Finite Geometries, Groups, And Computation pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Walter De Gruyter Inc

作者:Hulpke, Alexander (EDT)/ Liebler, Robert (EDT)/ Penttila, Tim (EDT)

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:

价格:158

装帧:HRD

isbn号码:9783110182200

丛书系列:

图书标签:

Finite Geometry
Group Theory
Computation
Combinatorics
Algebra
Design Theory
Coding Theory
Cryptography
Algorithms
Mathematics

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具体描述

好的，这是一本关于有限几何、群论和计算的图书的详细简介，不包含您的原书名中的具体主题内容。书名：代数结构与离散系统：从抽象到应用内容提要本书深入探讨了离散数学和代数结构在现代计算科学与理论物理中的核心作用。我们聚焦于抽象代数概念的严谨构建，并将其与算法设计、编码理论及密码学等实际应用领域紧密结合。全书结构清晰，逻辑严密，旨在为具有一定数学基础的研究人员、高级本科生和研究生提供一个全面而深入的参考。第一部分：基础代数结构与结构化思维本部分为后续高级主题奠定坚实的基础。我们从集合论和逻辑学的基本原理出发，逐步引入抽象代数的概念框架。第一章：群论的严谨建立本章详细阐述了群、半群、独异点的定义、性质及其相互关系。我们不仅讨论了有限群的阶、子群、陪集和拉格朗日定理等经典内容，更侧重于讲解共轭类、正规子群以及商群的构造。对有限群的分类，特别是对于小阶群的详细分析，为理解对称性提供了直观的视角。书中包含了大量关于置换群的例子，如交错群和对称群，并利用矩阵表示法展示了群作用的有效性。此外，本章深入探讨了群作用的轨道-稳定子定理，并将其应用于计数问题，例如伯恩赛德引理的应用实例。第二章：环、域与模的概念在群论的基础上，我们扩展到更丰富的代数结构——环。本章详细界定了环、交换环、整环和域的性质。对理想（Ideals）和环同态的讨论是本章的重点，特别是最大理想和素理想的性质，为理解抽象代数中的分解结构至关重要。我们重点研究了多项式环，包括在域上的多项式环的唯一分解性质。接着，我们过渡到模的概念，将其视为群论和环论在更一般环境下的统一，分析了模的子模、商模和模同态，并考察了自由模和投射模的基本概念。第三章：线性代数在抽象环境下的延伸本章将线性代数的概念提升到更高的抽象层次。我们讨论了向量空间的概念，但重点放在了更一般的模结构上，尤其是当系数环为非域时的情况。对线性变换的分析扩展到模的同态，强调了特征值和特征向量在非域系数下如何被更复杂的结构（如约当标准型）所取代。本章的后半部分探讨了双线性型和二次型，并讨论了其在确定二次曲面的分类中的作用，为后续几何应用的铺垫。第二部分：离散结构与组合构造本部分将抽象代数工具应用于离散对象的研究，强调结构与计数之间的联系。第四章：组合设计理论基础本章聚焦于有限集的结构化排列。我们详细介绍了组合设计的基本概念，包括平衡不完全区块设计（BIBD）、平衡完全不完全区块设计（BCIBD）以及拉丁方阵。重点分析了这些设计的存在性条件和参数关系，例如Fisher不等式和Hadamard矩阵的界限。大量的实例研究，如射出平面（Projective Planes）和仿射平面（Affine Planes）的构造，展示了代数结构在设计构造中的指导作用。第五章：编码理论的代数视角本章将代数结构直接应用于信息传输的可靠性。我们从信息论的基本概念出发，重点分析了代数编码方法。本章深入讲解了线性分组码，包括校验矩阵、生成矩阵和伴随式。对循环码的详细分析是本章的核心，涉及多项式环上的理想和生成多项式的概念。我们不仅讨论了标准编码和解码算法（如仰角算法），还探讨了更复杂的编码方案，例如 BCH 码和 RS 码的构造原理，强调了域扩张在构造强纠错码中的作用。第六章：数论在离散系统中的应用本章连接了整数环的特殊性质与计算实践。我们回顾了同余关系、中国剩余定理，并将其应用于更复杂的结构。对欧几里得整环和主理想整环的性质进行深入探讨，这是理解多项式因子分解的关键。本章的重点是计算数论，包括大数素性检验算法（如 Miller-Rabin 检验）的原理分析，以及模幂运算的优化技术。我们还简要讨论了与离散对数问题相关的背景知识，为公钥加密理论的深入研究做准备。第三部分：计算模型与代数推理本部分探讨代数概念如何被形式化为计算模型，以及在这些模型上的推理和优化。第七章：自动机理论与形式语言的代数基础本章探讨了计算的数学模型。我们从有限状态自动机（FSA）开始，详细分析了有界记忆的计算能力。接着，我们引入了上下文无关文法（CFG）和推导树，并从代数视角分析了这些结构。重点在于理解正则表达式与有限自动机之间的等价性（Kleene定理），以及使用代数语言描述语法结构的方法。本章的难点部分涉及对下推自动机（PDA）的分析，以及它们与上下文无关语言的对应关系，强调了栈作为一种受限的代数结构在计算中的作用。第八章：计算复杂性与代数方法本章关注问题的难度分类。我们界定了 P、NP 等复杂度类的标准定义，并引入了归约的概念。重点讨论了如何在代数背景下分析问题的可解性。例如，我们分析了判定性问题，如判定两个有限群是否同构、判定一个多项式是否可约化等问题的复杂性边界。本章还探讨了如何利用代数结构（如有限域上的代数方程组）来构建 NP 完全问题的实例，以此来证明某些计算问题的固有难度。第九章：代数方法在数值稳定性中的作用本章关注将精确的代数结构引入到可能存在误差的数值计算中的挑战。我们讨论了矩阵的病态性（ill-conditioning）和数值稳定性问题，并解释了如何利用特征值分解和奇异值分解（SVD）来提供对线性系统解的鲁棒估计。本章特别强调了正交变换和酉变换在最小化计算误差中的关键作用，以及如何利用特定的代数分解来加速迭代求解过程。结论本书的最终目标是展示抽象的代数思想如何成为理解和构建复杂离散系统的强大工具。通过对不同层面的结构进行深入挖掘，读者将能够掌握将理论概念转化为可验证、可计算算法所需的思维框架。