First-Order Methods in Optimization

出版者:SIAM-Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:Amir Beck

页数:494

出版时间:2017-10-2

价格:0

isbn号码:9781611974980

丛书系列:MOS-SIAM Series on Optimization

具体描述

The primary goal of this book is to provide a self-contained, comprehensive study of the main first-order methods that are frequently used in solving large-scale problems. First-order methods exploit information on values and gradients/subgradients (but not Hessians) of the functions composing the model under consideration. With the increase in the number of applications that can be modeled as large or even huge-scale optimization problems, there has been a revived interest in using simple methods that require low iteration cost as well as low memory storage.

The author has gathered, reorganized, and synthesized (in a unified manner) many results that are currently scattered throughout the literature, many of which cannot be typically found in optimization books.

First-Order Methods in Optimization offers comprehensive study of first-order methods with the theoretical foundations; provides plentiful examples and illustrations; emphasizes rates of convergence and complexity analysis of the main first-order methods used to solve large-scale problems; and covers both variables and functional decomposition methods.

Audience: This book is intended primarily for researchers and graduate students in mathematics, computer sciences, and electrical and other engineering departments. Readers with a background in advanced calculus and linear algebra, as well as prior knowledge in the fundamentals of optimization (some convex analysis, optimality conditions, and duality), will be best prepared for the material.

作者简介

Amir Beck is a Professor at the School of Mathematical Sciences, Tel-Aviv University. His research interests are in continuous optimization, including theory, algorithmic analysis, and its applications. He has published numerous papers and has given invited lectures at international conferences. He serves in the editorial board of several journals. His research has been supported by various funding agencies, including the Israel Science Foundation, the German-Israeli Foundation, the United States-Israel Binational Science Foundation, the Israeli Science and Energy ministries and the European Community.

目录信息

Contents: Chapter 1: Vector Spaces; Chapter 2: Extended Real-Value Functions; Chapter 3: Subgradients; Chapter 4: Conjugate Functions; Chapter 5: Smoothness and Strong Convexity; Chapter 6: The Proximal Operator; Chapter 7: Spectral Functions; Chapter 8: Primal and Dual Projected Subgradient Methods; Chapter 9: Mirror Descent; Chapter 10: The Proximal Gradient Method; Chapter 11: The Block Proximal Gradient Method; Chapter 12: Dual-Based Proximal Gradient Methods; Chapter 13: The Generalized Conditional Gradient Method; Chapter 14: Alternating Minimization; Chapter 15: ADMM; Appendix A: Strong Duality and Optimality Conditions; Appendix B: Tables; Appendix C: Symbols and Notation; Appendix D: Bibliographic Notes.
· · · · · · (收起)

用户评价

这本书在结构组织上体现了作者深厚的教学功底。它从最基础的最速下降法开始，循序渐进地引入加速机制，然后再过渡到随机化和大规模场景的处理。这种层层递进的结构，让读者能够清晰地追踪优化思想的发展脉络。例如，作者在讲解Nesterov加速梯度法时，不仅给出了公式，还详细对比了它与经典一阶方法在加速因子上的根本区别，这种对比分析极大地加深了我的理解。此外，书中对一阶方法在特定结构问题上的应用，比如优化带有L1正则化项的问题时，如何自然地引出坐标下降或软阈值操作，这些细节处理得非常到位，展现了理论与实践的完美结合。这本书让我不再满足于调参，而是开始思考算法本身的优雅和效率。

这本《优化中的一阶方法》确实是为那些想要深入了解优化算法底层机制的读者准备的，特别是对于那些在机器学习、深度学习或信号处理等领域有实际应用需求的人来说，它提供了一个坚实的理论基础。书中对梯度下降法的各种变体，比如动量法、自适应学习率方法（如AdaGrad、RMSProp、Adam）的推导和分析都非常详尽。作者没有停留在仅仅描述算法如何工作，而是花了大量篇幅去解释为什么这些方法有效，它们的收敛速度如何，以及在不同类型的函数（凸函数、非凸函数）上的行为差异。特别是关于强凸性、光滑性这些关键假设的讨论，帮助读者理解在实际问题中如何选择合适的算法和参数。对于我个人而言，能够清晰地看到这些现代优化器背后的数学逻辑，而不是仅仅把它们当作黑箱工具来使用，这极大地提升了我解决复杂优化问题的信心和能力。书中图表的运用也很到位，将抽象的数学概念具象化，使得理解起来更为直观。

我将这本书视为优化理论领域的一部里程碑式的著作，它的深度和广度都令人印象深刻。它没有回避那些棘手的理论难题，例如在非凸设置下如何保证找到一个“足够好”的解，或者如何处理非光滑目标函数带来的挑战。书中对亚梯度理论的阐述清晰而全面，为处理许多现实世界中常见的，目标函数不可导的问题提供了坚实的数学工具。尽管阅读过程中需要频繁查阅参考资料来巩固某些分析技巧，但这种投入绝对是值得的，因为它最终让你对“优化”这个概念有了更深刻、更全面的认识，超越了传统微积分意义上的“求导为零”。这本书更像是邀请读者参与到数学优化领域的前沿讨论中，而不是简单地学习现成的食谱。

我花了相当一段时间来消化这本书，尤其是关于非凸优化和随机梯度下降（SGD）收敛性的章节，那里的论述相当严谨和深入。作者对SGD的分析尤其精彩，考虑到实际应用中数据通常是海量且无法一次性载入内存的，SGD的随机性引入的噪声如何影响收敛，以及如何通过方差缩减技术来控制这种噪声，这些都是教科书级别的内容。书中对一阶方法的局限性也有坦诚的探讨，例如它们对初始点的敏感性，以及在大规模、高维度问题中可能遇到的鞍点和局部最优陷阱。这使得这本书不仅仅是一本“如何做”的指南，更是一本“为什么这样做”以及“什么时候它会失效”的深度剖析。对于想要进行算法研究或开发新的优化策略的研究人员来说，这本书提供的视角和工具箱是无可替代的。

说实话，这本书的阅读门槛不低，它要求读者对实分析和凸分析有扎实的背景知识。我感觉自己像是在攀登一座数学的高峰，每前进一步都需要耗费大量精力去啃食那些密集的定理和证明。但是，一旦你成功跨越了某个难点，比如理解了次梯度方法的理论基础，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它不像一些流行的应用导向的书籍那样轻快，它更像是一部经典的、需要反复研读的参考手册。我特别欣赏它在处理约束优化问题时所采用的方法，如内点法和对偶理论的初步介绍，虽然不是全书重点，但为后续深入研究铺设了很好的桥梁。对于那些希望将优化理论作为自己研究核心的博士生或资深工程师来说，这本书的价值难以估量，它提供的严谨性是无法替代的。