Basic Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:M. Scott Osborne

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2000-05-19

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387989341

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

同调代数
数学
Homological
Algebra
其余代数7
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Springer
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graduate level
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具体描述

From the reviews: "The book is well written. We find here many examples. Each chapter is followed by exercises, and at the end of the book there are outline solutions to some of them. [...] I especially appreciated the lively style of the book; [...] one is quickly able to find necessary details." EMS Newsletter

基础同调代数概览同调代数是抽象代数的一个分支，它研究的是由链复形和同调群所定义的代数结构。该领域在许多数学分支中都扮演着至关重要的角色，包括代数拓扑、代数几何、交换代数和表示论。同调代数提供了一种强大的工具来理解和区分复杂的代数对象，以及研究几何空间的拓扑性质。核心概念在同调代数的核心是链复形的概念。链复形是由一系列代数对象（通常是模或群）组成的序列，以及在这些对象之间映射（称为边界映射），这些边界映射满足一个关键属性：一个映射的像总是另一个映射的核。形式上，一个链复形 $C_$ 可以表示为： $$ dots o C_{n+1} xrightarrow{d_{n+1}} C_n xrightarrow{d_n} C_{n-1} o dots $$ 其中 $d_n$ 是一个从 $C_n$ 到 $C_{n-1}$ 的映射，并且 $d_n circ d_{n+1} = 0$ 对于所有的 $n$ 都成立。同调群是链复形的核心不变式。对于一个链复形 $C_$，其 $n$ 阶同调群 $H_n(C_)$ 定义为： $$ H_n(C_) = frac{ ext{ker}(d_n)}{ ext{im}(d_{n+1})} $$ 换句话说，同调群衡量了链复形“不是链”的程度。如果 $H_n(C_)$ 是非零的，那么它表明在 $C_n$ 中存在“空洞”或“环”，这些空洞或环无法被更高阶的映射“填充”或“消除”。同调代数的主要主题正合序列 (Exact Sequences)：正合序列是同调代数中一个非常基础且强大的工具。一个短正合序列 $0 o A o B o C o 0$ 表示一个从 $A$ 到 $B$ 的单射映射，一个从 $B$ 到 $C$ 的满射映射，并且 $A$ 的像等于 $B$ 的核。长正合序列是从短正合序列中导出的一系列同调群之间的关系，它们提供了计算和理解同调群的重要途径。函子 (Functors)：同调代数与范畴论密切相关。许多同调代数研究的对象可以通过函子来构造和理解。例如，张量积函子 $X otimes -$ 和 $ ext{Hom}(X, -)$ 函子。这些函子在作用于链复形时，可能会“破坏”链复形的链结构，从而导致出现右导出函子（如 $ ext{Tor}$ 和 $ ext{Ext}$）的产生。导出函子 (Derived Functors)：对于一些不保持正合性的函子（例如张量积），同调代数引入了导出函子的概念，如 $ ext{Tor}$（张量函子的右导出函子）和 $ ext{Ext}$（$ ext{Hom}$ 函子的右导出函子）。这些导出函子提供了衡量原函子“非正合性”的程度，并且在代数结构的研究中有着广泛的应用。例如，$ ext{Tor}(A, B)$ 为零当且仅当 $A$ 和 $B$ 在某个方面具有相似的“平坦性”性质；$ ext{Ext}(A, B)$ 衡量了 $B$ 作为 $A$ 的某个扩张的“方式”的数量。谱序列 (Spectral Sequences)：谱序列是一种更复杂的同调代数工具，通常用于处理具有“双重”结构的链复形，或者用于计算由复杂对象诱导的同调群。谱序列提供了一种渐进的方法来计算最终的同调群，它通过一系列“页面”（pages）来逼近目标，每一页都是前一页的“微分”运算的结果。当谱序列“收敛”时，它能够给出目标同调群的信息。层论 (Sheaf Theory)：在代数几何和微分几何中，层论是研究几何空间上局部数据如何一致地组合成全局数据的关键工具。同调代数在层论中扮演核心角色，通过研究层上同调群（如 $check{ ext{C}}$ech 同调和层上上同调）来揭示几何空间的拓扑和几何性质。应用领域同调代数的影响力贯穿了现代数学的许多领域：代数拓扑：同调代数起源于代数拓扑，用于研究拓扑空间的同调群，例如奇异同调群和胞腔同调群。这些同调群是拓扑不变量，可以帮助区分拓扑空间。代数几何：在代数几何中，同调代数用于研究代数簇和概形。层上同调是理解代数簇的重要工具，它揭示了代数簇的几何和分析性质。交换代数：同调代数提供了研究交换环和模的新视角，例如通过研究模的投影维度、内射维度以及导出函子（如 $ ext{Tor}$ 和 $ ext{Ext}$）来刻画模的性质。表示论：同调代数在表示论中用于研究群、代数和李代数的表示，特别是通过诱导函子和导出函子来分析表示的结构。学习同调代数的重要性掌握同调代数的概念和工具，对于深入理解代数几何、拓扑学、表示论以及其他许多高级数学分支至关重要。它提供了一种统一的语言和强大的方法来处理复杂的代数对象和几何结构，并揭示隐藏在表象之下的深刻联系。同调代数的研究不仅能深化对现有数学理论的认识，还能为解决新的数学问题提供有力的武器。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书散发着一种古典数学著作的魅力，它不追逐最新的研究热点，而是专注于打磨那些历经时间考验的核心概念。对于我这样的老读者来说，重温其中的某些章节，总能带来新的感悟，仿佛重新审视了一件打磨精良的艺术品。它在保持高度抽象性的同时，却又巧妙地在不同的数学分支之间建立了联系的桥梁，比如对张量积和Tor函子的讨论，完美地展示了代数结构如何通过函子进行传递和转化。这本书的价值在于它的自洽性和完备性，它为你构建了一个自我支撑的数学世界，一旦你掌握了它的规则，就能在这个世界里游刃有余地进行各种代数操作。它更像是一位严厉而公正的导师，在你成长的每一步都设立了清晰而合理的检验标准。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，说实话，对初学者来说可能略显“硬核”。它的叙事风格非常精炼，仿佛每一句话都承载了巨大的数学信息量，不容许任何思维的懈怠。我花了相当长的时间去消化其中关于链复形和上同调的章节，感觉自己仿佛置身于一个精密运作的数学机器内部，每一个齿轮的咬合都必须精确无误。那些证明的细节处理得极其彻底，几乎没有留下任何跳跃的步骤，这对于追求严谨性的读者来说是巨大的福音。然而，这种彻底性也带来了一定的阅读阻力，需要读者具备扎实的预备知识，比如对抽象代数有足够的亲和力。但一旦跨越了最初的门槛，你会发现作者的逻辑链条是如此坚不可摧，它不仅仅是在教授一门技术，更是在培养一种严谨的数学思维方式。这本书更像是教科书中的“武功秘籍”，需要勤学苦练才能领悟其真正的奥妙。

评分☆☆☆☆☆

这部经典的代数读物简直是为那些渴望在抽象代数领域深耕的学者量身定做的。它的结构安排极为严谨，从最基础的概念出发，逐步构建起复杂的同调代数框架，讲解过程清晰而不失深度。尤其值得称赞的是，作者在引入新概念时，总能提供恰到好处的动机和背景铺垫，使得读者在面对那些乍看起来有些晦涩的构造时，不至于感到迷失。书中大量的例子和习题，从经典的环论、模论背景延伸到更广阔的代数几何和表示论的边缘，极大地拓宽了读者的视野。我个人认为，对于研究生阶段的学生来说，这本书是搭建坚实理论基础的必备工具书，那些关于范畴论的细致阐述和函子性质的深入分析，为后续学习更前沿的数学分支打下了不可动摇的地基。如果你想真正掌握同调代数的精髓，而不是仅仅停留在公式的表面，这本书的详尽论述绝对能满足你的求知欲。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，这本书的排版和字体选择，虽然是经典的学术风格，但对于长时间阅读来说，还是需要一定的专注力来维持。内容上，它对局部化（localization）和导出函子（derived functors）的介绍可以说是教科书级别的典范。作者对这些概念的引入不是孤立的，而是紧密联系着伽罗瓦理论和交换代数中的经典问题，使得读者能够真切感受到同调代数作为一种“通用语言”的强大威力。它要求读者不仅要理解“是什么”，更要深刻理解“为什么会是这样”。我记得有一部分关于谱序列（Spectral Sequences）的讲解，虽然篇幅不长，但其清晰度足以让许多其他教材望尘莫及。这本书的目的似乎不是让你快速学会运用，而是让你彻底领悟其深层结构，这对于学术研究的长期发展至关重要。

评分☆☆☆☆☆

我尤其欣赏作者在处理一些关键性定理时的处理方式，那种层层递进的构建感实在令人印象深刻。比如，当我们探讨射影分解和内射分解时，书本并没有急于给出那些华丽的结论，而是耐心地引导读者理解为什么需要这些特定的分解工具，它们在解决哪些实际代数问题时具有不可替代的作用。这种“为解决问题而设计理论”的哲学贯穿始终，使得抽象的理论变得有了具体的落脚点。此外，书中的符号系统使用得非常规范和一致，这在处理多变的代数结构时显得尤为重要，避免了因符号混乱而导致的理解偏差。对于希望将同调方法应用于拓扑学或代数几何的读者而言，这本书提供的代数基础是绝对纯净且可靠的。它更像是一份高质量的工程蓝图，指引着你如何精确地建造起你的理论大厦。

评分☆☆☆☆☆