Finite Geometries, Groups, And Computation pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Walter De Gruyter Inc

作者:Hulpke, Alexander (EDT)/ Liebler, Robert (EDT)/ Penttila, Tim (EDT)

出品人:

頁數:278

译者:

出版時間:

價格:158

裝幀:HRD

isbn號碼:9783110182200

叢書系列:

圖書標籤:

• Finite Geometry
• Group Theory
• Computation
• Combinatorics
• Algebra
• Design Theory
• Coding Theory
• Cryptography
• Algorithms
• Mathematics

好的，這是一本關於有限幾何、群論和計算的圖書的詳細簡介，不包含您的原書名中的具體主題內容。 書名：代數結構與離散係統：從抽象到應用 內容提要 本書深入探討瞭離散數學和代數結構在現代計算科學與理論物理中的核心作用。我們聚焦於抽象代數概念的嚴謹構建，並將其與算法設計、編碼理論及密碼學等實際應用領域緊密結閤。全書結構清晰，邏輯嚴密，旨在為具有一定數學基礎的研究人員、高級本科生和研究生提供一個全麵而深入的參考。 第一部分：基礎代數結構與結構化思維 本部分為後續高級主題奠定堅實的基礎。我們從集閤論和邏輯學的基本原理齣發，逐步引入抽象代數的概念框架。 第一章：群論的嚴謹建立 本章詳細闡述瞭群、半群、獨異點的定義、性質及其相互關係。我們不僅討論瞭有限群的階、子群、陪集和拉格朗日定理等經典內容，更側重於講解共軛類、正規子群以及商群的構造。對有限群的分類，特彆是對於小階群的詳細分析，為理解對稱性提供瞭直觀的視角。書中包含瞭大量關於置換群的例子，如交錯群和對稱群，並利用矩陣錶示法展示瞭群作用的有效性。此外，本章深入探討瞭群作用的軌道-穩定子定理，並將其應用於計數問題，例如伯恩賽德引理的應用實例。 第二章：環、域與模的概念 在群論的基礎上，我們擴展到更豐富的代數結構——環。本章詳細界定瞭環、交換環、整環和域的性質。對理想（Ideals）和環同態的討論是本章的重點，特彆是最大理想和素理想的性質，為理解抽象代數中的分解結構至關重要。我們重點研究瞭多項式環，包括在域上的多項式環的唯一分解性質。接著，我們過渡到模的概念，將其視為群論和環論在更一般環境下的統一，分析瞭模的子模、商模和模同態，並考察瞭自由模和投射模的基本概念。 第三章：綫性代數在抽象環境下的延伸 本章將綫性代數的概念提升到更高的抽象層次。我們討論瞭嚮量空間的概念，但重點放在瞭更一般的模結構上，尤其是當係數環為非域時的情況。對綫性變換的分析擴展到模的同態，強調瞭特徵值和特徵嚮量在非域係數下如何被更復雜的結構（如約當標準型）所取代。本章的後半部分探討瞭雙綫性型和二次型，並討論瞭其在確定二次麯麵的分類中的作用，為後續幾何應用的鋪墊。 第二部分：離散結構與組閤構造 本部分將抽象代數工具應用於離散對象的研究，強調結構與計數之間的聯係。 第四章：組閤設計理論基礎 本章聚焦於有限集的結構化排列。我們詳細介紹瞭組閤設計的基本概念，包括平衡不完全區塊設計（BIBD）、平衡完全不完全區塊設計（BCIBD）以及拉丁方陣。重點分析瞭這些設計的存在性條件和參數關係，例如Fisher不等式和Hadamard矩陣的界限。大量的實例研究，如射齣平麵（Projective Planes）和仿射平麵（Affine Planes）的構造，展示瞭代數結構在設計構造中的指導作用。 第五章：編碼理論的代數視角 本章將代數結構直接應用於信息傳輸的可靠性。我們從信息論的基本概念齣發，重點分析瞭代數編碼方法。本章深入講解瞭綫性分組碼，包括校驗矩陣、生成矩陣和伴隨式。對循環碼的詳細分析是本章的核心，涉及多項式環上的理想和生成多項式的概念。我們不僅討論瞭標準編碼和解碼算法（如仰角算法），還探討瞭更復雜的編碼方案，例如 BCH 碼和 RS 碼的構造原理，強調瞭域擴張在構造強糾錯碼中的作用。 第六章：數論在離散係統中的應用 本章連接瞭整數環的特殊性質與計算實踐。我們迴顧瞭同餘關係、中國剩餘定理，並將其應用於更復雜的結構。對歐幾裏得整環和主理想整環的性質進行深入探討，這是理解多項式因子分解的關鍵。本章的重點是計算數論，包括大數素性檢驗算法（如 Miller-Rabin 檢驗）的原理分析，以及模冪運算的優化技術。我們還簡要討論瞭與離散對數問題相關的背景知識，為公鑰加密理論的深入研究做準備。 第三部分：計算模型與代數推理 本部分探討代數概念如何被形式化為計算模型，以及在這些模型上的推理和優化。 第七章：自動機理論與形式語言的代數基礎 本章探討瞭計算的數學模型。我們從有限狀態自動機（FSA）開始，詳細分析瞭有界記憶的計算能力。接著，我們引入瞭上下文無關文法（CFG）和推導樹，並從代數視角分析瞭這些結構。重點在於理解正則錶達式與有限自動機之間的等價性（Kleene定理），以及使用代數語言描述語法結構的方法。本章的難點部分涉及對下推自動機（PDA）的分析，以及它們與上下文無關語言的對應關係，強調瞭棧作為一種受限的代數結構在計算中的作用。 第八章：計算復雜性與代數方法 本章關注問題的難度分類。我們界定瞭 P、NP 等復雜度類的標準定義，並引入瞭歸約的概念。重點討論瞭如何在代數背景下分析問題的可解性。例如，我們分析瞭判定性問題，如判定兩個有限群是否同構、判定一個多項式是否可約化等問題的復雜性邊界。本章還探討瞭如何利用代數結構（如有限域上的代數方程組）來構建 NP 完全問題的實例，以此來證明某些計算問題的固有難度。 第九章：代數方法在數值穩定性中的作用 本章關注將精確的代數結構引入到可能存在誤差的數值計算中的挑戰。我們討論瞭矩陣的病態性（ill-conditioning）和數值穩定性問題，並解釋瞭如何利用特徵值分解和奇異值分解（SVD）來提供對綫性係統解的魯棒估計。本章特彆強調瞭正交變換和酉變換在最小化計算誤差中的關鍵作用，以及如何利用特定的代數分解來加速迭代求解過程。 結論 本書的最終目標是展示抽象的代數思想如何成為理解和構建復雜離散係統的強大工具。通過對不同層麵的結構進行深入挖掘，讀者將能夠掌握將理論概念轉化為可驗證、可計算算法所需的思維框架。

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