The Real Analysis Lifesaver

出版者:Princeton University Press

作者:Raffi Grinberg

页数:208

出版时间:2017-1-17

价格:USD 27.95

装帧:平装

isbn号码:9780691172934

丛书系列:Princeton Lifesaver Study Guides

具体描述

Real analysis is difficult. For most students, in addition to learning new material about real numbers, topology, and sequences, they are also learning to read and write rigorous proofs for the first time. The Real Analysis Lifesaver is an innovate guide that helps students through their first real analysis course while giving them the solid foundation they need for further study in proof-based math.

Rather than presenting polished proofs with no explanation of how they were devised, The Real Analysis Lifesaver takes a two-step approach, first showing students how to work backwards to solve the crux of the problem, then showing them how to write it up formally. It takes the time to provide plenty of examples as well as guided "fill in the blanks" exercises to solidify understanding.

Newcomers to real analysis can feel like they are drowning in new symbols, concepts, and an entirely new way of thinking about math. Inspired by the popular Calculus Lifesaver, this book is refreshingly straightforward and full of clear explanations, pictures, and humor. It is the lifesaver that every drowning student needs.

•The essential "lifesaver" companion for any course in real analysis

•Clear, humorous, and easy-to-read style

•Teaches students not just what the proofs are, but how to do them--in more than 40 worked-out examples

•Every new definition is accompanied by examples and important clarifications

•Features more than 20 "fill in the blanks" exercises to help internalize proof techniques

•Tried and tested in the classroom

作者简介

Raffi Grinberg is an entrepreneur and former management consultant. He graduated with honors from Princeton University with a degree in mathematics in 2012.

目录信息

Preliminaries 1
1 Introduction 3
2 Basic Math and Logic* 6
3 Set Theory* 14
Real Numbers 25
4 Least Upper Bounds* 27
5 The Real Field* 35
6 Complex Numbers and Euclidean Spaces 46
Topology 59
7 Bijections 61
8 Countability 68
9 Topological Definitions* 79
10 Closed and Open Sets* 90
11 Compact Sets* 98
12 The Heine-Borel Theorem* 108
13 Perfect and Connected Sets 117
Sequences 127
14 Convergence* 129
15 Limits and Subsequences* 138
16 Cauchy and Monotonic Sequences* 148
17 Subsequential Limits 157
18 Special Sequences 166
19 Series* 174
20 Conclusion 183
Acknowledgments 187
Bibliography 189
Index 191
· · · · · · (收起)

用户评价

我是一名在职的工程师，重拾高等数学对我来说是一个不小的挑战，时间碎片化是最大的敌人。因此，我需要一本能够让我随时切入、随时暂停，并且重启后能快速找回状态的书籍。这本书在这方面做得非常出色。它的章节划分极其清晰，每一个主要定理或定义的引入都伴随着清晰的“目标设定”和“关键要点”总结。我发现我可以只花一个晚上的时间，完整地攻克一个较小的模块——比如“紧集在实数集上的性质”——而不会因为中间断开而感到迷失。更关键的是，书中对“反例”的讨论篇幅相当可观。在工程应用中，我们习惯于寻找最优解，但在纯数学中，理解“边界”和“失效条件”与理解“成功条件”同样重要。这本书通过大量精妙的反例，帮助我建立起一种严谨的、不轻易下结论的数学思维习惯，这对于我后续处理建模中的不确定性问题，都产生了意想不到的积极影响。

这本书给我最大的震撼是它在处理数学史和发展脉络上的细致入微。许多实分析的书籍，在介绍完一个定理后便戛然而止，读者往往会觉得这个知识点像是凭空出现的。但这本书不同，它常常在侧边栏或者脚注中，穿插介绍某个概念是如何被历史上的数学家们逐步完善和修正的。例如，在讨论勒贝格积分的起源时，作者不仅清晰地阐述了黎曼积分的局限性，还生动地描绘了数学家们为了解决那些“病态函数”时所经历的心路历程。这种叙事手法极大地增强了阅读的代入感，它让我意识到数学并非是一成不变的真理集合，而是一个不断自我修正、充满人类智慧斗争的历史过程。当我理解了某个概念诞生的“必要性”，而不是仅仅记住它的“形式”，我对该概念的掌握就上升到了一个全新的层次。这种历史的纵深感，让学习过程变得不再枯燥，充满了人文学科的魅力。

这本书简直是为那些在微积分的泥潭里挣扎的灵魂量身定做的救生圈！我记得我第一次翻开它的时候，那种面对复杂证明和抽象概念的无力感几乎要将我淹没。然而，这本书的叙述方式简直是化腐朽为神奇。它没有直接把我推入高等数学的深渊，而是像一位经验丰富的向导，带着我一步步、慢悠悠地走过每一个知识点。那些晦涩难懂的$epsilon-delta$语言，那些看似天书的收敛性定义，在这里都被拆解成了可以理解的小块。作者似乎非常清楚读者在哪些地方会卡住，因此总能在关键时刻提供一个巧妙的类比或者一个直观的解释。我尤其欣赏它对“直觉”的强调，它不像某些教科书那样冷冰冰地堆砌公式，而是努力去构建一个清晰的画面感，让你不仅知道“如何做”，更明白“为什么这么做”。读完几个章节后，我感觉自己像是终于找到了理解数学语言的钥匙，那种豁然开朗的感觉，简直比解出一道超级难题还要令人振奋。它成功地将“实分析”这门原本高高在上的学科，拉到了我们普通学习者可以企及的高度，为后续更深入的探索打下了无比坚实的基础。

如果要用一个词来形容这本书的整体感觉，我会选择“信赖感”。实分析领域充斥着各种自相矛盾的描述和过于简化的口号，让人很容易在学习过程中产生自我怀疑。这本书则像一个可靠的伙伴，它从不误导你，也从不夸大其词。它的严密性是建立在对读者智力尊重的基石之上的。它假设你拥有基础的微积分知识，但绝不假设你天生就能理解抽象代数结构。它的语言风格介于冷硬的学术论文和过于亲昵的辅导材料之间，保持了一种恰到好处的专业距离感，让你感到自己正在被引导进入一个严肃的学术领域，但同时又被给予了足够的支架。这种平衡感是极其难得的，它让我在面对那些看似无限延伸的数学证明链条时，心中始终充满一种“我可以搞定”的笃定，而不是被淹没在符号的海洋里。这本书，无愧于它名字中蕴含的承诺。

老实说，这本书的排版和装帧设计初看之下并不算多么惊艳，它更偏向于传统教科书的实用风格，但这恰恰是我后来深爱它的原因之一。它没有花哨的彩色图表分散注意力，一切都聚焦于内容的纯粹和逻辑的严谨。它的字体选择和行距处理得非常得当，即便是长时间阅读那些密集的定理和推导过程，眼睛也不会感到过度的疲劳。重点是，书中的例题和习题设置简直是一绝。它们不是那种为了凑数量而堆砌的练习题，每一个都像是精心挑选出来，旨在检验你对核心概念的掌握程度。更棒的是，对于那些难度稍大的习题，书后提供的解答和详尽的思路分析，其详尽程度甚至超过了许多专门的习题解析手册。我常常在卡住的时候回头翻阅这些解析，发现它们不仅给出了答案，更像是一次迷你课程的重温，用不同的角度重新阐释了背景知识。这种学习体验，让我感觉自己不是在做题，而是在与一位耐心的导师进行一对一的深入对话。

过年期间也算是看完一本书了。

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