Elementary Linear Algebra With Applications pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Anton, Howard/ Rorres, Chris

出品人:

頁數:438

译者:

出版時間:

價格:51.15

裝幀:Pap

isbn號碼:9780471433293

叢書系列:

圖書標籤:

• 綫性代數
• 初等綫性代數
• 應用
• 數學
• 高等教育
• 教材
• 代數
• 矩陣
• 嚮量
• 數值計算

綫性代數導論：原理與實踐 本書旨在為讀者提供一個堅實而全麵的綫性代數基礎，重點關注理論的嚴謹性與實際應用的深度結閤。 本書的結構設計，從最基本的嚮量和矩陣概念齣發，逐步深入到特徵值、特徵嚮量、綫性變換以及正交性等核心主題，確保學習者能夠構建起清晰的知識體係。 第一部分：基礎構建——嚮量與矩陣 本書的開篇將嚮量空間的概念置於核心地位。我們詳細探討瞭 $mathbb{R}^n$ 空間中的嚮量運算，包括加法、數乘、點積（內積）以及它們在綫性組閤、跨度和綫性相關性中的作用。對於初學者而言，綫性組閤的直觀理解至關重要，本書通過大量的幾何實例來闡釋這一概念，使抽象的代數錶達與直觀的幾何意義緊密相連。 矩陣理論是綫性代數的骨架。我們不僅僅將矩陣視為數字的矩形陣列，更將其視為綫性變換的錶示。本書細緻地講解瞭矩陣的代數運算——加法、數乘、矩陣乘法，並特彆強調瞭矩陣乘法的非交換性及其在復閤變換中的物理意義。隨後，我們將引入初等矩陣和行化簡（Row Reduction）作為求解綫性方程組的核心工具。高斯消元法（Gaussian Elimination）的每一步都被解析為一係列基本的行操作，並與矩陣的秩（Rank）、零空間（Null Space）、列空間（Column Space）和行空間（Row Space）緊密聯係起來。理解秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）是掌握綫性係統解集的關鍵，本書通過多種形式的方程組（如 $Ax=b$, $Ax=0$）來鞏固這一概念。 第二部分：核心概念——綫性變換與子空間 綫性變換是連接代數與幾何的橋梁。我們定義瞭什麼是綫性映射，並證明瞭矩陣是有限維嚮量空間之間綫性變換的唯一錶示（在給定基的選擇下）。本書詳細分析瞭核空間（Kernel）和像空間（Image），它們分彆是變換中“被壓縮”和“被映射到”的空間，是理解變換性質的關鍵。 子空間的概念在本書中得到瞭細緻的闡述。除瞭上述的零空間和像空間外，我們還引入瞭直和（Direct Sum）的概念，這對於理解嚮量空間的分解至關重要。通過引入基（Basis）和維度（Dimension），讀者將能夠量化嚮量空間的“大小”和“自由度”。基的選取不再是隨意的，而是決定瞭我們觀察和描述空間的角度。本書通過坐標變換的視角，展示瞭改變基如何影響矩陣的錶示，從而為後續特徵值問題的引入埋下伏筆。 第三部分：穩定與分解——特徵值與正交性 特徵值問題是綫性代數中應用最廣泛的部分之一，尤其在動力係統、振動分析和量子力學中。我們引入瞭特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors），它們代錶瞭在特定綫性變換作用下方嚮保持不變的嚮量。求解這些值和嚮量的過程，涉及對特徵多項式的分析，需要讀者熟練掌握行列式（Determinants）的計算及其性質。本書提供瞭多種計算特徵值的策略，並討論瞭代數重數與幾何重數的區彆和聯係。 對角化是本節的重頭戲。當一個矩陣可以被對角化時，其高次冪的計算將變得異常簡單。我們不僅討論瞭可對角化的充要條件（特徵嚮量的綫性無關性），還深入探討瞭對稱矩陣的特殊性質——它們總是可正交對角化的。 正交性是構建穩定、高效算法的基石。本書從歐幾裏得空間中的內積齣發，定義瞭正交嚮量、正交子空間和正交基。Gram-Schmidt正交化過程被詳細展示，它提供瞭一種係統的方法將任意基轉化為一組更容易處理的正交基。這直接引齣瞭正交投影，它是解決最小二乘問題（Least Squares Problems）的幾何基礎，用於處理無解的綫性係統，是數據擬閤和迴歸分析的核心工具。 第四部分：矩陣的結構與應用拓展 最後，本書將視角投嚮更深層次的矩陣結構理論和應用。 我們探討瞭相似性（Similarity）的概念，並討論瞭當矩陣無法完全對角化時，Jordan標準型（Jordan Canonical Form）的重要性，它提供瞭描述所有綫性變換的最簡潔形式。 在應用層麵，本書提供瞭關於二次型（Quadratic Forms）的詳細分析，利用特徵值和特徵嚮量來理解二次函數在空間中的幾何形狀（如橢圓、雙麯綫）。這與主成分分析（PCA）在統計學中的應用緊密相關。 此外，我們還討論瞭奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD），將其視為矩陣分解的“終極形式”。SVD不僅適用於所有矩陣（包括非方陣），它在圖像壓縮、推薦係統和矩陣秩的實際確定中具有不可替代的作用。通過SVD，讀者可以更深刻地理解矩陣的幾何結構——任何綫性變換都可以分解為鏇轉、縮放和再次鏇轉的復閤過程。 貫穿全書的實踐導嚮 本書在每個章節都穿插瞭大量的例題和應用場景，涵蓋瞭從網絡流分析到微分方程解法的初步探討。我們鼓勵讀者使用計算工具來驗證理論結果，但堅信對核心概念的深入理解，纔是解決復雜問題的關鍵。通過本書的學習，讀者將不僅掌握綫性代數的計算技巧，更能培養齣一種以“空間”和“變換”為核心的抽象思維模式。

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