A First Course in Optimization Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Rangarajan K. Sundaram

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:1996-8-29

价格:GBP 94.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521497190

丛书系列:

图书标签:

优化理论
数学规划
运筹学
凸优化
最优化方法
算法
数值优化
理论基础
应用数学
工程优化

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具体描述

This 1996 book introduces students to optimization theory and its use in economics and allied disciplines. The first of its three parts examines the existence of solutions to optimization problems in Rn, and how these solutions may be identified. The second part explores how solutions to optimization problems change with changes in the underlying parameters, and the last part provides an extensive description of the fundamental principles of finite- and infinite-horizon dynamic programming. Each chapter contains a number of detailed examples explaining both the theory and its applications for first-year master's and graduate students. 'Cookbook' procedures are accompanied by a discussion of when such methods are guaranteed to be successful, and, equally importantly, when they could fail. Each result in the main body of the text is also accompanied by a complete proof. A preliminary chapter and three appendices are designed to keep the book mathematically self-contained.

《深入探索优化理论的奥秘》这本书并非一本具体的教科书，而是一场对优化理论核心概念、方法论及其广泛应用的深度探索。它旨在为读者提供一个全面而精炼的优化领域概览，揭示其在数学、工程、经济学、计算机科学以及运营管理等众多学科中的基石作用。我们不会拘泥于特定定理的证明细节，也不会陷入某个特定算法的实现过程，而是聚焦于构建一个清晰的、逻辑严谨的优化思维框架，让你能够理解“为什么”以及“如何”去解决那些涉及最优选择的问题。第一部分：优化的基石——数学语言与基本框架我们将从优化的语言——数学——入手。优化的本质在于利用数学工具来描述和解决决策问题，寻找在给定约束条件下达到最优目标。因此，本书将首先回顾并梳理与优化理论紧密相关的数学基础，包括：集合论与拓扑学入门：理解可行域（问题的解集）的性质是至关重要的。我们将简要介绍一些基本概念，如开集、闭集、紧集，以及它们在判断最优解是否存在和性质上的意义。例如，一个有界的闭合的可行域，通常能保证连续目标函数在该区域内达到最小值或最大值。函数分析基础：目标函数（我们想要最大化或最小化的函数）的性质直接决定了我们选择的优化方法。本书将介绍连续性、可微性、凸性等关键概念。凸函数因其优良的性质（局部最优解即全局最优解），在优化理论中占据核心地位。我们将深入探讨凸集的性质，以及凸函数在可微和不可微情况下的条件。线性代数回顾：矩阵、向量及其运算是处理多变量函数和约束方程的基石。本书将侧重于那些在优化中常用的概念，如线性方程组的解空间、特征值分解在理解二次型函数（如二次规划中的目标函数）时的作用，以及向量范数在定义距离和衡量收敛性上的应用。在此基础上，我们将正式引入优化的基本数学模型：无约束优化问题：这是最简单的优化形式，我们仅需关注目标函数本身。我们将探讨如何利用导数（梯度）来寻找极值点，理解驻点、局部极值与全局极值的区别，以及利用海森矩阵（二阶导数）来判断极值的类型（最小值、最大值或鞍点）。约束优化问题：现实世界中的问题几乎都伴随着各种各样的限制条件。我们将引入等式约束和不等式约束。对于等式约束，我们将介绍拉格朗日乘子法，理解其几何意义——在最优解处，目标函数的梯度与约束函数的梯度的方向应该平行，即存在一个拉格朗日乘子联系它们。对于不等式约束，我们将引入KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是处理不等式约束下最优解的充要条件，它包含了拉格朗日乘子法的内容，并增加了互补松弛性等关键条件，能够清晰地刻画最优解的特征。第二部分：探索优化的核心方法与理论在建立了基本的数学框架后，我们将深入研究解决优化问题的核心方法和相关理论。迭代优化算法：大多数实际的优化问题无法通过解析方法一步到位求解，需要借助迭代算法逐步逼近最优解。我们将从最基础的梯度下降法开始，讲解其原理、步长选择策略（如固定步长、线搜索、回溯线搜索）以及收敛性分析。更高级的梯度方法：梯度下降法虽然直观，但在某些情况下收敛速度较慢。我们将介绍一些改进算法，如：牛顿法：利用二阶导数信息，可以更快地逼近最优解，但计算成本较高，且对函数的凸性有一定要求。拟牛顿法（如BFGS）：通过近似计算海森矩阵的逆，在保持较快收敛速度的同时，降低了计算复杂度，是实际应用中非常重要的一类方法。动量法（Momentum）：引入“惯性”概念，使得迭代方向在一定程度上保留了之前的运动趋势，从而加速收敛，尤其是在处理目标函数存在“狭窄峡谷”地形时效果显著。自适应学习率方法（如Adam, RMSprop）：这些方法能够根据参数的梯度历史自适应地调整学习率，进一步提高了算法的鲁棒性和收敛速度，在深度学习等领域得到了广泛应用。凸优化理论：凸优化是优化领域中最重要且应用最广泛的分支。我们将深入探讨凸集和凸函数的性质，并重点介绍一些经典的凸优化算法：内点法：一类非常强大的算法，能够以多项式时间复杂度解决许多凸优化问题，如线性规划。其核心思想是“走中间路线”，在迭代过程中保持在可行域内部，并逐渐逼近边界。次梯度法：适用于不可微凸函数，通过使用次梯度（广义的梯度）来指导迭代方向，是处理非光滑优化问题的有力工具。对偶理论：对偶理论是理解约束优化问题的强大工具，尤其在理论分析和算法设计中作用巨大。我们将介绍拉格朗日对偶函数和对偶问题，理解强对偶性和弱对偶性的概念，以及它们在判断最优解、获得下界和设计算法（如对偶分解）上的应用。KKT条件也与对偶理论有着深刻的联系。第三部分：优化理论在现实世界中的应用理解优化理论的真正价值在于其强大的应用能力。本书将通过一系列案例，展示优化理论如何被用于解决各个领域的实际问题。线性规划：这是最简单但也是最基础的约束优化问题。我们将介绍其标准形式、图解法（用于二维问题）以及单纯形法（经典的求解算法），并探讨其在资源分配、生产调度、运输问题中的应用。二次规划：目标函数是二次的，约束是线性的。我们将介绍其标准形式，以及常用的求解方法，并展示其在统计学（如最小二乘法）、机器学习（如支持向量机）中的应用。非线性规划：当目标函数或约束是非线性的。我们将回顾前面介绍的各种非线性优化算法，并讨论它们在工程设计、参数估计、组合优化等问题中的应用。组合优化：这类问题涉及离散变量的选择，例如旅行商问题、背包问题等。我们将介绍一些启发式算法和近似算法，以及如何将组合优化问题转化为连续优化问题进行求解。全局优化：在非凸优化问题中，找到全局最优解是一个巨大的挑战。我们将介绍一些全局优化方法，如模拟退火、遗传算法、粒子群优化等，并讨论它们在解决复杂、多峰值问题时的适用性。本书的特色与目标读者本书的写作风格将力求清晰、直观，避免过于抽象的数学推导，而是侧重于概念的理解和方法的掌握。我们会穿插大量的例子和图示，帮助读者建立直观的认识。本书适合以下读者：数学、计算机科学、工程学、经济学、管理科学等专业的学生：作为课程学习的补充材料，或作为深入学习的起点。希望提升解决问题能力的工程师和研究人员：学习如何将优化思想应用于实际工程和科学研究中。对数据科学、机器学习和人工智能感兴趣的从业者：优化是这些领域的核心技术之一，理解优化理论将有助于更深入地掌握相关算法和模型。任何对如何做出最优决策感到好奇的人：优化理论提供了一种系统而强大的思考框架，帮助我们理解并解决生活中遇到的各种决策问题。通过阅读本书，你将能够：建立严谨的优化思维模式。理解不同优化问题的数学建模。掌握求解各类优化问题的核心算法。认识优化理论在现代科技和经济活动中的广泛应用。具备进一步深入研究优化理论的基础。我们希望本书能够为你打开一扇通往优化理论精彩世界的大门，激发你对这个迷人领域的进一步探索。