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☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Publishing Company

作者:Shlomo Zvi Sternberg

出品人:

页数:596

译者:

出版时间:2014-4-28

价格:USD 30.00

装帧:Paperback

isbn号码:9789814583930

丛书系列:

图书标签:

数学
Calculus
英文原版
Math
科学
微积分
高等数学
数学分析
实分析
函数
极限
连续性
微分
积分
序列与级数

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具体描述

An authorised reissue of the long out of print classic textbook, Advanced Calculus by the late Dr Lynn Loomis and Dr Shlomo Sternberg both of Harvard University has been a revered but hard to find textbook for the advanced calculus course for decades.

This book is based on an honors course in advanced calculus that the authors gave in the 1960's. The foundational material, presented in the unstarred sections of Chapters 1 through 11, was normally covered, but different applications of this basic material were stressed from year to year, and the book therefore contains more material than was covered in any one year. It can accordingly be used (with omissions) as a text for a year's course in advanced calculus, or as a text for a three-semester introduction to analysis.

The prerequisites are a good grounding in the calculus of one variable from a mathematically rigorous point of view, together with some acquaintance with linear algebra. The reader should be familiar with limit and continuity type arguments and have a certain amount of mathematical sophistication. As possible introductory texts, we mention Differential and Integral Calculus by R Courant, Calculus by T Apostol, Calculus by M Spivak, and Pure Mathematics by G Hardy. The reader should also have some experience with partial derivatives.

In overall plan the book divides roughly into a first half which develops the calculus (principally the differential calculus) in the setting of normed vector spaces, and a second half which deals with the calculus of differentiable manifolds.

《代数几何导论》面向研究生与高年级本科生的权威教材，深入浅出地探索代数几何的核心概念与前沿领域。内容简介：本书旨在为读者提供一套全面、严谨且富有启发性的代数几何学习路径。它不仅仅是一本教科书，更是一座连接经典代数与现代几何思想的桥梁。本书的编排精心设计，从基础概念的建立，到高级理论的阐述，层层递进，确保读者能够扎实地掌握这一迷人学科的精髓。第一部分：基础代数与簇论本书伊始，我们首先回顾并深化了读者在抽象代数中对环、理想和域的理解，重点聚焦于交换代数中对代数几何至关重要的结构。 1. 交换环与模：详细阐述了Noether环、局部化、正则局部环（regular local rings）的概念，这是理解代数空间的基础。我们引入了Krull维度理论，并通过链条件（chain conditions）建立了对维度的直观认识，为后续区分代数簇的“维度”提供了坚实的代数基础。 2. 射影空间与齐次坐标：引入$mathbb{P}^n$这一代数几何中最基本的对象。我们详尽讲解了齐次多项式、齐次理想与射影子集（即射影簇）之间的关系，以及如何利用射影坐标系来描述几何对象。对笛卡尔坐标系到射影坐标系的转换进行了细致的分析。 3. 扎里斯基拓扑与代数簇：本部分的核心在于建立代数几何的几何语言。我们严格定义了扎里斯基拓扑（Zariski topology）及其性质，并在此拓扑下定义了仿射簇（affine varieties）和射影簇（projective varieties）。通过大量实例，如锥（cones）、平面曲线（plane curves），读者将学会如何用代数方程来“看”几何形状。我们着重分析了不可约性（irreducibility）与既约性（reducedness）的代数判据。 4. 理想与环的对应：深入探讨了希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）的各个层面，揭示了代数对象（理想）与几何对象（簇）之间深刻而精确的对偶关系。本书清晰地阐释了理想的素性（primeness）对应于簇的既约性，以及理想的极大性（maximality）对应于簇上的“点”。 5. 结构层（Sheaves of Rings）：为了更精细地研究簇的局部性质，我们引入了结构层（sheaf of rings）的概念，特别是结构层$mathcal{O}_X$。我们定义了局部环、局部化，并利用茎（stalks）来量化簇上每一点的局部代数信息。这为进入更现代的概形理论做了必要的铺垫，尽管本书的主体仍侧重于经典代数簇。第二部分：态射与几何结构在建立了簇的基本框架后，本书转向研究这些几何对象之间的关系——态射（morphisms）。 6. 态射：定义了仿射簇之间的有理函数（rational functions）和态射的严格概念。我们探讨了态射的代数表示（通过环同态），并论证了态射的连续性（在扎里斯基拓扑下）。对双有理等价（birational equivalence）和同构（isomorphism）进行了区分和深入比较。 7. 射影簇的态射：专门处理了射影空间上的态射，引入了坐标环的齐次性要求。对笛卡尔积的嵌入（Cartesian product embedding）和Segre嵌入（Segre embedding）进行了详尽的讨论，特别是后者如何从代数结构上解释了乘积空间的代数簇性质。 8. 维度的深入分析：利用代数工具（如环的Krull维度）来定义和计算代数簇的维数。本书清晰地证明了代数簇的拓扑维度与相关环的Krull维度之间的一致性，这是连接几何直觉与代数严谨性的关键一步。 9. 奇点理论入门：为了区分“光滑”和“不光滑”的点，我们引入了切空间（tangent space）的概念。通过局部环的性质（如正则性、正则序列），我们给出了光滑点（regular points）的精确代数刻画。对某些典型奇点（如尖点、交点）进行了几何和代数上的分析。第三部分：经典几何与应用最后一部分将理论应用于具体的几何背景，展示代数几何在经典几何问题中的强大威力。 10. 线性代数群（Algebraic Groups）：简要介绍了线性代数群的基本概念，重点关注乘法群$mathbb{G}_m$和加法群$mathbb{G}_a}$，并展示了它们如何作为更复杂几何结构的构建块。 11. 分次结构与Blow-up：探讨了如何“解开”奇点，引入了“爆破”（blowing-up）的概念。我们展示了爆破操作如何将一个奇点转化为一个射影空间，从而将一个奇点簇转化为一个光滑的簇，这是代数几何中一个基础且重要的工具。 12. 实例分析：平面三次曲线（Cubic Curves in $mathbb{P}^2$）：选取平面三次曲线作为核心案例，演示了如何运用已学的知识来研究其结构。重点讨论了三次曲线上的点集如何构成一个群（群律的几何构造与代数证明），这是连接代数几何与数论（椭圆曲线）的起点。特色与读者对象：本书的写作风格力求清晰、准确，并带有浓厚的数学家思维训练的色彩。每章后附有大量精选的习题，从计算验证到理论探索，难度分层，旨在巩固所学知识。本书假定读者具备扎实的抽象代数基础（熟悉环论、模论基础），并对拓扑学有初步了解。推荐读者：数学系研究生，特别是主修代数、几何或微分几何方向的学生。有志于深入研究代数几何、代数拓扑、微分几何或理论物理（如弦论）的高年级本科生。希望系统性回顾或查阅经典代数几何基础知识的科研人员。本书致力于培养读者用代数语言精确描述几何直觉的能力，是迈向现代概形理论（Scheme Theory）的理想跳板。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

http://www.math.harvard.edu/~shlomo/docs/Advanced_Calculus.pdf 这本书以前是哈佛“荣誉课程”MATH55教材,可惜太难,后来就没有人用了.不可否认,作为教材,这本书有点鸡肋的味道,按照美国的初微高微模式,读完一般的初等微积分教材肯定读不懂这本书,起码你得看过Courant的微积...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格有一种独特的、近乎诗意的精确性，它很少使用过于口语化的表达，所有的陈述都如同经过无数次打磨的晶体一般锋利而纯净。我发现自己在阅读某些关于度量空间拓扑特性的章节时，常常需要放慢速度，细细品味每一个动词和限定词的用法。例如，书中对紧致性的定义及其等价命题的证明链条，清晰得如同精密的钟表结构，让人感叹数学语言的简洁美学。不过，我必须坦诚地指出，对于习惯了图表和直观解释的学习者来说，这本书的“纯文本”特性可能构成一个障碍。它几乎完全依赖于符号逻辑和文字叙述来构建其理论大厦，鲜有辅助性的图形插图。这使得初学者在建立空间感时会遇到困难，但反过来说，这也迫使读者必须在脑海中构建起抽象的数学结构，这本身就是一种高级的思维训练。

评分☆☆☆☆☆

这部书的数学深度简直令人叹为观止，我花了整整一个暑假才勉强跟上它的节奏。初接触时，那些关于拓扑空间的严谨定义和各种范畴论的初步探讨，简直像是在攀登一座知识的珠穆朗玛峰。作者对极限、连续性、可微性的处理，远超本科微积分的肤浅描述，真正进入了实分析的殿堂。尤其是关于勒贝格积分理论的引入，那种从黎曼积分的局限性出发，逐步构建更强大积分工具的逻辑推演，读起来酣畅淋漓，仿佛茅塞顿开。书中对各种反例的精心设计也极其出色，它迫使你跳出直觉的舒适区，真正理解数学定义的精确性和边界。举个例子，书中关于一致收敛与逐项求导之间关系的讨论，需要反复咀嚼才能体会到其微妙之处。对于那些渴望真正掌握高等数学根基、不满足于只停留在计算层面的学习者来说，这本书绝对是磨砺心智的绝佳选择，但请务必准备好充足的时间和毅力，这绝非一本可以轻松翻阅的读物。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种非纯数学专业的理工科学生来说，这本书的价值在于它彻底重塑了我对“计算”和“证明”之间关系的认知。在我的专业领域，我们更多关注的是如何利用微积分工具快速得到数值解，而这本书则像一记警钟，让我意识到，没有坚实的理论基础，所有计算都可能建立在沙滩之上。书中对傅立叶级数收敛性的探讨，远远超出了求解微分方程时使用的简单工具范畴，它深入到$L^2$空间和收敛模的复杂细节中。每一次攻克一个章节，都像是在自己知识体系中植入了一个新的、牢不可破的逻辑支点。虽然我可能永远不会在日常工作中用到书中的某些极其抽象的拓扑概念，但这种训练出的逻辑严谨性，无疑已经渗透到了我解决其他复杂问题的能力之中。这本书不是用来“读完”的，而是用来“内化”的，它更像是一场长期的智力修行。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书对我来说更像是一本“参考宝典”，而非“入门教材”。我是在完成研究生阶段的几门核心课程后才开始系统研读的，发现它对那些在基础课程中只是一笔带过的深层理论，进行了极其详尽的剖析。比如，在泛函分析的前奏部分，关于无穷维向量空间的选择公理的讨论，虽然篇幅不多，但其影响深远，作者的处理方式极为审慎和公正。我发现它在处理实分析与复分析的交界地带时，展现了非凡的洞察力，比如共形映射的唯一性定理及其在边界行为上的复杂性。阅读体验是渐进式的，第一遍可能只能掌握主线，第二遍才能开始欣赏那些隐藏在脚注中的精彩洞察。我个人认为，对于那些已经具备扎实分析基础，想要向数学研究方向迈进的人，这本书提供了一个极佳的、无捷径可走的训练场，它不迎合你，而是要求你达到它的高度。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本厚重的书时，首先被它排版风格吸引了，那种近乎古典的严谨和清晰度，让人感觉像是在阅读一本跨越时代的经典著作。虽然内容艰深，但作者在讲解复杂定理时，总是能找到一种奇妙的平衡点——既保持了数学证明的无懈可击，又通过精妙的辅助说明，为读者架起了一座通往理解的桥梁。我特别欣赏它在引入多元微积分的偏导数和全微分概念时所展现出的几何直觉。很多教材只是简单地罗列公式，但这本则通过向量场、曲面积分等高级视角，让你深刻理解为什么我们需要这些工具。当你最终推导出斯托克斯公式时，那种由无数基础概念汇集而成的宏大感，是其他任何学习体验都无法比拟的。当然，习题的难度也是水涨船高，有些证明题需要反复推敲数日，但正是这些挑战，真正塑造了我的数学思维框架，让我学会了如何像一个真正的数学家那样去思考问题。

评分☆☆☆☆☆