对于追求精确性的读者来说是极大的福音。然而,对于那些习惯于被“喂养”知识的读者,初次接触可能会感到有些吃力,因为很多背景知识需要读者自己去补充和巩固。我个人最赞赏的一点是,作者在关键的转折点上,总是会用一种极其简洁的数学语言重申问题的核心困境,这种反复的聚焦,帮助我把那些复杂的符号和定义重新锚定回最本质的数学直觉上。它不是在“教”你解题,而是在“教”你如何像一个真正的问题提出者那样去思考,这种思维方式的重塑,比记住任何一个公式都要宝贵得多。

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这本书的叙述方式简直像是一场智力探险的导览图,虽然我深知其中的理论深度,但作者的笔触却出人意料地轻盈。他没有将那些高耸的数学概念堆砌起来,而是像一位经验丰富的登山向导,每一步都清晰地标示出路径和可能的陷阱。阅读过程中,我感受到的不是被复杂的证明压垮的沮丧,而是一种对未知领域跃跃欲试的兴奋。特别是对于那些跨学科背景的读者,这本书提供了一个极佳的切入点,它巧妙地平衡了严谨性和可读性。那些被教科书包装得过于冰冷的概念,在这里被赋予了鲜活的生命,仿佛每一个定理背后都有一个引人入胜的故事等待被发掘。作者在讲解每一个重要猜想时,都不仅仅停留在陈述其内容,更是深入剖析了提出该问题的历史背景、解决该问题可能带来的深远影响,甚至细致描绘了前人尝试失败的路径,这种全景式的描绘,极大地拓宽了我的视野,让我体会到数学研究的真正魅力所在——它不是最终答案的集合,而是一个永无止境的探索过程。

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是一本经典的记录数论问题的书。作者是加拿大著名数学家,在2020年3.9号于家中去世,享年103岁。许多数论人研究问题就是从这本书开始的。我第一次接触Euler数的问题,看到了其中关于sex(x)函数的展开系数问题。这本书还有中文译本,是一本很值得看一看的书。

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是一本经典的记录数论问题的书。作者是加拿大著名数学家,在2020年3.9号于家中去世,享年103岁。许多数论人研究问题就是从这本书开始的。我第一次接触Euler数的问题,看到了其中关于sex(x)函数的展开系数问题。这本书还有中文译本,是一本很值得看一看的书。

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很多数论方向的问题都没有

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是一本经典的记录数论问题的书。作者是加拿大著名数学家,在2020年3.9号于家中去世,享年103岁。许多数论人研究问题就是从这本书开始的。我第一次接触Euler数的问题,看到了其中关于sex(x)函数的展开系数问题。这本书还有中文译本,是一本很值得看一看的书。

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很多数论方向的问题都没有

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