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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Hansen, Vagn Lundsgaard

出品人:

页数:136

译者:

出版时间:

价格:$ 65.54

装帧:HRD

isbn号码:9789812565631

丛书系列:

图书标签:

泛函分析
数学分析
实分析
算子理论
巴拿赫空间
希尔伯特空间
谱理论
拓扑向量空间
泛函
数学

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具体描述

This book presents basic elements of the theory of Hilbert spaces and operators on Hilbert spaces, culminating in a proof of the spectral theorem for compact, self-adjoint operators on separable Hilbert spaces. It exhibits a construction of the space of pth power Lebesgue integrable functions by a completion procedure with respect to a suitable norm in a space of continuous functions, including proofs of the basic inequalities of H?lder and Minkowski. The Lp-spaces thereby emerges in direct analogy with a construction of the real numbers from the rational numbers. This allows grasping the main ideas more rapidly. Other important Banach spaces arising from function spaces and sequence spaces are also treated.

深入探索数学的广阔天地：一部不涉及泛函分析的数学巨著简介书名：结构与演化：数学思想的百年变迁作者： [此处留空，可自行想象一位资深数学史学家] 出版信息： [此处留空，可自行想象一家权威学术出版社] --- 导言：追溯数学思维的根源与流变本书《结构与演化：数学思想的百年变迁》并非专注于某一特定分支的深入剖析，而是旨在构建一幅宏大且精细的数学思想发展全景图。我们探讨的重点，是驱动数学在过去一百多年间进行根本性重塑的那些核心哲学、逻辑基石以及跨学科的互动。全书的核心论点在于：现代数学的进步，是建立在一系列关于“结构（Structure）”的重新定义和对“演化（Evolution）”的深刻理解之上的。我们回避了对特定分析工具的详细技术阐述，转而关注这些工具是如何在解决更宏大、更抽象的问题时应运而生的。本书的叙事围绕着三次重大的范式转移展开，每一次转移都彻底改变了数学家看待世界和构建理论的方式。第一部分：逻辑主义的黄昏与形式主义的崛起（约 1900–1930）在二十世纪初，数学面临着前所未有的基础危机。罗素悖论等现象动摇了直觉主义的基石，促使数学界寻求一个绝对稳固的、基于形式系统的哲学立场。本部分将深入剖析这一时期的思想斗争。 1. 希尔伯特纲领与形式系统的构建：我们详细考察了希尔伯特对“所有数学问题都是可解的”这一信念的追求，及其对公理化方法论的极致推崇。重点讨论了如何通过形式语言（符号、公理和推理规则）来精确界定数学对象，将其从模糊的直觉概念中剥离出来。这不是关于某个具体数学领域的讨论，而是关于“什么是数学证明”这一元问题（Meta-question）的探讨。我们会追踪哥白尼式的转向如何使数学从对自然现象的描述，转变为对纯粹逻辑结构的自我指涉系统的研究。 2. 哥德尔的阴影：对“完全性”与“一致性”的哲学反思：本书用相当的篇幅来分析哥德尔不完全性定理对形式主义哲学所投下的巨大阴影。我们探讨的不是定理的证明细节，而是其深刻的哲学含义：一个足够强大的、能包含初等算术的形式系统，其自身无法证明自身的无矛盾性。这种内在的局限性迫使数学家开始思考，是否有任何单一的形式系统能够穷尽“真理”本身。我们审视了这一发现如何引发了对数学本质的深刻怀疑，并为后来的非标准逻辑和模型论的兴起埋下了伏笔。 3. 直觉主义的坚守与构造性数学的复兴：与形式主义并行，布劳威尔及其追随者坚持认为数学真理是人类心智的构造物，而非依赖于外在形式的符号游戏。本书分析了直觉主义如何严格限制了逻辑工具的使用（如排中律的拒绝），及其对“存在性”定义的颠覆。这种坚持最终催生了构造性数学（Constructive Mathematics）这一独立的研究领域，它更关注算法的可行性而非纯粹的存在性断言。第二部分：结构的觉醒——代数组合论与范畴论的酝酿（约 1930–1970）当逻辑基础的努力遭遇不可逾越的障碍时，数学的焦点悄然转向了寻找更深层的、跨领域的连接点。这一时期的核心是“结构”的发现与抽象化。 1. 从特定代数到抽象代数结构：本部分首先回顾了环、群、域等概念如何从特定的几何或数论问题中被提炼出来，形成一套描述“关系”而非“对象”的语言。我们关注的是，数学家如何学会识别出在不同领域（如几何变换、数论运算、多项式因式分解）中重复出现的相同操作模式，并将这些模式抽象为代数结构。 2. 拓扑学中的定性思维：与分析学侧重于度量和极限不同，拓扑学提供了一种关于“形变不变性”的全新视角。我们分析了拓扑学如何成功地将几何对象的性质与连续变换的概念联系起来。例如，我们探讨了如何通过定义同伦群或基本群来区分不同类型的空间，这些群（作为代数对象）成功地捕获了空间的“洞”或连通性特征，标志着代数工具开始被广泛应用于几何拓扑的定性研究。 3. 范畴论的萌芽：对关系本身的关注：本书详细追溯了范畴论（Category Theory）的早期思想，尤其是在代数几何和拓扑学交叉领域的研究。范畴论提供了一个更高层次的抽象框架，它将数学对象视为“态射（Morphisms）”或“箭头”的集合，关注的不再是单个结构内部的元素，而是结构之间如何相互转换（即态射）。这种将“关系”提升到“对象”之上的思维转变，是本书探讨的重点之一，它预示着现代数学的统一趋势。第三部分：现代数学的交汇点——计算、不确定性与信息（约 1970 至今）进入后半个世纪，数学开始与新兴的科学领域——计算科学、概率论以及复杂系统的研究深度融合，这要求数学语言变得更加灵活，能够处理不确定性和大规模组合。 1. 组合学的爆炸与离散数学的回归：在很长一段时间内，分析和连续性占据主导地位。然而，随着计算机科学的兴起，对有限、可计数对象的研究（组合学）迎来了爆发式增长。我们考察了图论、算法复杂性理论和离散概率论如何渗透到数学的各个角落，并探讨了图论如何成为连接代数、拓扑甚至数论研究的桥梁，提供了一种全新的、基于连接性的视角。 2. 概率论的深化：随机过程与复杂系统：本书分析了概率论如何超越了古典的统计推断，发展成为研究动态、非确定性系统的强大工具。我们讨论了马尔可夫链、布朗运动等概念在描述物理、生物乃至经济系统中的作用，重点在于数学家如何使用这些工具来建模“演化”本身，即系统随时间推移的不可预测变化。这不是关于统计数据分析，而是关于对随机性这一数学概念本身的深入结构化理解。 3. 几何学的复兴与代数几何的连接：我们探讨了代数几何在抽象化过程中的胜利，以及它如何成功地将数论问题（如费马大定理的解决）转化为对特定空间（如椭圆曲线、代数簇）的几何研究。这种将离散的数论问题转化为连续的、可分析的几何结构的思维，是现代数学跨学科能力的最有力证明。结语：面向未来的结构性视野《结构与演化》总结道，现代数学不再是孤立分支的简单堆砌，而是一个由抽象结构驱动的、不断自我重组的有机体。本书强调，成功的数学研究往往来自于对不同领域中发现的共同“结构”的识别和形式化，而非对特定计算或证明技巧的精进。未来的数学进步，将更加依赖于发现新的、尚未被充分探索的抽象框架，以期统一那些看似不相关的领域。本书为读者提供了一个清晰的地图，指明了这条思想演化的大致路径，使读者能够站在一个更高的、结构性的视角来理解数学的宏伟殿堂。