Compact Lie Groups

出版者:Springer

作者:Mark R. Sepanski

页数:210

出版时间:2006-12-19

价格:USD 54.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387302638

具体描述

Blending algebra, analysis, and topology, the study of compact Lie groups is one of the most beautiful areas of mathematics and a key stepping stone to the theory of general Lie groups. Assuming no prior knowledge of Lie groups, this book covers the structure and representation theory of compact Lie groups. Coverage includes the construction of the Spin groups, Schur Orthogonality, the Peter-Weyl Theorem, the Plancherel Theorem, the Maximal Torus Theorem, the Commutator Theorem, the Weyl Integration and Character Formulas, the Highest Weight Classification, and the Borel-Weil Theorem. The book develops the necessary Lie algebra theory with a streamlined approach focusing on linear Lie groups.

用户评价

这本书最大的价值在于它提供了一种看待“对称性”的统一视角。紧致李群作为一类特殊的几何对象，承载着深刻的物理学和数学意义，而这本书就像一把钥匙，打开了通往这些深层意义的通道。它对群上测度论的引入，特别是对Haar测度的讨论，非常透彻，为后续在物理学中处理诸如量子场论中规范群的积分问题提供了必要的理论支撑。我最喜欢的是它处理Peter-Weyl定理的方式，这种从紧致性出发，最终回到傅里叶分析的循环论证，简直是数学美的极致体现。它不是在介绍一系列孤立的定理，而是在编织一张巨大的、互相关联的数学网络。读完此书，我感觉自己对空间、变换和对称性之间的内在联系有了全新的、更深层次的理解，这对于任何从事现代数学或理论物理研究的人来说，都是一笔宝贵的财富。

这本书的编排风格非常独特，它似乎更注重于构建一个完整的理论框架，而非仅仅是知识点的堆砌。结构上，它从最基础的拓扑性质出发，逐步引入微分流形的概念，然后自然地过渡到李群的定义和李代数的关联。这种由浅入深的渐进式展开，极大地减轻了读者在面对复杂概念时的认知负担。我尤其欣赏作者在处理主纤维丛和伴随表示时的清晰度。在其他著作中，这部分往往是概念的“黑洞”，但在这里，每一个定义和定理都被放在了最合适的位置，如同精密机械的齿轮，咬合得天衣无缝。它迫使读者必须主动思考，而不是被动接受。读完一个章节后，你会感到自己的数学肌肉得到了极大的锻炼，因为这本书要求读者不仅仅是“知道”，更要“理解”为什么是这样，而不是别的方式。

作为一本高级的专业著作，《紧致李群》的语言选择是相当克制的，它避免了不必要的华丽辞藻，力求用最精确的数学符号和逻辑来传达思想。这种精确性对于需要将理论应用于具体研究的学者来说，是至关重要的。书中对Cartan子代数和根空间的讨论，达到了教科书级别的典范。它详细梳理了如何利用Weyl群对李代数的结构进行分类和分解，这为理解半单李群的分类打下了坚实的基础。然而，我必须坦诚，这本书的门槛确实不低。它默认读者已经对代数拓扑和抽象代数有了一定的熟悉度。对于新手而言，它可能需要搭配其他更直观的辅助读物一起使用。但一旦你准备好了，这本书提供的是最纯粹、最无旁骛的理论体验，它不会分散你对核心数学结构的注意力。

如果说有些数学专著是地图，那么《紧致李群》更像是一份精心绘制的航海日志，它记录了作者探索广袤数学海洋的心得与发现。它不像某些入门教材那样试图用过于简化的比喻来掩盖深层的复杂性，而是坦然面对了这些结构固有的难度，并提供了最清晰、最不含糊的路径。我对其中关于表示论的部分印象尤为深刻，特别是关于无穷小表示和紧群上的函数空间之间的联系，作者的处理方式既优雅又极具实用性。它没有停留在理论的象牙塔中，而是穿插了大量的例子和应用场景，这些“锚点”帮助我们将抽象的定理固定在具体的数学实体上。阅读过程中，我时常会停下来，重新审视那些看似微不足道的引理，因为我发现，正是这些细微之处，构成了整个理论大厦坚不可摧的地基。这本书需要时间沉淀，它更适合作为一本“工具书”和“深度参考书”常伴左右。

这本《紧致李群》无疑是拓扑学与表示论领域的一块瑰宝，它以一种极其严谨而又富有洞察力的方式，将抽象的数学概念具体化。对于初次接触这个领域的读者来说，它可能略显陡峭，但一旦跨过最初的门槛，其内部的逻辑之美便会让人欲罢不能。书中的证明过程详尽无遗，每一个关键步骤都经过了细致的铺垫，确保读者能够步步为营地理解从基本群到更复杂结构之间的联系。作者在阐述结构定理时，那种层层递进的讲解方式，让人感觉自己不是在阅读一个冰冷的公式集合，而是在参与一场精彩的数学推理之旅。特别值得称赞的是，它对于如何利用紧凑性这一核心假设来简化问题的处理，提供了许多教科书上不常提及的精妙技巧。这本书不仅仅是知识的罗列，更是思维方式的引导，它教会了我如何用几何直觉去理解代数结构，这种跨学科的融合能力是其价值的精髓所在。

Quick and handy! Typo略多，似乎最后的Bott-Borel-Weil叙述不太对？

教科书, 没办法, 其实觉得他讲得太难了, 而且有些错误

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