Translation Generalized Quadrangles pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Maldeghem, H. Van

出品人:

页数:345

译者:

出版时间:

价格:$ 106.22

装帧:HRD

isbn号码:9789812569516

丛书系列:

图书标签:

Translation quadrangles
Generalized quadrangles
Finite geometry
Incidence geometry
Projective geometry
Combinatorial geometry
Geometric structures
Mathematical structures
Design theory
Configurations

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具体描述

Translation generalized quadrangles play a key role in the theory of generalized quadrangles, comparable to the role of translation planes in the theory of projective and affine planes. The notion of translation generalized quadrangle is a local analog of the more global "Moufang Condition," a topic of great interest, also due to the classification of all Moufang polygons. Attention is thus paid to recent results in that direction, but also many of the most important results in the general theory of generalized quadrangles that appeared since 1984 are treated. Translation Generalized Quadrangles is essentially self-contained, as the reader is only expected to be familiar with some basic facts on finite generalized quadrangles. Proofs that are either too long or too technical are left out, or just sketched. The three standard works on generalized quadrangles are (co-)authored by the writers of this book: "Finite Generalized Quadrangles" (1984) by S E Payne and J A Thas, "Generalized Polygons" (1998) by H Van Maldeghem, and "Symmetry in Finite Generalized Quadrangles" (2004) by K Thas.

几何构造与有限域的深度探究：从射影几何到有限群论图书名称：几何构造与有限域的深度探究：从射影几何到有限群论作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社名] 出版日期： [此处留空，或填写虚构日期] --- 内容简介：本书是一部面向高阶数学专业学生、研究人员以及对离散几何和代数组合学有浓厚兴趣的读者的专业著作。它系统性地、深入地剖析了以有限域为基础的几何结构，特别是那些在经典射影几何框架下难以捕捉，但在代数和组合学领域具有深远影响的极小化结构与非经典平面的构造原理和内在性质。本书的叙事主线围绕着“从基础代数构建几何实体”这一核心理念展开，它不仅仅停留在对已知几何对象（如有限射影平面 $PG(2, q)$ 和有限仿射平面 $AG(2, q)$）的常规描述上，而是将重点放在那些超越了经典笛卡尔坐标系直观描述的抽象结构的精确刻画。第一部分：有限域与基础代数结构的回顾与深化开篇首先对伽罗瓦域 $mathbb{F}_q$ 的代数性质进行了详尽的回顾，侧重于其在构建几何结构中的核心作用。这里，我们不仅仅讨论素数域 $mathbb{F}_p$ 和有限域的扩域 $mathbb{F}_{p^n}$ 的存在性与唯一性，更深入探讨了迹函数（Trace Function）、范数函数（Norm Function）在不同扩张层级间的相互联系，以及它们如何决定了域中元素的乘法结构和加法结构在几何投影中的表现。特别地，本部分详述了本原元（Primitive Elements）的选择如何影响后续几何构造的“可算性”和“可操作性”。通过对高阶代数方程的分析，本书构建了一套处理非素数阶有限域上点集和线集的代数语言，为后续章节中复杂图论模型的建立奠定了坚实的代数基础。第二部分：非经典平面几何的构建与分类本部分的重点聚焦于拓扑结构不同于经典射影平面的几何构造。我们首先探讨了拟射影平面（Near Polygons）的早期萌芽——如何通过代数对偶性或对经典结构进行特定“切割”来生成新的结构。核心章节着力于克莱因几何（Klein Geometries）在有限域上的实现。我们详细分析了如何利用特定代数群（如有限特殊线性群 $SL(2, q)$ 或有限特殊酉群 $SU(3, q)$）的陪集空间（Coset Spaces）来构造新的几何对象。例如，通过 $SL(2, q)$ 作用于某些特定的向量空间，我们可以得到一类半双曲（Semi-hyperbolic）的平面结构，它们的局部性质与射影平面相似，但整体上却存在非平凡的“边界”或“截面”。书中详细推导了这些非经典平面的参数方程，例如，如何通过选取恰当的二次型（Quadratic Form）或三次型（Cubic Form）来定义平面上的“线”或“曲面”，从而打破了传统射影平面中“任意两点确定一条直线”的公理体系。我们特别关注了拟射影空间（Near Polyhedra）在有限域上的最小实例，并分析了这些结构如何通过其关联代数（Incidence Algebra）的特征多项式来确定其拓扑不变量。第三部分：离散结构与图论的交叉融合几何构造的意义在于其在组合学中的体现。本书的第三部分将焦点转向点-线关联结构（Incidence Structures），并将其转化为图论的语言进行分析。我们详细考察了如何将有限域上的几何对象转化为关联图（Incidence Graphs）。对于经典的射影平面 $PG(2, q)$，其关联图是著名的笛卡尔积图 $K_{q+1} imes K_{q+1}$ 的补图，本书在此基础上，拓展到对非经典平面关联图的刻画。重点内容包括对黎茨图（Ryser Graphs）和强正则图（Strongly Regular Graphs, SRG）的代数构造。书中展示了一系列基于有限域代数运算（特别是二次剩余与非剩余的判断）来构造具有特定参数 $(lambda, mu)$ 的SRG的方法。这些图的性质，如直径、围长以及是否存在欧拉回路，都与生成它们的有限域的阶 $q$ 紧密相关。此外，本书引入了欧拉特征（Euler Characteristic）在离散几何中的推广概念，即如何通过计算关联矩阵的秩来确定特定几何结构（如“双向结构”或“极小截面”）的维度。第四部分：代数几何的初步视角与未来展望最后一部分将读者引向更抽象的领域——代数簇（Algebraic Varieties）在有限域上的研究。虽然本书主要聚焦于离散结构，但我们借此机会探讨了如何用齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）来描述前面构建的几何对象。我们分析了在有限域上定义的二次曲面（Quadrics）的计数问题。通过 Chevalley-Lusztig 理论的简化版本，我们计算了在 $PG(n, q)$ 中包含特定点集的超平面数量，这为理解大阶有限域上几何结构的渐近行为提供了工具。本书的结论部分强调了这些精心构造的离散几何结构在编码理论（如黎曼-希尔伯特几何码）、密码学（基于离散对数问题的结构）以及离散数学优化问题中的实际应用潜力。它旨在启发读者，超越经典欧几里得或射影几何的限制，利用代数的精妙工具，探索更广阔的离散结构空间。本书的特点在于： 1. 深度结合：将抽象代数（有限域理论）与离散几何（关联结构）无缝连接，而非割裂论述。 2. 构造导向：大量篇幅用于展示如何“从零开始”构造非标准几何对象，而非仅仅罗列性质。 3. 严谨的数学推导：所有几何对象的关键参数（如点数、线数、关联数）均由严格的代数计算得出。本书适合具有扎实线性代数、抽象代数基础（群论、域论）和初步射影几何知识的读者深入研习。