D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory

出版者:Birkhäuser

作者:Ryoshi Hotta

页数:412

译者:Kiyoshi Takeuchi

出版时间:2007-11-7

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817643638

丛书系列:Progress in Mathematics

具体描述

D-modules continues to be an active area of stimulating research in such mathematical areas as algebraic, analysis, differential equations, and representation theory. Key to D-modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory is the authors' essential algebraic-analytic approach to the theory, which connects D-modules to representation theory and other areas of mathematics. To further aid the reader, and to make the work as self-contained as possible, appendices are provided as background for the theory of derived categories and algebraic varieties. The book is intended to serve graduate students in a classroom setting and as self-study for researchers in algebraic geometry, representation theory.

用户评价

《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》无疑是一部里程碑式的著作，它成功地将两个看似独立但实则紧密相连的数学分支——D-模理论和扭曲层——与表示论的宏大图景相结合。作者在这本书中展现出的非凡洞察力，使得原本晦涩难懂的概念变得触手可及。初读时，我被书中对 D-模引入的细腻笔触所吸引。D-模不仅仅是微分算子的模，它更是一种捕捉几何对象上微分方程行为的语言。作者通过大量的例子，从最基本的代数簇开始，一步步地展示了 D-模如何刻画这些对象上的微分方程系统的解空间。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，更是为理解这些 D-模的全局性质提供了强大的工具。扭曲层理论本身就以其复杂性和深刻性而闻名，但在这本书中，作者以一种非常清晰且富有逻辑性的方式对其进行了阐释，并巧妙地揭示了它们与 D-模之间的同调关系。这种联系在表示论中尤为重要，因为它为我们提供了理解代数群及其表示的深刻方法。例如，书中对某些特殊类型的代数簇（如李群的伴随流形）上的 D-模和扭曲层的分析，直接联系到该代数群的表示理论，例如它的有限维表示。这种将几何、代数和拓扑的工具融为一体的方法，极大地拓展了我解决问题的思路，也让我看到了数学研究的无限可能性。这本书的价值在于它不仅仅是理论的堆砌，更是在构建一种深刻的数学理解，一种能够贯穿不同领域的通用框架。

我一直认为，能够将看似独立的不同数学领域联系起来，并揭示它们之间深刻的统一性，是数学中最令人着迷的方面之一。《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》这本书正是这样一本杰作，它成功地将 D-模理论、扭曲层以及表示论这三个分支巧妙地融合在一起，展现了它们之间令人惊叹的内在联系。在我看来，本书最大的价值在于其系统性和深刻性。作者从一开始就为读者构建了一个清晰的数学框架，从代数几何的基础概念，如概形、层的范畴，逐步引申到 D-模的定义和性质。我对 D-模的理解，很大程度上得益于书中对“线性微分算子的模”这一概念的详尽阐述，以及它如何被用来研究代数簇上的微分方程系统。书中对于 D-模的构造，特别是通过“截断”（truncation）和“膨胀”（extension）等操作来定义全纯 D-模和亚椭圆 D-模，为理解这些抽象对象提供了具体的入口。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，则进一步深化了这种理解。作者通过介绍“扭曲层范畴”（category of perverse sheaves）及其与 D-模范畴之间的关系，例如通过“傅立叶-Mukai 变换”等工具，揭示了它们之间的同调性质。这种联系在表示论中尤为重要，它为研究代数群和李代数的表示提供了强大的分析工具，例如，如何利用扭曲层来理解群表示的特征标，或者如何通过 D-模范畴的等价来刻画表示的分类。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启迪，它让我看到了数学研究的深度和广度，以及不同领域之间潜在的强大联系。

《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》这本书，在我看来，是一部将抽象数学的深度与严谨性完美结合的典范之作。它为我打开了一个全新的数学视角，让我得以窥见 D-模理论、扭曲层（perverse sheaves）以及表示论之间那令人惊叹的内在联系。从我个人的阅读体验出发，这本书的叙述方式极其精妙。作者并没有直接跳入深奥的概念，而是循序渐进地引导读者，从代数几何的语言，逐步过渡到 D-模的构建，再到扭曲层理论的复杂体系。我尤其赞赏书中对 D-模定义的细致阐述，它不仅仅是一个微分算子的模，更是捕获代数簇上微分方程系统行为的一种强大工具。书中对于“全纯 D-模”（holonomic D-modules）的深入探讨，以及它们与代数簇上某些特殊几何结构（例如，与代数簇的某些闭子簇相关联的 D-模）之间的联系，都让我对 D-模有了更直观和深刻的理解。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，更是将本书的深度推向了另一个层次。作者通过介绍“局部赋权”（local perverse filtration）等概念，以及它们在 D-模理论中的核心作用，为理解这些抽象对象提供了清晰的框架。更重要的是，本书巧妙地将这些概念与表示论联系起来。它展示了如何利用 D-模和扭曲层的分析工具来研究代数群和李代数的表示，例如，如何理解 Verma 模的结构，以及如何通过 D-模范畴的等价来分类 representations。这种跨越不同数学分支的深度整合，使得本书成为我理解现代数学研究的重要参考。

当我着手研读《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》这本书时，我带着对代数几何和表示论之间潜在联系的好奇心，然而这本书所展现出的深度和广度，远远超出了我的最初预期。作者以一种近乎艺术家的严谨，将 D-模理论、扭曲层（perverse sheaves）以及它们在表示论中的应用，编织成一张宏大而精密的数学图景。我对 D-模的理解，很大程度上是在这本书的引导下得以深化。作者从最基础的代数几何概念出发，逐步构建了 D-模的理论体系，解释了 D-模如何作为微分方程系统的解空间在代数几何中扮演核心角色。我尤其被书中对“全纯 D-模”（holonomic D-modules）的详细阐述所吸引，以及它们如何与代数簇上的某些特定几何对象（例如，簇的闭子簇）有着深刻的联系。书中对于 D-模的“范畴”（category of D-modules）的介绍，也为理解这些对象之间的关系提供了重要的理论基础。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，则是这本书的另一个亮点。作者通过介绍“扭曲层范畴”（category of perverse sheaves）的性质，以及它与 D-模范畴之间的同调关系，例如通过“傅立叶-Mukai 变换”等工具，揭示了它们之间深刻的内在联系。这种联系在表示论中尤为重要，它为研究代数群和李代数的表示提供了强大的分析工具。例如，书中如何利用 D-模和扭曲层的分析来研究 Verma 模的结构，以及如何通过 D-模范畴的等价来刻画 representations 的分类，都让我对表示论有了全新的认识。这本书的价值在于它不仅仅是知识的积累，更是一种思维方式的塑造，它教会我如何在不同的数学分支之间建立深刻的联系，并以一种更抽象、更全局的视角去理解数学的统一性。

当我第一次翻开《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》时，我并没有完全预料到它会成为我学术旅程中如此重要的一个节点。这本书并非那种能让你一口气读完的畅销读物，它更像是一座需要细心探索的数学宝藏。作者以一种近乎诗意的严谨，将 D-模理论、扭曲层以及它们与表示论之间错综复杂的联系展现在读者面前。我尤其欣赏书中对基本概念的耐心铺陈，从代数几何的基石，如概形和层，逐步构建起 D-模的庞大体系。每一个定义、每一个定理的证明都仿佛是精心打磨的宝石，虽然有时需要反复琢磨，但一旦领悟其中的精妙，便会由衷赞叹其内在的美学。书中引入的“扭曲层”概念，更是为理解一些看似难以捉摸的代数现象提供了一个全新的视角，它像一把钥匙，打开了通往更高层理论的大门。虽然我对表示论本身已有所涉猎，但这本书将 D-模和扭曲层巧妙地编织进表示论的语境中，展现了其在分类、结构分析等方面的强大威力，这让我对熟悉的领域有了全新的认识和更深的理解。阅读此书的过程，就像是在攀登一座巍峨的山峰，每一步都充满挑战，但每一次克服困难后的视野开阔，都足以驱散所有的疲惫，激发更强烈的求知欲。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的塑造，它教会我如何用更抽象、更全局的眼光去看待数学问题，如何在看似孤立的概念之间建立起深刻的联系。

这本书《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》是我在研究生阶段接触到的数学著作中，最让我感到震撼和受益匪浅的一本。它以一种极为严谨和系统的方式，将 D-模理论、扭曲层（perverse sheaves）以及它们在表示论中的应用，清晰地呈现在读者面前。作者的叙述风格清晰而富有逻辑，尽管内容本身非常深奥，但他总能通过精巧的例子和细致的解释，将复杂的概念一步步地剖析清楚。初读此书时，我对于 D-模的理解仅仅停留在代数解析几何的一些零散概念上，但这本书为我构建了一个完整的 D-模理论框架。从 D-模的定义，到它们在代数簇上的行为，再到其重要的同调性质，我都得到了非常深入的理解。我特别欣赏书中对 D-模的“分类”和“结构”的探讨，例如，如何通过“Holonomic D-modules”来研究一些具有特殊性质的微分方程系统，以及它们与代数簇上的几何对象之间的深刻联系。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，更是将这本书的深度推向了新的高度。扭曲层理论本身就具有极高的抽象性，但作者通过引入“局部赋权”（local perverse filtration）等概念，以及它们与 D-模在同调上的相互关系，为理解这些复杂结构提供了有力工具。这种联系在表示论中尤为重要。书中详细阐述了如何利用 D-模和扭曲层来分析代数群和李代数的表示，例如，它们如何帮助我们理解 Verma 模的结构，如何通过 D-模范畴的等价来研究 representations 的分类，以及如何在黎曼-希策布鲁赫定理等重要结果中发挥作用。这本书的价值在于它不仅仅是理论的集合，更是一种深刻的数学思想的传达，让我能够以更广阔的视野去理解数学研究的内在联系。

《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》这本书，对于任何一位希望深入理解现代数学前沿的读者来说，都是一本不可或缺的宝藏。它以一种极为严谨和系统的方式，将 D-模理论、扭曲层（perverse sheaves）以及表示论这三个高度抽象的数学分支，融汇贯通，展现了它们之间那令人惊叹的内在联系。从我个人的学习经历来看，这本书为我打开了一个全新的数学视野。我对于 D-模的概念，在阅读此书之前，仅停留在一些初步的介绍，但这本书系统地阐述了 D-模的定义、构造以及它们在代数簇上的行为，特别是关于“全纯 D-模”（holonomic D-modules）的研究，以及它们如何与代数簇的几何结构（例如，与某些代数簇的闭子簇相关的 D-模）有着深刻的联系。书中对于 D-模的“范畴”（category of D-modules）的介绍，为理解这些对象之间的关系和性质提供了一个抽象的语言。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，更是将本书的深度推向了另一个层次。作者通过介绍“扭曲层范畴”（category of perverse sheaves）的结构，以及它与 D-模范畴之间通过“倾斜”（tilting）和“傅立叶-Mukai 变换”等工具建立的同调关系，揭示了它们之间深刻的内在联系。这种联系在表示论中尤为重要，它为研究代数群和李代数的表示提供了强大的分析工具。例如，书中如何利用 D-模和扭曲层的分析来研究 Verma 模的结构，以及如何通过 D-模范畴的等价来分类 representations，都让我对表示论有了全新的认识。本书的价值在于它不仅仅是理论的集合，更是一种深刻的数学思想的传达，让我能够以更广阔的视野去理解数学研究的内在联系。

《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》这本书给我留下了极其深刻的印象，它以一种前所未有的方式将 D-模理论、扭曲层以及表示论这三个高度抽象的数学领域融为一体。在阅读这本书之前，我对 D-模的概念仅停留在一些初步的介绍，但这本书的出现，彻底改变了我对这一领域的认知。作者在书中展现出的对细节的极致追求，以及对概念之间微妙联系的精准把握，令人叹为观止。书的开篇部分，对 D-模的构建过程进行了详尽的阐述，从模论的基础出发，逐步引入到代数几何的语境中，解释了 D-模如何作为微分方程系统的解空间的一种抽象的代数描述。这种从根本上阐释概念的方式，对于我这样希望深入理解数学本质的读者来说，无疑是极其宝贵的。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，更是将这本书的深度提升到了一个新的层次。扭曲层作为层论中的一个重要概念，其本身就具有相当的复杂性，但作者通过引入“局部赋权”（local perverse filtration）等思想，以及与 D-模的同调关系，为理解这些概念的深层含义提供了清晰的思路。这些工具在表示论中扮演了至关重要的角色。书中详细阐述了如何利用 D-模和扭曲层的分析来研究代数群及其李代数的表示，特别是对 Verma 模的构造和性质的深入探讨，以及它们如何通过 D-模的范畴等价来联系。这种跨越不同数学分支的深度整合，使得这本书成为我理解现代数学研究方向的基石。

翻阅《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》这本书，我深切体会到了数学研究中那种“触类旁通”的神奇力量。它不仅仅是一本介绍 D-模理论、扭曲层（perverse sheaves）和表示论的教科书，更是一座桥梁，连接了代数几何、微分几何以及表示论这些高度抽象的数学领域。作者在本书中展现出的卓越洞察力，将这些看似孤立的概念，编织成一个和谐统一的整体。对我而言，D-模理论是一个相对陌生的领域，但本书的开篇部分，通过对代数几何中“层”的深刻回顾，以及对 D-模作为“微分算子作用于层”的自然推广，为我打下了坚实的基础。我尤其被书中对“模范畴”（category of D-modules）的介绍所吸引，它为理解 D-模之间的关系和性质提供了一个抽象的语言。而扭曲层（perverse sheaves）的引入，更是将本书的深度推向了新的高峰。作者通过介绍“扭曲层范畴”（category of perverse sheaves）的结构，以及它与 D-模范畴之间通过“倾斜”（tilting）和“傅立叶-Mukai 变换”等工具建立的同调关系，揭示了它们之间深刻的内在联系。这种联系在表示论中尤为重要，它为研究代数群和李代数的表示提供了强大的分析工具。例如，书中如何利用 D-模和扭曲层的分析来研究 Verma 模的结构，以及如何通过 D-模范畴的等价来分类 representations，都让我对表示论有了全新的认识。本书的价值在于它不仅仅是理论的罗列，更是一种思维方式的引导，它让我看到数学研究中普遍存在的美感和统一性。

我一直对数学中“隐藏的结构”以及它们如何通过看似不同的概念联系起来着迷，而《D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory》正是这样一本能够满足我这种好奇心的书。作者在书中巧妙地编织了 D-模理论、扭曲层和表示论这三个看似独立的数学领域，展现了它们之间深层而优雅的联系。从我个人的学习体验来说，我对 D-模理论的初次接触是在一些代数几何的课程中，但真正理解其核心思想，并认识到它在描述微分方程系统方面的普适性，离不开这本书的指引。作者以一种非常系统的方式，从浅入深地讲解了 D-模的定义、基本性质以及它们在代数簇上的行为。尤其令人印象深刻的是，书中对“过剩”或“零”的 D-模的构造，以及它们如何对应于特定的微分方程，这为理解代数分析提供了一个全新的视角。随后，作者引入了扭曲层（perverse sheaves），并将其与 D-模的同调性质联系起来。这种联系是这本书的核心亮点之一，它揭示了在代数簇上，几何的性质（通过扭曲层体现）如何影响着微分方程的行为（通过 D-模体现）。而这种联系在表示论中更是发挥了关键作用。书中通过一些具体的例子，展示了如何利用 D-模和扭曲层的工具来分析代数群的表示，例如，它们如何帮助理解 Verma 模的结构，以及如何通过 Kashiwara-Kimura 定理等来分类表示。这本书的深度和广度都超乎我的想象，它不仅提供了理论知识，更是一种全新的思考方式，让我能够更深刻地理解数学的统一性。

本书分为两部分，第一部分主要develop D-Module Theory 和 Perverse Sheaves， 以著名的 Riemann-Hilbert Correspondence 作结。因为对于同调论不熟悉，所以只是很粗略地看了一下。第二部分讲D-Modules在表示论中的应用。重点介绍了 Borel-Weil-Bott Theorem 和 Beilinson-Bernstein Theorem。书写得很technical，有的地方看不到 overall picture但还是一本令人爱不释手的好书。

use adjoint functor in a wrong way, very annoying. concrete computation, helpful.

本书分为两部分，第一部分主要develop D-Module Theory 和 Perverse Sheaves， 以著名的 Riemann-Hilbert Correspondence 作结。因为对于同调论不熟悉，所以只是很粗略地看了一下。第二部分讲D-Modules在表示论中的应用。重点介绍了 Borel-Weil-Bott Theorem 和 Beilinson-Bernstein Theorem。书写得很technical，有的地方看不到 overall picture但还是一本令人爱不释手的好书。

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本书分为两部分，第一部分主要develop D-Module Theory 和 Perverse Sheaves， 以著名的 Riemann-Hilbert Correspondence 作结。因为对于同调论不熟悉，所以只是很粗略地看了一下。第二部分讲D-Modules在表示论中的应用。重点介绍了 Borel-Weil-Bott Theorem 和 Beilinson-Bernstein Theorem。书写得很technical，有的地方看不到 overall picture但还是一本令人爱不释手的好书。