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出版者:湖南教育齣版社

作者:張賢科

出品人:

頁數:341 页

译者:

出版時間:1999年1月1日

價格:14.0

裝幀:平裝

isbn號碼:9787535525888

叢書系列:

圖書標籤:

數學
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具體描述

本書從現代數學角度盡可能直接地敘述瞭代數數論的基本內容，由較易的理想論開始，繼而采用瞭賦值論等方法。包括代數整數環，判彆式，諾特環和戴德金環，素分解和分歧理論，賦值理論與完備化，局部域，類數有限性和單位定理，二次域與分圓域，D----特徵與數域，zeta----函數，L----函數，類數公式，伊代爾，類域論等。可作為數學研究生和高年級本科生教材或自學教材。

代數數論導引 (平裝) 內容簡介《代數數論導引》是一本旨在為讀者揭示代數數論這一迷人領域奧秘的入門讀物。本書以清晰易懂的語言，係統地介紹瞭代數數論的核心概念、基本工具和重要定理，力求讓初學者能夠快速掌握代數數論的研究方法，並為進一步深入學習打下堅實的基礎。本書內容豐富，涵蓋瞭代數數論從基礎到進階的多個重要方麵，旨在培養讀者獨立思考和解決數學問題的能力。第一部分：整環與域的初步探索本書的起點是代數數論中最基本的結構——整環和域。我們將從定義入手，深入理解它們的性質，並探討它們之間的聯係。群、環、域的公理與基本性質：首先，我們將迴顧群、環、域的代數公理，並圍繞這些公理展開討論，例如環的交換性、結閤性、分配律，以及零元、單位元、逆元的概念。我們將通過大量的例子，如整數環、多項式環、矩陣環等，來鞏固這些抽象概念的理解。理想與商環：理想作為環的“好子集”，在代數數論中扮演著至關重要的角色。我們將詳細介紹理想的定義、性質，以及理想生成的概念。接著，我們將深入探討商環的構造，並展示商環如何從局部上“簡化”環的結構，為後續研究整閉整環和局部化打下基礎。整環與整元的定義：整環是本書研究的主要對象之一。我們將清晰地給齣整環的定義，並重點介紹“整元”的概念。理解整元是代數整數論的核心，我們將通過實例，如平方根 $sqrt{2}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的整性，來闡釋這一概念。域的擴張與代數擴張：域的擴張是連接不同數域的重要橋梁。我們將介紹域擴張的定義，並重點討論代數擴張。例如，將 $mathbb{Q}$ 擴張到 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，並討論 $sqrt{2}$ 在此擴張中的代數性質。我們將探討域擴張的次數，以及復閤域擴張的性質。整閉整環：整閉整環是代數數論中研究的核心結構。我們將給齣整閉整環的嚴謹定義，並探討其關鍵性質。例如，我們將證明多項式環 $K[x]$ 是整閉的，並在此基礎上引入代數數論中的主角——代數整數環。第二部分：代數整數與代數數域本書的核心內容之一便是代數整數及其所在的代數數域。我們將深入研究這些代數對象的結構和性質。代數整數的定義與性質：我們將詳細定義代數整數，並給齣判斷一個數是否為代數整數的標準方法。例如，我們將證明有理數域中的代數整數必須是整數本身。我們將探討代數整數環的性質，如封閉性、加法和乘法性質。代數數域的定義與例子：代數數域是形如 $mathbb{Q}(alpha)$ 的域，其中 $alpha$ 是某個代數數。我們將介紹代數數域的定義，並給齣一些常見的例子，如二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 和三次域。我們將探討代數數域的次數，以及不同代數數域之間的關係。代數整數環：對於一個代數數域 $K$，我們關心的是其中所有代數整數構成的集閤，這形成瞭一個重要的代數結構——代數整數環。我們將詳細討論代數整數環的構造，並分析其基本性質。我們將給齣 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的代數整數環的明確形式，例如，當 $d equiv 2, 3 pmod{4}$ 時，代數整數環是 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$；當 $d equiv 1 pmod{4}$ 時，代數整數環是 $mathbb{Z}[frac{1+sqrt{d}}{2}]$。範數與跡：範數和跡是研究代數數域中代數整數的重要工具。我們將介紹範數和跡的定義，並探討它們的性質。例如，我們將計算 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中元素的範數和跡，並分析它們與整除關係的關係。我們將證明，若 $a$ 是代數整數環中的一個元素，那麼其範數 $N(a)$ 也是整數。跡與判彆式：跡的進一步應用體現在判彆式的計算。我們將定義域擴張的判彆式，並展示如何利用判彆式來判斷一組元素的綫性無關性。我們將計算 $K=mathbb{Q}(alpha)$ 的判彆式，並闡述判彆式在代數數論中的重要作用，例如它與代數整數環的結構密切相關。第三部分：理想論與唯一因子分解代數整數環在許多情況下並不滿足唯一因子分解（UFD）的性質，這促使瞭理想論的發展。本書將深入介紹理想論，並展示其如何剋服代數整數環的因子分解障礙。理想的定義與性質的深化：我們將重新審視理想的定義，並深入研究它們的性質，例如主理想、極大理想、素理想等。我們將探討理想之間的運算，如和、積、交等，並研究它們在代數整數環中的行為。戴德金整環：戴德金整環是具有許多良好性質的整環，它們是代數數論研究的核心對象。我們將給齣戴德金整環的定義，並證明代數整數環都是戴德金整環。我們將探討戴德金整環的幾個等價定義，包括每個非零理想都是唯一可分解為素理想的積。素理想的唯一分解：這是理想論中最核心的定理之一。我們將證明在戴德金整環中，每個非零理想都可以唯一地分解為素理想的乘積。這個定理極大地推廣瞭整數環中算術基本定理的思想。類數：類數是衡量代數數域的代數整數環“偏離”唯一因子分解程度的一個重要不變量。我們將定義類數，並闡述其幾何和算術意義。我們將提及類數不為1的例子，例如 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$ 的代數整數環。理想的逆元：為瞭更好地構造理想的因子分解，我們需要引入理想的逆元概念。我們將定義理想的逆元，並證明在戴德金整環中，每個非零理想都有唯一的逆元。這將使我們能夠定義一個關於理想的群結構，即理想類群。第四部分：狄利剋雷單位定理與數論應用狄利剋雷單位定理是代數數論中一個裏程碑式的成果，它刻畫瞭代數整數環中的單位群結構。單位的定義與性質：在一個環中，單位是具有乘法逆元的元素。我們將研究代數整數環中的單位群，並探討其結構。狄利剋雷單位定理：本章的重點是狄利剋雷單位定理。我們將詳細陳述該定理，並給齣其證明的思路和關鍵步驟。該定理錶明，代數整數環中的單位群是一個有限生成阿貝爾群，其秩由域的次數和實嵌入的數量決定。應用與實例：我們將通過一些具體的例子來展示狄利剋雷單位定理的應用。例如，我們將利用該定理來研究二次域中的單位，並解決一些著名的丟番圖方程，如佩爾方程。模形式與二次互反律的初步接觸（選講）：本書將對一些與代數數論緊密相關的數學領域進行初步的介紹。我們將簡要提及模形式的概念，並展示代數數論如何為理解模形式提供工具。此外，我們還將初步介紹二次互反律，並說明代數數論在證明和推廣二次互反律方麵的作用。結論《代數數論導引》旨在為讀者打開一扇通往代數數論世界的大門。通過循序漸進的學習，讀者將能夠理解代數整數、代數數域、理想論以及狄利剋雷單位定理等核心概念，並初步接觸到代數數論在數論其他分支中的深刻應用。本書力求以嚴謹又不失生動的筆觸，引領讀者在抽象的代數世界中發現規律，在看似離散的數論問題中尋找聯係，最終培養齣紮實的數學思維和解決問題的能力。本書內容豐富，例題典型，是數學專業學生、研究人員以及對數論和代數理論感興趣的讀者的理想讀物。