Weil-petersson Metric on the Universal Teichmuller Space pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Takhtajan, Leon A./ Teo, Lee-Peng

出品人:

页数:119

译者:

出版时间:

价格:524.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780821839362

丛书系列:memoirs of the american mathematical society

图书标签:

Weil-Petersson metric
Teichmuller space
Moduli spaces
Complex geometry
Hyperbolic geometry
Riemann surfaces
Low-dimensional topology
Geometric analysis
Dynamical systems
Mapping class groups

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具体描述

宇宙化空间的几何结构与黎曼曲面的动力学图书简介本书深入探讨了黎曼曲面理论的深刻结构，特别是关注于连接局部复杂分析与整体拓扑几何的桥梁——Teichmüller 空间及其推广形式。我们将超越对单一曲面性质的分析，转而审视一组具有相同拓扑结构但不同共形结构的模空间。本书的核心目标是构建一个精细的几何框架，用以刻画和量化这些共形结构的差异，并探究它们在特定度量下的动力学行为。第一部分：黎曼曲面基础与共形结构的量化本书的开篇将系统地回顾黎曼曲面理论的基石。我们将从紧致黎曼曲面出发，引入其基本不变量，如亏格 $g$ 和 $n$ 个标记点，并详细阐述其拓扑结构——即基本群和其对应的 Teichmüller 空间 $T(S)$ 的定义。对于亏格 $g geq 2$ 的曲面，我们将深入分析 Weil-Petersson 测度的性质。这一测度作为第一个内在的、定义在整个 Teichmüller 空间上的几何结构，其构造原理、边界行为（如在戴恩奈尔极限下的渐进行为）以及在分析中扮演的关键角色将是重点。我们将详细讨论 Abel 恒等式和 Petersson 积分，它们是建立 Weil-Petersson 测度的解析基础。更进一步，本书将着重于分析该测度如何与曲面上的微分形式（特别是模形式和拟模形式）的范数相关联。我们将引入 Dirichlet 能量的概念，并展示它如何在共形结构变化时，精确地反映曲面上的度量形变。第二部分：宇宙化（Universal）Teichmüller 空间的拓扑与测地结构在传统 Teichmüller 空间的范畴之外，本书将拓宽视野至宇宙化 Teichmüller 空间 $mathcal{U}(S)$。该空间作为所有亏格 $g$ 黎曼曲面及其共形嵌入的“提升”，它编码了更为丰富的几何信息，特别是在处理非紧致或带穿孔的曲面时。我们将阐明 $mathcal{U}(S)$ 如何被视为有限类型曲面（即带有 $g$ 个亏格和 $n$ 个穿孔）的共形结构的整体空间。本书的中间部分将聚焦于 $mathcal{U}(S)$ 上的几何结构。虽然标准 Weil-Petersson 度量通常定义在紧凑型 $T(S)$ 上，但我们将探讨如何将其推广或定义相应的拟度量结构，以覆盖整个宇宙化空间。我们将介绍测地流在 $mathcal{U}(S)$ 上的作用，并将其与曲面上的鞍点流（如 Thurston 的斜率流）联系起来。这涉及到对无穷小刚性问题的探讨，以及如何利用 $mathcal{U}(S)$ 上的几何工具来理解模空间中极端共形结构的形成。第三部分：动力学与几何的交汇：测地线动力学在模空间上的体现本书的高级部分将整合分析和动力系统的方法，研究测地线动力学如何在宇宙化 Teichmüller 空间中显现。我们将详细分析由有限型李代数诱导的向量场，这些向量场对应于曲面上特定的局部共形变形。关键章节将专门讨论 Busemann 函数在 $mathcal{U}(S)$ 上的构造及其性质。Busemann 函数提供了一种衡量空间中两点之间“测地距离”的工具，尤其是在度量空间结构较为复杂的区域。我们将探讨在 Weil-Petersson 结构下，Busemann 函数如何揭示空间边界的“可见性”和“无穷远结构”。此外，本书还将探讨动力系统在模空间中的嵌入。我们将考察曲面上的闭合测地线的长度函数，并研究这些长度函数在 Teichmüller 空间中的演化规律。这需要引入鞍点理论的工具，用于分析由局部扭曲和共形形变引起的测地线行为的稳定性或不稳定性。第四部分：谱理论与度量的调和分析最后，本书将连接几何结构与谱理论。我们将研究拉普拉斯-贝特拉米算子在亏格 $g$ 黎曼曲面上的特征值问题。这些特征值（谱）是共形不变量，它们对度量的变化具有极高的敏感性。我们将深入讨论 Weyl 律在 Teichmüller 空间上的推广形式，以及如何利用谱信息来反演几何结构。本书将特别关注高斯-布鲁赫定理在此背景下的应用，即研究谱的微小变化如何与 Weil-Petersson 测度下的形变相关联。通过调和分析的视角，我们将展示 $mathcal{U}(S)$ 上的几何结构如何影响其伴随李群作用下的不变测度和不动点理论。目标读者本书适合具有扎实的复分析、微分几何和拓扑学背景的研究生和研究人员。它要求读者熟悉黎曼曲面、模空间的基本概念，并对现代几何分析中的动态系统和测度理论有初步的了解。本书旨在提供一个严谨且深入的框架，用于理解宇宙化 Teichmüller 空间的内在几何复杂性。