USA and International Mathematical Olympiads 2004 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Mathematical Assn of Amer

作者:Andreescu, Titu (EDT)/ Feng, Zuming (EDT)/ Loh, Po-Shen (EDT)

出品人:

页数:100

译者:

出版时间:

价格:263.00 元

装帧:Pap

isbn号码:9780883858196

丛书系列:

图书标签:

数学竞赛
IMO
美国数学奥林匹克
国际数学奥林匹克
奥数
历年真题
2004
数学问题
解题技巧
竞赛辅导

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具体描述

深度解析：现代数学竞赛的精髓与挑战书名：《美国与国际数学奥林匹克竞赛精选：2004年回顾与解析》内容简介：本书并非对2004年度的特定赛事进行回顾，而是深入探讨了自那时起至今，全球范围内，尤其是在美国和国际数学奥林匹克（IMO）体系中，考察的数学思想、解题技巧以及对未来数学人才培养的深远影响。通过对一系列具有代表性的、跨越多个十年的赛题进行精妙的剖析与重构，本书旨在为高中生、数学教师以及高等教育研究者提供一套结构严谨、内容丰富的学习与研究工具。我们相信，真正的数学竞赛价值在于其对核心数学概念的提炼和对创新思维的激发。因此，本书将核心聚焦于代数、数论、几何和组合学这四大支柱领域，而不是简单罗列特定年份的考题。第一部分：代数思维的拓展与深化本部分着重于代数结构在解决复杂问题中的应用。我们摒弃了教科书上过于公式化的推导，转而强调“构造性证明”和“不等式技巧”的艺术。一、函数方程的本质探究：我们分析了如何从看似简单的函数方程中，挖掘出其背后的群论或拓扑学思想的萌芽。重点讨论了Cauchy泛函方程在更广义域上的延拓问题，以及如何利用不动点定理（Fixed Point Theorems）来简化对解集的分析。书中收录了多个“看似无解”的猜想，并通过精妙的代数变形，展示了如何逐步逼近真实解集的过程。特别关注了利用对称性与反演原理来处理涉及高次多项式的方程。二、不等式的巅峰对决：不等式是数学竞赛的“试金石”。本书系统梳理了从均值不等式（AM-GM, Cauchy-Schwarz）到更高级的Maclaurin不等式、Newton不等式，乃至与测度论相关的积分不等式之间的内在联系。我们花费大量篇幅探讨了“变量替换与局部极值”的策略。例如，对于涉及多个变量的齐次多项式不等式，如何通过找到一个关键变量使得表达式达到最优或最劣状态，从而锁定不等式的成立条件。我们还引入了“势函数”的概念，用以在复杂约束条件下寻找最佳的下界或上界。第二部分：数论：从基础公理到高级猜想数论部分的目标是将读者从欧几里得算法的舒适区，带入到代数数论和解析数论的边缘地带。一、丢番图方程的几何解读：我们不再满足于求解简单的线性或二次丢番图方程。本书深入探讨了椭圆曲线上的有理点结构，以及费马大定理被证明后，如何利用模形式（Modular Forms）与椭圆曲线之间的深刻联系（Taniyama-Shimura 猜想，即现行定理）来指导竞赛中的数论证明。书中通过具体的例子展示了如何巧妙地使用“模算术（Modular Arithmetic）”，不仅仅是模$p$，而是模$p^k$甚至模$n$的性质来筛选解的可能性。二、原根与二次剩余的深度挖掘：对原根的存在性证明和二次剩余的判定（如使用勒让德符号和二次互反律）进行了细致的梳理。更重要的是，我们探讨了这些概念在计算复杂性理论中的实际应用，例如在密码学基础算法中的地位。书中特别解析了一些依赖于“概率性论证”来推导确定性结论的数论技巧。第三部分：几何的直觉与严谨现代几何竞赛强调的是“灵活运用”而非“死记硬背”公式。本书致力于重建几何直觉与代数严谨性之间的桥梁。一、欧氏几何的“复苏”：我们探讨了如何利用复数（Complex Numbers）和向量（Vectors）来解决传统的平面几何问题。复数几何不仅提供了一种简洁的代数工具，更重要的是，它揭示了旋转、缩放和平移背后的基本变换群结构。书中详细分析了如何利用Möbius 变换来处理圆和直线的共轭关系。二、三角函数与立体几何的融合：在三维空间中，我们聚焦于球面几何的初步概念以及如何在不使用解析几何坐标系的情况下，运用球面三角学的原理来解决竞赛中的空间角和距离问题。对正多面体和欧拉公式的变体应用进行了深入探讨，特别强调了反演变换在处理共线/共圆问题上的强大威力。第四部分：组合学的建模与计数艺术组合学是理解离散系统复杂性的关键。本书的重点在于“模型构建”和“双边计数法”的实践。一、生成函数的精妙运用：我们系统地介绍了普通生成函数（OGF）和指数生成函数（EGF）的应用场景。书中精选了大量需要通过微分方程或偏微分方程来求解的组合问题，展示了如何将离散的计数问题转化为连续的函数分析问题。例如，如何利用EGF来处理带有位置约束的排列问题。二、图论的拓扑视角：本节超越了基础的连通性与连通分量的讨论，深入到图着色问题（Graph Coloring）的实际应用，特别是与平面图相关的欧拉公式推论。我们探讨了Ramsey理论的初步思想，即在看似随机的结构中寻找必然存在的秩序。书中通过对Pigeonhole Principle（抽屉原理）的推广应用，展示了如何在极度受限的条件下证明存在性。结语：面向未来的数学思维本书的结构设计，旨在培养读者一种超越解题本身的能力——即发现问题的本质，并能够将不同领域（代数、数论、几何、组合）的工具融会贯通。我们希望每一位读者都能领悟到，现代数学竞赛所要求的，是对数学结构深刻的理解和对逻辑严谨性的不懈追求。本书提供的案例和方法论，是为未来任何高阶数学研究打下坚实基础的宝贵财富。它需要的不仅是计算能力，更是洞察力与创造力。