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☆☆☆☆☆

出版者:Brooks Cole

作者:Susanna S. Epp

出品人:

页数:928

译者:

出版时间:2003-12-22

价格:USD 249.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534359454

丛书系列:

图书标签:

离散数学
教科书
离散数学
数学基础
计算机科学
算法
逻辑
集合论
图论
组合数学
数理逻辑
离散结构

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具体描述

数学基础与逻辑思维的基石：一套面向应用领域的严谨指南本书旨在为理工科、计算机科学、经济学等需要扎实数学基础和严密逻辑推理能力的读者，提供一套全面、深入且极具实践指导意义的教材。我们聚焦于构建学习者坚实的数学思维框架，强调理论概念与实际问题解决之间的桥梁搭建。第一部分：离散结构与基础代数本部分奠定了离散数学的基石，重点在于对有限集合、关系及运算的精确描述和分析。第一章：集合论与命题逻辑集合的严谨定义与运算：深入探讨集合的扩张性定义、幂集、笛卡尔积等核心概念。着重于使用集合论语言来形式化描述现实世界中的对象和关系。命题演算基础：详尽介绍命题、连接词（如合取、析取、蕴含、双条件）的真值表和逻辑等价性。重点训练读者识别谬误、构建有效论证的能力。谓词逻辑与量词：引入个体、谓词和量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）。通过大量实例，展示如何使用谓词逻辑精确表达复杂的自然语言陈述，并进行逻辑推理。推理规则与证明的初步探索：介绍基本的推理规则，如肯定前件、否定后件等，并初步接触直接证明、反证法等基础证明技巧。第二章：关系、函数与计数原理的数学建模二元关系：详细分析关系的性质（自反性、对称性、传递性、反对称性）。重点讲解等价关系（及其商集）和偏序关系（Hasse图的应用）。函数与映射：区分单射、满射和双射。探讨这些性质在编码、密码学和数据结构中的意义。基本计数原理：深入讲解乘法原理、加法原理。重点区分排列（Permutations）和组合（Combinations），引入带重复和不带重复的情景分析。鸽巢原理（Pigeonhole Principle）：阐述其强大的一般形式和推论，并展示其在存在性证明中的关键作用。第二部分：代数结构与组合爆炸本部分转向更抽象的代数结构，并引入生成函数和递归关系来分析序列的增长和复杂性。第三章：代数结构入门群论基础：引入代数系统、封闭性、结合律、单位元和逆元。重点解析有限群的性质，如子群、拉格朗日定理的初步应用。环与域的介绍（面向应用）：简要介绍环和域的概念，强调它们在特定代数结构（如模运算）中的重要性，为后续的编码理论打下基础。布尔代数与逻辑电路：将集合论的并、交、补操作与逻辑运算联系起来。详细介绍布尔代数的公理体系，并展示其在简化逻辑电路和数据库查询中的应用。第四章：递归关系与生成函数递推关系的建立：分析如何将实际问题（如分治算法、金融增长模型）转化为线性齐次或非齐次递推关系。求解线性递推关系：系统讲解特征方程法，用于求解具有常数系数的二阶及更高阶递推关系。普通生成函数（OGF）：介绍生成函数的构造方法，特别是如何利用已知的级数展开式（如几何级数、二项式级数）来求解组合问题。指数生成函数（EGF）：讨论其在处理标记问题和排列组合中的优势，特别是在涉及元素顺序的场景。第三部分：图论与网络分析图论是现代离散数学中应用最广泛的分支。本部分致力于提供一个结构化的图论学习路径，强调算法应用。第五章：图的基础理论图的表示与类型：详尽定义图、多重图、有向图与无向图。讨论邻接矩阵、关联矩阵等表示方法及其计算效率。图的连通性与路径：深入分析路径、回路、连通分量、割点和桥。介绍欧拉路径与哈密顿路径的存在性判据。树（Trees）：详细研究树的性质，特别是无环连通图的特性。重点讲解广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）算法。生成树与最小生成树（MST）：阐述最小生成树的概念。详细实现和比较Prim算法与Kruskal算法，并分析其在网络构建成本优化中的应用。第六章：图的着色、平面图与网络流图的着色问题：介绍图的色数（Chromatic Number）的概念。讨论四色定理的背景与意义。分析图着色在调度、资源分配中的实际应用。平面图理论：定义平面图及其嵌入。介绍欧拉公式（$v - e + f = 2$）及其推论，并利用它来证明某些图（如$K_5, K_{3,3}$）不是平面图。网络流与最大流-最小割定理：引入容量、流的概念。重点讲解Ford-Fulkerson算法，以及最大流与最小割之间的对偶关系，展示其在运输、匹配问题中的威力。第四部分：高级主题与应用延伸本部分探讨离散数学在现代计算科学中的交叉应用。第七章：算法复杂度与可计算性大$O$ 记法：建立分析算法效率的数学工具。精确定义 $O, Omega, Theta$ 符号，并分析常见排序和搜索算法的时间复杂度。图论算法的复杂度：结合前面学习的图算法（如最短路径、MST），对比不同算法的渐进复杂度。有限自动机与形式语言：简要介绍有限状态机（FSM）的概念，区分确定性（DFA）和非确定性（NFA）。说明它们在词法分析和正则表达式匹配中的基础作用。第八章：数论在离散结构中的应用模运算（Modular Arithmetic）：深入研究同余关系、模的性质。这是后续所有应用的基础。扩展的欧几里得算法与模逆元：详细介绍如何使用扩展欧几里得算法计算模逆元，并解释其在RSA加密算法中的核心地位。中国剩余定理（CRT）：阐述其原理和求解方法，展示如何将一个大模数上的运算分解为多个小模数上的并行运算。全书贯穿了从基础逻辑到高级结构分析的完整脉络，力求通过大量的习题和与计算机科学、工程学相关的案例研究，确保读者不仅掌握“如何做”，更能理解“为什么”。本书的结构设计旨在培养读者将复杂的现实问题抽象为离散数学模型的能力，是未来高阶课程学习和实际工程问题解决的坚实基础。

作者简介

Susanna S. Epp received her Ph.D. in 1968 from the University of Chicago, taught briefly at Boston University and the University of Illinois at Chicago, and is currently Vincent DePaul Professor of Mathematical Sciences at DePaul University. After initial research in commutative algebra, she became interested in cognitive issues associated with teaching analytical thinking and proof and has published a number of articles and given many talks related to this topic. She has also spoken widely on discrete mathematics and has organized sessions at national meetings on discrete mathematics instruction. In addition to Discrete Mathematics with Applications and Discrete Mathematics: An Introduction to Mathematical Reasoning, she is co-author of Precalculus and Discrete Mathematics, which was developed as part of the University of Chicago School Mathematics Project. Epp co-organized an international symposium on teaching logical reasoning, sponsored by the Institute for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science (DIMACS), and she was an associate editor of Mathematics Magazine from 1991 to 2001. Long active in the Mathematical Association of America (MAA), she is a co-author of the curricular guidelines for undergraduate mathematics programs: CUPM Curriculum Guide 2004.

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的亮点在于它对“应用”二字的诠释极其到位。很多离散数学的书要么是纯理论的证明机器，要么就是应用得过于肤浅。但这本《Discrete Mathematics with Applications》成功地找到了一个绝佳的平衡点。它不仅仅是罗列公式，而是真正将离散数学的工具箱与现实世界的问题紧密联系起来。比如，在讲解逻辑和证明时，它引入了计算机科学中关于算法正确性的验证场景，让你明白为什么你需要精确的逻辑表达。而在组合计数那部分，作者没有满足于排列组合的基本公式，而是花了相当大的篇幅去讨论如何在实际的调度问题、资源分配问题中应用这些原理，甚至还涉及到一些图论在网络优化中的实际案例。这种“学以致用”的体验极大地提升了我的学习兴趣。我不再是单纯地为了考试而学习这些概念，而是开始思考：“我可以用这个工具来解决我生活或工作中的哪个实际难题？” 这种思维模式的转变，正是任何一本优秀的应用型教材所追求达到的效果，而这本书无疑做到了这一点，非常推荐给计算机科学、工程学背景的学生。

评分☆☆☆☆☆

从教学工具的角度来看，这本书的结构安排体现了极高的专业水准。它似乎是经过了大量的教学实践检验后才定稿的。书中的每一章节都设计了一个清晰的学习路径：首先是概念的直观介绍，然后是形式化的定义和定理，接着是详细的例子演示，最后是分层次的练习题。尤其值得称赞的是，它在章节末尾设置的“回顾与总结”部分，用非常精炼的语言概括了本章的核心要点和相互关联性，这对于课后复习和构建知识体系来说，简直是神器。我发现我不需要依赖笔记，仅仅通过阅读这些总结就能快速定位知识盲点。此外，这本书在引入新概念时，总是会先铺垫好必要的背景知识，比如在讲到初等数论时，它会很自然地回顾必要的代数预备知识，确保了知识的衔接性非常顺畅，几乎没有“知识断层”的感觉。这种严谨且富有条理的编排，让整个学习过程像是在遵循一张精确绘制的地图前行，让人感到非常安心和高效。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我对这本教材的评价是“爱恨交织，但最终还是爱得深沉”。我必须承认，这本书的深度是毋庸置疑的，它对每一个核心概念的挖掘都非常深入透彻，尤其是在代数结构和组合数学那几章，简直是把理论的方方面面都覆盖到了。对于那些目标是未来从事理论研究或者希望对数学原理有最深层次理解的读者来说，这本书提供了无与伦比的扎实基础。然而，正是这份深度，也成了它的一把双刃剑。我个人感觉，对于初次接触离散数学，或者更偏向应用导向的读者，前期的门槛设置得略高了一些。有些证明，如果你没有足够的预备知识，可能会感觉像在攀登一座陡峭的山峰，需要反复查阅前面的内容才能跟上思路。不过，一旦你跨过了最初的几章，后面的学习体验就会豁然开朗。书中的习题设计也体现了这种梯度感——基础题让你巩固概念，而那些挑战性的“思考题”则能真正考验你对知识的融会贯通能力。所以，如果你的时间充裕，并且渴望被“挑战”出真正的潜力，这本书的深度绝对值得你投入时间去征服。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我第一次拿到这本书时，对它的厚度感到有点压力，感觉像是在面对一本“武功秘籍”。但真正开始阅读后，我才体会到，这厚度并非注水，而是内容的丰富和详尽。这本书的特点是“包罗万象”，但又注重在细节上做到极致。例如，对于归纳法这个基础但极其重要的工具，书中不仅展示了标准的数学归纳法，还深入探讨了强归纳法、反向归纳法等变体，并通过不同的范例来展示它们的适用范围和局限性。更令我印象深刻的是，它对不同证明技巧的讨论非常细致，例如如何系统地寻找反例，如何构建有效的假设。这种对“如何思考”的教学，远比单纯罗列“是什么”要宝贵得多。对于那些希望不仅仅是学会解题，而是想真正掌握离散数学思维方式的读者来说，这本书提供了足够的“原材料”和“工具箱”。它不催促你快跑，而是鼓励你慢慢消化，确保每一步都走得坚实有力，这份对知识深度的尊重和细致的打磨，是很多快餐式教材所不具备的宝贵品质。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我简直要给它点个大大的赞！最近我正在啃离散数学这本书，说实话，我本来对这类书是有点望而却步的，总觉得会是那种枯燥乏味、公式堆砌的类型。但是这本《Discrete Mathematics with Applications》完全颠覆了我的看法。作者的叙述方式非常巧妙，他们不是一上来就丢一堆定义和定理，而是用非常生动的生活化例子来引入概念。比如讲集合论的时候，他们会用大家熟悉的社交网络关系来举例，让你一下子就能抓住核心思想。而且，这本书的排版和插图设计也做得特别用心，视觉上就很友好。我记得有一次在看图论那部分，本来觉得可能会很抽象，结果书里的图示清晰明了，把复杂的结构梳理得井井有条，让我这种视觉学习者特别受用。对于每一个重要的定理，作者都会给出详细的证明过程，但又不会让你觉得像在读法律条文一样晦涩难懂。他们会一步一步地引导你思考，让你感觉自己好像是和作者一起在“破案”，而不是被动地接受知识。总而言之，如果你想找一本既能扎实打好理论基础，又能让你在阅读过程中感到愉悦的离散数学教材，这本书绝对是首选。它真的让枯燥的数学变得“活”了起来。

评分☆☆☆☆☆

这本书写的很好！最大的特点是作者在几乎每一个章节都引用了丰富的实际案例来阐明数学理论。我最喜欢RSA算法那一章，写得很精彩，图灵停机问题写的也很精彩。不过和Rosen的那本相比，epp的这本知识稍微潜了一点，对初学者来说很好。

评分☆☆☆☆☆